平面解析幾何(圓的方程)(共16頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上平面解析幾何圓的方程圓的定義與方程定義平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡叫做圓方程標(biāo)準(zhǔn)(xa)2(yb)2r2(r>0)圓心(a，b)半徑為r一般x2y2DxEyF0充要條件：D2E24F>0圓心坐標(biāo)：(，)半徑r【知識(shí)拓展】1確定圓的方程的方法和步驟確定圓的方程主要方法是待定系數(shù)法，大致步驟為(1)根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程；(2)根據(jù)條件列出關(guān)于a，b，r或D、E、F的方程組；(3)解出a、b、r或D、E、F代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程2點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)和圓的位置關(guān)系有三種圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)2(yb)2r2，點(diǎn)M(x0，y0)(1)點(diǎn)在圓上：(x

2、0a)2(y0b)2r2；(2)點(diǎn)在圓外：(x0a)2(y0b)2>r2；(3)點(diǎn)在圓內(nèi)：(x0a)2(y0b)2<r2.【思考辨析】判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“×”)(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑()(2)已知點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則以AB為直徑的圓的方程是(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.()(3)方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圓的充要條件是AC0，B0，D2E24AF>0.()(4)方程x22axy20一定表示圓(×)(5)若點(diǎn)M(x0，y0)在圓x2y2DxEyF0外，則xyDx0Ey0F0.()

3、1(教材改編)將圓x2y22x4y10平分的直線是()Axy10 Bxy30Cxy10 Dxy30答案C解析圓心是(1,2)，所以將圓心坐標(biāo)代入檢驗(yàn)選項(xiàng)C滿足2已知圓C：(x3)2(y4)21和兩點(diǎn)A(m,0)，B(m，0)(m>0)，若圓C上存在點(diǎn)P，使得APB90°，則m的最大值為()A7 B6 C5 D4答案B解析根據(jù)題意，畫(huà)出示意圖，如圖所示，則圓心C的坐標(biāo)為(3,4)，半徑r1，且|AB|2m.因?yàn)锳PB90°，連接OP，易知|OP|AB|m.要求m的最大值，即求圓C上的點(diǎn)P到原點(diǎn)O的最大距離因?yàn)閨OC|5，所以|OP|max|OC|r6，即m的最大值為6.

4、3(2015·北京)圓心為(1,1)且過(guò)原點(diǎn)的圓的方程是()A(x1)2(y1)21B(x1)2(y1)21C(x1)2(y1)22D(x1)2(y1)22答案D解析圓的半徑r，圓的方程為(x1)2(y1)22.4(教材改編)圓C的圓心在x軸上，并且過(guò)點(diǎn)A(1,1)和B(1,3)，則圓C的方程為_(kāi)答案(x2)2y210解析設(shè)圓心坐標(biāo)為C(a,0)，點(diǎn)A(1,1)和B(1,3)在圓C上，|CA|CB|，即，解得a2，圓心為C(2,0)，半徑|CA|，圓C的方程為(x2)2y210.5(2016·浙江)已知aR，方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圓，則圓心坐標(biāo)是_，半徑

5、是_答案(2，4)5解析由已知方程表示圓，則a2a2，解得a2或a1.當(dāng)a2時(shí)，方程不滿足表示圓的條件，故舍去當(dāng)a1時(shí)，原方程為x2y24x8y50，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2(y4)225，表示以(2，4)為圓心，半徑為5的圓.題型一求圓的方程例1(1)(2016·天津)已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，點(diǎn)M(0，)在圓C上，且圓心到直線2xy0的距離為，則圓C的方程為_(kāi)(2)(2015·課標(biāo)全國(guó))一個(gè)圓經(jīng)過(guò)橢圓1的三個(gè)頂點(diǎn)，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)答案(1)(x2)2y29(2)2y2解析(1)因?yàn)閳AC的圓心在x軸的正半軸上，設(shè)C(a,0)，且a>

6、0，所以圓心到直線2xy0的距離d，解得a2，所以圓C的半徑r|CM|3，所以圓C的方程為(x2)2y29.(2)由題意知圓過(guò)(4,0)，(0,2)，(0，2)三點(diǎn)，(4,0)，(0，2)兩點(diǎn)的垂直平分線方程為y12(x2)，令y0，解得x，圓心為，半徑為.思維升華(1)直接法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫(xiě)出方程(2)待定系數(shù)法若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值；若已知條件沒(méi)有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D、E、F的方程組，進(jìn)而求出D、E、F的值(2016&

7、#183;湖北八校聯(lián)考)已知圓C關(guān)于y軸對(duì)稱，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,0)，且被x軸分成兩段弧，弧長(zhǎng)之比為12，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)答案x2(y±)2解析圓C關(guān)于y軸對(duì)稱，可設(shè)C(0，b)，設(shè)圓C的半徑為r，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2(yb)2r2，依題意，得解得于是圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2(y±)2.題型二與圓有關(guān)的最值問(wèn)題例2已知點(diǎn)(x，y)在圓(x2)2(y3)21上求xy的最大值和最小值解設(shè)txy，則yxt，t可視為直線yxt在y軸上的截距，xy的最大值和最小值就是直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)直線縱截距的最大值和最小值，即直線與圓相切時(shí)在y軸上的截距由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑，即

8、1，解得t1或t1.xy的最大值為1，最小值為1.引申探究1在本例的條件下，求的最大值和最小值解可視為點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)連線的斜率，的最大值和最小值就是與該圓有公共點(diǎn)的過(guò)原點(diǎn)的直線斜率的最大值和最小值，即直線與圓相切時(shí)的斜率設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線的方程為ykx，由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑，即1，解得k2或k2.的最大值為2，最小值為2.2在本例的條件下，求的最大值和最小值解，求它的最值可視為求點(diǎn)(x，y)到定點(diǎn)(1, 2)的距離的最值，可轉(zhuǎn)化為圓心(2，3)到定點(diǎn)(1,2)的距離與半徑的和或差又圓心到定點(diǎn)(1,2)的距離為，的最大值為1，最小值為1.思維升華與圓有關(guān)的最值問(wèn)題的常見(jiàn)類型及

9、解題策略(1)與圓有關(guān)的長(zhǎng)度或距離的最值問(wèn)題的解法一般根據(jù)長(zhǎng)度或距離的幾何意義，利用圓的幾何性質(zhì)數(shù)形結(jié)合求解(2)與圓上點(diǎn)(x，y)有關(guān)代數(shù)式的最值的常見(jiàn)類型及解法形如u型的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為過(guò)點(diǎn)(a，b)和點(diǎn)(x，y)的直線的斜率的最值問(wèn)題；形如taxby型的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線的截距的最值問(wèn)題；形如(xa)2(yb)2型的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)(a，b)的距離平方的最值問(wèn)題已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程x2y24x10.求：(1)的最大值和最小值；(2)yx的最小值；(3)x2y2的最大值和最小值解(1)如圖，方程x2y24x10表示以點(diǎn)(2,0)為圓心，以為半徑的圓設(shè)k，即ykx，則圓

10、心(2,0)到直線ykx的距離為半徑，即直線與圓相切時(shí)，斜率取得最大值、最小值由，解得k23，kmax，kmin.(2)設(shè)yxb，則yxb，當(dāng)且僅當(dāng)直線yxb與圓切于第四象限時(shí)，在y軸上的截距b取最小值，由點(diǎn)到直線的距離公式，得，即b2±，故(yx)min2.(3)x2y2是圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離的平方，故連接OC，與圓交于B點(diǎn)，并延長(zhǎng)交圓于C，則(x2y2)max|OC|2(2)274，(x2y2)min|OB|2(2)274.題型三與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題例3(2017·濰坊調(diào)研)已知圓x2y24上一定點(diǎn)A(2,0)，B(1,1)為圓內(nèi)一點(diǎn)，P，Q為圓上的動(dòng)點(diǎn)(1)求線段AP中

11、點(diǎn)的軌跡方程；(2)若PBQ90°，求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程解(1)設(shè)AP的中點(diǎn)為M(x，y)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，P點(diǎn)坐標(biāo)為(2x2,2y)因?yàn)镻點(diǎn)在圓x2y24上，所以(2x2)2(2y)24，故線段AP中點(diǎn)的軌跡方程為(x1)2y21.(2)設(shè)PQ的中點(diǎn)為N(x，y)，在RtPBQ中，|PN|BN|.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接ON，則ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以x2y2(x1)2(y1)24.故線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程為x2y2xy10.思維升華求與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題時(shí)，根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下方法(1)直接法，直接根據(jù)題目提供的條件列出方程

12、；(2)定義法，根據(jù)圓、直線等定義列方程；(3)幾何法，利用圓的幾何性質(zhì)列方程；(4)代入法，找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式等(2016·天津模擬)設(shè)定點(diǎn)M(3,4)，動(dòng)點(diǎn)N在圓x2y24上運(yùn)動(dòng)，以O(shè)M、ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點(diǎn)P的軌跡解如圖所示，設(shè)P(x，y)，N(x0，y0)，則線段OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為，線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為.由于平行四邊形的對(duì)角線互相平分，故，.從而又N(x3，y4)在圓上，故(x3)2(y4)24.因此所求軌跡為圓：(x3)2(y4)24，但應(yīng)除去兩點(diǎn)和(點(diǎn)P在直線OM上的情況)21利用幾何性質(zhì)巧設(shè)方程求半徑典例在平面直角坐標(biāo)系xOy

13、中，曲線yx26x1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓C上，求圓C的方程思想方法指導(dǎo)本題可采用兩種方法解答，即代數(shù)法和幾何法(1)一般解法(代數(shù)法)：可以求出曲線yx26x1與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)，設(shè)圓的方程為一般式，代入點(diǎn)的坐標(biāo)求解析式(2)巧妙解法(幾何法)：利用圓的性質(zhì)，知道圓心一定在圓上兩點(diǎn)連線的垂直平分線上，從而設(shè)圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)式，簡(jiǎn)化計(jì)算，顯然幾何法比代數(shù)法的計(jì)算量小，因此平時(shí)訓(xùn)練多采用幾何法解題規(guī)范解答解一般解法(代數(shù)法)曲線yx26x1與y軸的交點(diǎn)為(0,1)，與x軸的交點(diǎn)為(32，0)，(32，0)，設(shè)圓的方程是x2y2DxEyF0(D2E24F>0)，則有解得故圓的方程是x2y26x2

14、y10.巧妙解法(幾何法)曲線yx26x1與y軸的交點(diǎn)為(0,1)，與x軸的交點(diǎn)為(32，0)，(32，0)故可設(shè)C的圓心為(3，t)，則有32(t1)2(2)2t2，解得t1.則圓C的半徑為3，所以圓C的方程為(x3)2(y1)29.1(2016·南昌檢測(cè))圓心在y軸上，且過(guò)點(diǎn)(3,1)的圓與x軸相切，則該圓的方程是()Ax2y210y0 Bx2y210y0Cx2y210x0 Dx2y210x0答案B解析根據(jù)題意，設(shè)圓心坐標(biāo)為(0，r)，半徑為r，則32(r1)2r2，解得r5，可得圓的方程為x2y210y0.2(2016·昆明一模)方程|x|1所表示的曲線是()A一個(gè)圓

15、 B兩個(gè)圓C半個(gè)圓 D兩個(gè)半圓答案D解析由題意得即或故原方程表示兩個(gè)半圓3若直線ax2by20(a>0，b>0)始終平分圓x2y24x2y80的周長(zhǎng)，則的最小值為()A1 B5 C4 D32答案D解析由題意知圓心C(2,1)在直線ax2by20上，2a2b20，整理得ab1，()(ab)332 32，當(dāng)且僅當(dāng)，即b2，a1時(shí)，等號(hào)成立的最小值為32.4點(diǎn)P(4，2)與圓x2y24上任一點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是()A(x2)2(y1)21B(x2)2(y1)24C(x4)2(y2)24D(x2)2(y1)21答案A解析設(shè)圓上任一點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，xy4，連線中點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)

16、，則代入xy4中得(x2)2(y1)21.5(2016·綿陽(yáng)診斷)圓C的圓心在y軸正半軸上，且與x軸相切，被雙曲線x21的漸近線截得的弦長(zhǎng)為，則圓C的方程為()Ax2(y1)21 Bx2(y)23Cx2(y1)21 Dx2(y)23答案A解析依題意得，題中的雙曲線的一條漸近線的斜率為，傾斜角為60°，結(jié)合圖形(圖略)可知，所求的圓C的圓心坐標(biāo)是(0,1)、半徑是1，因此其方程是x2(y1)21.6(2016·九江模擬)已知P是直線l：3x4y110上的動(dòng)點(diǎn)，PA，PB是圓x2y22x2y10的兩條切線(A，B是切點(diǎn))，C是圓心，那么四邊形PACB的面積的最小值是(

17、)A. B2 C. D2答案C解析圓的方程可化為(x1)2(y1)21，則C(1,1)，當(dāng)|PC|最小時(shí)，四邊形PACB的面積最小，|PC|min2，此時(shí)|PA|PB|.所以四邊形PACB的面積S2×××1，故選C.7(2016·南昌模擬)若圓C經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)與點(diǎn)(4,0)，且與直線y1相切，則圓C的方程是_答案(x2)2(y)2解析因?yàn)閳A的弦的垂直平分線必過(guò)圓心且圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,0)和(4,0)，所以設(shè)圓心為(2，m)又因?yàn)閳A與直線y1相切，所以|1m|，解之得m.所以圓C的方程為(x2)2(y)2.8過(guò)點(diǎn)P(1,1)的直線，將圓形區(qū)域(x，y)|x2y2

18、4分為兩部分，使得這兩部分的面積之差最大，則該直線的方程為_(kāi)答案xy20解析當(dāng)圓心與點(diǎn)P的連線和過(guò)點(diǎn)P的直線垂直時(shí)，符合條件圓心O與點(diǎn)P連線的斜率k1，所求直線方程為y1(x1)，即xy20.9已知D是由不等式組所確定的平面區(qū)域，則圓x2y24在區(qū)域D內(nèi)的弧長(zhǎng)為_(kāi)答案解析作出可行域D及圓x2y24，如圖所示，圖中陰影部分所在圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)即為所求易知圖中兩直線的斜率分別為、，得tan ，tan ，tan tan()1，得，得弧長(zhǎng)l·R×2(R為圓的半徑)10(2016·岳陽(yáng)模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，A(1,0)，B(0，)，C(3,0)，動(dòng)點(diǎn)D滿足|1

19、，則|的最大值是_答案1解析設(shè)D(x，y)，由(x3，y)及|1知(x3)2y21，即動(dòng)點(diǎn)D的軌跡為以點(diǎn)C為圓心的單位圓，又(1,0)(0，)(x，y)(x1，y)，|.問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓(x3)2y21上的點(diǎn)與點(diǎn)P(1，)間距離的最大值圓心C(3,0)與點(diǎn)P(1，)之間的距離為，故的最大值為1.11已知圓C經(jīng)過(guò)P(4，2)，Q(1,3)兩點(diǎn)，且在y軸上截得的線段的長(zhǎng)為4，半徑小于5.(1)求直線PQ與圓C的方程；(2)若直線lPQ，且l與圓C交于點(diǎn)A，B，且以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線l的方程解(1)由題意知直線PQ的方程為xy20.設(shè)圓心C(a，b)，半徑為r，由于線段PQ的垂直平分線的方程是yx，即yx1，所以ba1.由圓C在y軸上截得的線段的長(zhǎng)為4，知r212a2，可得(a1)2(b3)212a2，由得a1，b0或a5，b4.當(dāng)a1，b0時(shí)，r213，滿足題意，當(dāng)a5，b4時(shí)，r237，不滿足題意故圓C的方程為(x1)2y213.(2)設(shè)直線l的方程為yxm(m2)，A(x1，mx1)，B(x2，mx2)由題意可知OAOB，即·0，x1x2(mx1)(mx2)0，