初三數(shù)學(xué)圓知識點(diǎn)總結(jié)

1、 初三數(shù)學(xué) 圓知識點(diǎn)總結(jié)一、本章知識框架二、本章重點(diǎn)1圓的定義：(1)線段OA繞著它的一個端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點(diǎn)A所形成的封閉曲線，叫做圓(2)圓是到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合2判定一個點(diǎn)P是否在O上設(shè)O的半徑為R，OPd，則有d>r點(diǎn)P在O 外；dr點(diǎn)P在O 上；d<r點(diǎn)P在O 內(nèi)3與圓有關(guān)的角(1)圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角圓心角的性質(zhì)：圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)(2)圓周角：頂點(diǎn)在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角圓周角的性質(zhì)：圓周角等于它所對的弧所對的圓心角的一半同弧或等弧所對的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等90°的圓周角所對

2、的弦為直徑；半圓或直徑所對的圓周角為直角如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)；外角等于它的內(nèi)對角(3)弦切角：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫弦切角弦切角的性質(zhì)：弦切角等于它夾的弧所對的圓周角弦切角的度數(shù)等于它夾的弧的度數(shù)的一半4圓的性質(zhì)：(1)旋轉(zhuǎn)不變性：圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來圖形重合；圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心在同圓或等圓中，兩個圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一組相等，那么它所對應(yīng)的其他各組分別相等(2)軸對稱：圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的任一直線都是它的對稱軸垂徑定理及推論：(

3、1)垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧(2)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧(3)弦的垂直平分線過圓心，且平分弦對的兩條弧(4)平分一條弦所對的兩條弧的直線過圓心，且垂直平分此弦(5)平行弦夾的弧相等5三角形的內(nèi)心、外心、重心、垂心(1)三角形的內(nèi)心：是三角形三個角平分線的交點(diǎn)，它是三角形內(nèi)切圓的圓心，在三角形內(nèi)部，它到三角形三邊的距離相等，通常用“I”表示(2)三角形的外心：是三角形三邊中垂線的交點(diǎn)，它是三角形外接圓的圓心，銳角三角形外心在三角形內(nèi)部，直角三角形的外心是斜邊中點(diǎn)，鈍角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三個頂點(diǎn)的距離相等，通常用O表

4、示(3)三角形重心：是三角形三邊中線的交點(diǎn)，在三角形內(nèi)部；它到頂點(diǎn)的距離是到對邊中點(diǎn)距離的2倍，通常用G表示(4)垂心：是三角形三邊高線的交點(diǎn)6切線的判定、性質(zhì)：(1)切線的判定：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線到圓心的距離d等于圓的半徑的直線是圓的切線(2)切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑經(jīng)過圓心作圓的切線的垂線經(jīng)過切點(diǎn)經(jīng)過切點(diǎn)作切線的垂線經(jīng)過圓心(3)切線長：從圓外一點(diǎn)作圓的切線，這一點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長度叫做切線長(4)切線長定理：從圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角7圓內(nèi)接四邊形和外切四邊形(1)四個點(diǎn)都在圓上的四邊形

5、叫圓的內(nèi)接四邊形，圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，外角等于內(nèi)對角(2)各邊都和圓相切的四邊形叫圓外切四邊形，圓外切四邊形對邊之和相等8直線和圓的位置關(guān)系：設(shè)O 半徑為R，點(diǎn)O到直線l的距離為d(1)直線和圓沒有公共點(diǎn)直線和圓相離d>R(2)直線和O有唯一公共點(diǎn)直線l和O相切dR(3)直線l和O 有兩個公共點(diǎn)直線l和O 相交d<R9圓和圓的位置關(guān)系：設(shè)的半徑為R、r(R>r)，圓心距(1)沒有公共點(diǎn)，且每一個圓上的所有點(diǎn)在另一個圓的外部外離d>Rr(2)沒有公共點(diǎn)，且的每一個點(diǎn)都在外部內(nèi)含d<Rr(3)有唯一公共點(diǎn)，除這個點(diǎn)外，每個圓上的點(diǎn)都在另一個圓外部外切dRr(4)有唯

6、一公共點(diǎn)，除這個點(diǎn)外，的每個點(diǎn)都在內(nèi)部內(nèi)切dRr(5)有兩個公共點(diǎn)相交Rr<d<Rr10兩圓的性質(zhì)：(1)兩個圓是一個軸對稱圖形，對稱軸是兩圓連心線(2)相交兩圓的連心線垂直平分公共弦，相切兩圓的連心線經(jīng)過切點(diǎn)11圓中有關(guān)計算：圓的面積公式：，周長C2R圓心角為n°、半徑為R的弧長圓心角為n°，半徑為R，弧長為l的扇形的面積弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來計算圓柱的側(cè)面圖是一個矩形，底面半徑為R，母線長為l的圓柱的體積為，側(cè)面積為2Rl，全面積為圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，底面半徑為R，母線長為l，高為h的圓錐的側(cè)面積為Rl ，全面積為，母線長、圓錐高、

7、底面圓的半徑之間有【經(jīng)典例題精講】例1 如圖23-2，已知AB為O直徑，C為上一點(diǎn)，CDAB于D，OCD的平分線CP交O于P，試判斷P點(diǎn)位置是否隨C點(diǎn)位置改變而改變？分析：要確定P點(diǎn)位置，我們可采用嘗試的辦法，在上再取幾個符合條件的點(diǎn)試一試，觀察P點(diǎn)位置的變化，然后從中觀察規(guī)律解：連結(jié)OP，P點(diǎn)為中點(diǎn)小結(jié)：此題運(yùn)用垂徑定理進(jìn)行推斷例2 下列命題正確的是( )A相等的圓周角對的弧相等B等弧所對的弦相等C三點(diǎn)確定一個圓D平分弦的直徑垂直于弦解：A在同圓或等圓中相等的圓周角所對的劣弧相等，所以A不正確B等弧就是在同圓或等圓中能重合的弧，因此B正確C三個點(diǎn)只有不在同一直線上才能確定一個圓D平分弦(不是

8、直徑)的直徑垂直于此弦故選B例3 四邊形ABCD內(nèi)接于O，ABC123，求D分析：圓內(nèi)接四邊形對角之和相等，圓外切四邊形對邊之和相等解：設(shè)Ax，B2x，C3x，則DACB2xx2x3x2x360°，x45°D90°小結(jié)：此題可變形為：四邊形ABCD外切于O，周長為20，且ABBCCD123，求AD的長例4 為了測量一個圓柱形鐵環(huán)的半徑，某同學(xué)采用如下方法：將鐵環(huán)平放在水平桌面上，用一個銳角為30°的三角板和一個刻度尺，用如圖23-4所示方法得到相關(guān)數(shù)據(jù)，進(jìn)而可以求得鐵環(huán)半徑若測得PA5cm，則鐵環(huán)的半徑是_cm分析：測量鐵環(huán)半徑的方法很多，本題主要考查切

9、線長性質(zhì)定理、切線性質(zhì)、解直角三角形的知識進(jìn)行合作解決，即過P點(diǎn)作直線OPPA，再用三角板畫一個頂點(diǎn)為A、一邊為AP、大小為60°的角，這個角的另一邊與OP的交點(diǎn)即為圓心O，再用三角函數(shù)知識求解解：小結(jié)：應(yīng)用圓的知識解決實(shí)際問題，應(yīng)將實(shí)際問題變成數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型例5 已知相交于A、B兩點(diǎn)，的半徑是10，的半徑是17，公共弦AB16，求兩圓的圓心距解：分兩種情況討論：(1)若位于AB的兩側(cè)(如圖23-8)，設(shè)與AB交于C，連結(jié)，則垂直平分AB，又AB16AC8在中，在中，故(2)若位于AB的同側(cè)(如圖23-9)，設(shè)的延長線與AB交于C，連結(jié)垂直平分AB，又AB16，AC8在中，在

10、中，故注意：在圓中若要解兩不等平行弦的距離、兩圓相切、兩圓相離、一個點(diǎn)到圓上各點(diǎn)的最大距離和最小距離、相交兩圓圓心距等問題時，要注意雙解或多解問題 三、相關(guān)定理：1.相交弦定理圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等。（經(jīng)過圓內(nèi)一點(diǎn)引兩條線，各弦被這點(diǎn)所分成的兩段的積相等）說明：幾何語言：若弦AB、CD交于點(diǎn)P，則PA·PB=PC·PD（相交弦定理） 例1 已知P為O內(nèi)一點(diǎn)，O半徑為，過P任作一弦AB，設(shè)，則關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為     。解：由相交弦定理得，即，其中2.切割線定理推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一

11、半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng) 說明：幾何語言：若AB是直徑，CD垂直AB于點(diǎn)P，則PC2=PA·PB例2 已知PT切O于T，PBA為割線，交OC于D，CT為直徑，若OC=BD=4cm，AD=3cm，求PB長。解：設(shè)TD=，BP=，由相交弦定理得：即   ，（舍）由切割線定理，  由勾股定理，      四、輔助線總結(jié)1.圓中常見的輔助線1）作半徑，利用同圓或等圓的半徑相等2）作弦心距，利用垂徑定理進(jìn)行證明或計算，或利用“圓心、弧、弦、弦心距”間的關(guān)系進(jìn)行證明3）作半徑和弦心距，構(gòu)造由“半徑、半弦和弦心距”組

12、成的直角三角形進(jìn)行計算4）作弦構(gòu)造同弧或等弧所對的圓周角5)作弦、直徑等構(gòu)造直徑所對的圓周角直角6)遇到切線，作過切點(diǎn)的弦，構(gòu)造弦切角7)遇到切線，作過切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造直角8)欲證直線為圓的切線時，分兩種情況：(1)若知道直線和圓有公共點(diǎn)時，常連結(jié)公共點(diǎn)和圓心證明直線垂直；(2)不知道直線和圓有公共點(diǎn)時，常過圓心向直線作垂線，證明垂線段的長等于圓的半徑9)遇到三角形的外心常連結(jié)外心和三角形的各頂點(diǎn)10)遇到三角形的內(nèi)心，常作：(1)內(nèi)心到三邊的垂線；(2)連結(jié)內(nèi)心和三角形的頂點(diǎn)11)遇相交兩圓，常作：(1)公共弦；(2)連心線12)遇兩圓相切，常過切點(diǎn)作兩圓的公切線13)求公切線時常過小圓圓心

13、向大圓半徑作垂線，將公切線平移成直角三角形的一條直角邊2、圓中較特殊的輔助線1)過圓外一點(diǎn)或圓上一點(diǎn)作圓的切線2)將割線、相交弦補(bǔ)充完整3)作輔助圓例1如圖23-10，AB是O的直徑，弦CDAB，垂足為E，如果AB10，CD8，那么AE的長為( )A2B3C4D5分析：連結(jié)OC，由AB是O的直徑，弦CDAB知CDDE設(shè)AEx，則在RtCEO中，即，則，(舍去)答案：A 例2如圖23-11，CA為O的切線，切點(diǎn)為A，點(diǎn)B在O上，如果CAB55°，那么AOB等于( )A35°B90°C110°D120°分析：由弦切角與所夾弧所對的圓心角的

14、關(guān)系可以知道AOB2BAC2×55°110°答案：C例3 如果圓柱的底面半徑為4cm，母線長為5cm，那么側(cè)面積等于( )A B C D分析：圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，這個矩形的一邊長等于圓柱的高，即圓柱的母線長；另一邊長是底面圓的周長，所以圓柱的側(cè)面積等于底面圓的周長乘以圓柱的高，即答案：B 例4 如圖23-12，在半徑為4的O中，AB、CD是兩條直徑，M為OB的中點(diǎn)，延長CM交O于E，且EM>MC，連結(jié)OE、DE，求：EM的長簡析：(1)由DC是O的直徑，知DEEC，于是設(shè)EMx，則AM·MBx(7x)，即所以而EM>MC，即EM4 例5如圖23-13，AB是O的直徑，PB切O于點(diǎn)