三角形的五心向量結(jié)論證明

1、三角形的五心向量結(jié)論證明1. 是的重心(其中是三邊)P1P3OP 證明：充分性: 是的重心假設(shè)，則，以，為鄰邊作平行四邊形，設(shè)與交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，有，得，即四點(diǎn)共線，故為的中線，同理，亦為的中線，所以，為的重心。2.在中，給出等于已知AD是中BC邊的中線;* ABC中一定過(guò)的中點(diǎn)，通過(guò)ABC的重心*為ABC的重心(P是平面上任意點(diǎn)).證明 G是ABC的重心=，即由此可得.(反之亦然(證略)*假設(shè)O是的重心，則2. * 點(diǎn)是的垂心證明：是的垂心,同理故當(dāng)且僅當(dāng).* O是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)則O是ABC的垂心證明：由，得，所以。同理可證。容易得到由以上結(jié)論知O為ABC的垂心。* 設(shè)，則向量必垂直

2、于邊BC，該向量必通過(guò)ABC的垂心* 假設(shè)H是ABC(非直角三角形)的垂心，則SBHC：SAHC：SAHB=tanA：tanB：tanC故tanA·+tanB·+tanC·=3.點(diǎn)是的外心證明：O是ABC的外心|=|=|(或2=2=2)(點(diǎn)O到三邊距離相等)(+)·=(+)·=(+)·=0(O為三邊垂直平分線的交點(diǎn))ABCDO*假設(shè)點(diǎn)O為ABC所在的平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足 ，則點(diǎn)O為ABC的外心。證明：因?yàn)?，所以同理得由題意得，所以，得。故點(diǎn)O為ABC的外心。*兩點(diǎn)分別是的邊上的中點(diǎn),且假設(shè)O是ABC的外心，則SBOC：SAOC：SAOB=

3、sinBOC：sinAOC：sinAOB=sin2A：sin2B：sin2C 故sin2A·+sin2B·+sin2C·=l 證明：設(shè)點(diǎn)在內(nèi)部，由向量基本定理，有，則設(shè)：，則點(diǎn)為DEF的重心， 又，l 假設(shè)O是ABC的外心，則SBOC：SAOC：SAOB=sinBOC：sinAOC：sinAOB=sin2A：sin2B：sin2C故sin2A·+sin2B·+sin2C·=4.是的內(nèi)心。(其中是三邊)證明：充分性： 是的內(nèi)心=所以，而，分別是，方向上的單位向量，所以向量平分，即平分，同理平分，得到點(diǎn)是的內(nèi)心。*為的內(nèi)心. 內(nèi)心角平分線

4、交點(diǎn)證明：分別為方向上的單位向量，平分,)，同理：得代入解得，)化簡(jiǎn)得，* 設(shè)，則向量必平分BAC，該向量必通過(guò)ABC的內(nèi)心; * 設(shè)，則向量必平分BAC的鄰補(bǔ)角*O是ABC的內(nèi)心充要條件是*假設(shè)O是ABC的內(nèi)心，則SBOC：SAOC：SAOB=a：b：c故a·+b·+c·=或sinA·+sinB·+sinC·=;*設(shè)為ABC所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，I為ABC的內(nèi)心， * 內(nèi)心I，證明：由是的內(nèi)心。(其中是三邊)見(jiàn)內(nèi)心的充要條件的證明, I，.是的內(nèi)心。(其中是三邊)5. 假設(shè)o為三角形的旁心，則a=b+c(abc是三邊)*已知為的外心，

5、求證：分析構(gòu)造坐標(biāo)系證明如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，在軸的正半軸，在軸的上方，直線的方程是，由于點(diǎn)與點(diǎn)必在直線的同側(cè)，且，因此有，得直線的方程是，由于點(diǎn)與點(diǎn)必在直線的同側(cè)，且，因此有，得于是，容易驗(yàn)證，又， 又， 則所證成立與三角形“四心”相關(guān)的向量結(jié)論 隨著新課程對(duì)平面幾何推理與證明的引入，三角形的相關(guān)問(wèn)題在高考中的比重有所增加。平面向量作為平面幾何的解題工具之一，與三角形的結(jié)合就顯得尤為自然，因此對(duì)三角形的相關(guān)性質(zhì)的向量形式進(jìn)行探討，就顯得很有必要。本文通過(guò)對(duì)一道高考模擬題的思考和探究，得到了與三角形“四心”相關(guān)的向量結(jié)論。希望在得出結(jié)論的同時(shí)，能引起一些啟示。 問(wèn)題：設(shè)點(diǎn)在內(nèi)部，且有，則與的面積

6、的比值是_. 分析： 設(shè)，則， 則點(diǎn)為的重心. 而 ，. 探究：實(shí)際上，可以將上述結(jié)論加以推廣，即可得此題的本源。 結(jié)論： 設(shè)點(diǎn)在內(nèi)部，假設(shè)，則證明： 已知點(diǎn)在內(nèi)部，且 設(shè)：，則點(diǎn)為DEF的重心， 又， 說(shuō)明: 此結(jié)論說(shuō)明當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)部時(shí)，點(diǎn)把所分成的三個(gè)小三角形的面積之比等于從此點(diǎn)出發(fā)分別指向與三個(gè)小三角形相對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)的三個(gè)向量所組成的線性關(guān)系式前面的系數(shù)之比。應(yīng)用舉例：設(shè)點(diǎn)在內(nèi)部，且，則的面積與的面積之比是： A2：1 B3：1 C4：3 D3：2 分析：由上述結(jié)論易得：，所以，故選D 當(dāng)把這些點(diǎn)特定為三角形的“四心”時(shí)，我們就能得到有關(guān)三角形“四心”的一組統(tǒng)一的向量形式。引申：設(shè)點(diǎn)在內(nèi)部，且

7、角所對(duì)應(yīng)的邊分別為 結(jié)論1：假設(shè)為重心，則 分析：重心在三角形的內(nèi)部，且重心把的面積三等分.結(jié)論2 ：為內(nèi)心，則 分析：內(nèi)心在三角形的內(nèi)部，且易證SBOC：SCOA：SAOB=結(jié)論3： 為的外心，則 分析： 易證SBOC：SCOA：SAOB=sin2A：sin2B：sin2C. 由結(jié)論3及結(jié)論：為的外心，為的垂心，則可得結(jié)論4。 結(jié)論4：假設(shè)為垂心，則 即 證明：對(duì)任意有，其中為外心，為垂心， ， 則由平面向量基本定理得：存在唯一的一組不全為0的實(shí)數(shù)，使得， 即，由結(jié)論3得： 所以有：， 所以可得： 化簡(jiǎn)后可得： 應(yīng)用舉例：例1：已知為的內(nèi)心，且，則角的余弦值為 。分析：由結(jié)論2可得，所以由余

8、弦定理可得：例2：已知的三邊長(zhǎng)為，設(shè)的外心為，假設(shè)， 求實(shí)數(shù)的值。分析： ，整理后即得：. 由結(jié)論3可得：，又易得， . 點(diǎn)評(píng)：此題的通用解法應(yīng)該是構(gòu)造與基底相關(guān)的如下方程組： 解方程組可得結(jié)果。 例3：設(shè)是的垂心，當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的值. 分析： 由結(jié)論4可得：. 而，整理后得： 由，可得， .而， 解得，. 點(diǎn)評(píng)：此題的通用解法應(yīng)該是仿例2的點(diǎn)評(píng)，構(gòu)造與基底相關(guān)的方程組。 通過(guò)這樣的思考、探究，不僅得到了與三角形的“四心”相關(guān)的有用結(jié)論，更為重要的是對(duì)提高發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力有很大幫助，正契合了新課標(biāo)對(duì)學(xué)生能力的要求。所以在平時(shí)的教學(xué)中要注意引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)常做一些類似的思考與探究，將極大地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)及思維能力。設(shè)O是內(nèi)任一點(diǎn)，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系。并設(shè)顯然不共線，由平面向量基本定理，可設(shè)則 假設(shè)O是的內(nèi)心，則故必要性得證同時(shí)還可得到以下結(jié)論假設(shè)O是的重心，則故假設(shè)O是的外心則故