第11章-動靜法-2學(xué)時-王

1、第十一章 動靜法本章介紹動力學(xué)的一個重要原理本章介紹動力學(xué)的一個重要原理達朗貝爾原達朗貝爾原理理。應(yīng)用這一原理，將。應(yīng)用這一原理，將動力學(xué)問題動力學(xué)問題從形式上轉(zhuǎn)化從形式上轉(zhuǎn)化為為靜力學(xué)問題靜力學(xué)問題，從而應(yīng)用關(guān)于平衡的理論來求解。，從而應(yīng)用關(guān)于平衡的理論來求解。這種解答動力學(xué)問題的方法，因此稱為動靜法。這種解答動力學(xué)問題的方法，因此稱為動靜法。第十一章 動靜法第十一章 動靜法l質(zhì)點的達朗貝爾原理 慣性力（ inertial force ） l質(zhì)點系的達朗貝爾原理 剛體慣性力系的簡化l剛體定軸轉(zhuǎn)動時軸承的動反力設(shè)有一質(zhì)量為m的質(zhì)點，受有主動力F、約束力FN，加速度為a，根據(jù)牛頓第二定理，4Nm

2、FFa慣性力、質(zhì)點的達朗貝爾原理慣性力、質(zhì)點的達朗貝爾原理慣性力并非真實存在的力，是虛加在質(zhì)點上的，其大小等于質(zhì)點的質(zhì)量乘以加速度，其方向與加速度方向相反。將牛頓方程改寫，成為式中 稱為慣性力。慣性力。由此可知慣性力的性質(zhì)：0INFFFaFmI- ppt/37慣性力慣性力的物理意義在于：考慮一個相對于定系以加速度a作平動的非慣性參照系非慣性參照系o x y ，質(zhì)點m對于該非慣性參照系，處于相對靜止?fàn)顟B(tài)，即質(zhì)點m處于平衡狀態(tài)。但是質(zhì)點m所受的主動力和約束力并不滿足平衡條件，必須虛加一個慣性力才能“平衡”。由此得到質(zhì)點的達朗貝爾原理：質(zhì)點的達朗貝爾原理：在非慣性參照系里，作用在質(zhì)點的主動力、約束力

3、和虛加的慣性力組成“平衡力系”。5 ppt/376例例 已知：m=0.1kg，l=0.3m，q=60 ，求：v，F(xiàn)T. ppt/37(動畫14-2.swf)70cos:0mgFFTb-q解得解得,N96.1cosqmgFTsm1 .2/sin2mlFvTq解解: :qsin2lvmmaFnI0sin:0ITnFFF-q ppt/37質(zhì)點系的達朗貝爾原理：質(zhì)點系中每個質(zhì)點上作用的主動力，約束力和虛加的慣性力在形式上組成平衡力系。如果將作用在質(zhì)點上的主動力，約束力分為外力和內(nèi)力，并記 為作用于第i個質(zhì)點上外力的合力； 為作用于第i個質(zhì)點上內(nèi)力的合力；則有8質(zhì)點系的達朗貝爾原理質(zhì)點系的達朗貝爾原理)

4、(eiF)(iiFniIiNii, 2 , 1, 0FFF0)()()(0)()()()(IioiioeioIiiieiMMMFFFFFF ppt/37由此得到 質(zhì)點系的達朗貝爾原理的另一種表述：作用在質(zhì)點系上的外力與虛加在每個質(zhì)點上的慣性力在形式上組成平衡力系.9因 0, 00iiiiFMF有 0000IieiIieiFMFMFF ppt/3710例例如圖所示，定滑輪的半徑為r，質(zhì)量為m均勻分布在輪緣上，繞水平軸轉(zhuǎn)動?？暹^滑輪的無重繩的兩端掛有質(zhì)量為m1和m2的重物(mm2)，繩與輪間不打滑，軸承摩擦忽略不計，求重物的加速度。 ppt/37(動畫12-c.swf)解：以系統(tǒng)為研究對象由解得1

5、1amFamFII2211=,=,amFitIi0:02211rFramgmamgmMtIiO-marrFtIigmmmmma+=2121-rvmFinIi/2 ppt/3712例例 飛輪質(zhì)量為m，半徑為R，以勻角速度w 繞定軸O轉(zhuǎn)動，設(shè)輪輻質(zhì)量不計，質(zhì)量均布在較薄的輪緣上，不考慮重力的影響。求：輪緣橫載面的張力。下圖為輪緣的1/4部分。 ppt/3713解:2)d(2wqRRRmamFiniiIi0cos:0AiIixFFF-q0sin:0BiIiyFFF-qwqqw2cos22202mRdRmFAwqqw2sin22202mRdRmFB ppt/37. 剛體作平動：設(shè)aC為質(zhì)心加速度，慣性

6、力系的主矢為慣性力系對質(zhì)心的主矩為因此，慣性力系簡化為一個作用于質(zhì)心的合力14剛體慣性力系的簡化CiiImmaaF-)(iiciICmMar)()(Cicim arr0)(CiicimmarrCImaF- ppt/372 . 剛體作定軸轉(zhuǎn)動：設(shè)角速度為w，角加速度為a，各點的慣性力為：慣性力系的主矢為：15剛體慣性力系的簡化剛體慣性力系的簡化,=iitiitIirmamF2=iiniinIirmamF()()()+=nIixtIixIixIxFMFMFMM)sin()cos(2iiiiiiiizrmzrmqwqa-2)()(waiiiiiizymzxm-慣性力系對x軸的矩為CiiImmaaF-

7、 ppt/37即式中稱為對于x、z 軸和y、z 軸的慣性積，則同理另外162wayzxzxIJJM-=,=iiizyiiizxzymJzxmJ2=yzxzIxJJM-2+=xzyzIyJJMniIztiIzIzMMMFF ppt/3717對O點的主矩為 式中如果剛體有質(zhì)量對稱面有質(zhì)量對稱面且轉(zhuǎn)軸與該面垂直，將慣性力系向質(zhì)量將慣性力系向質(zhì)量對稱面與轉(zhuǎn)軸的交點對稱面與轉(zhuǎn)軸的交點O簡化簡化，此時慣性力系簡化為：如果轉(zhuǎn)軸通過質(zhì)心，則aC=0，慣性力系慣性力系簡化為0=, 0=iiiyziiixzzymJzxmJcIRzIOmJMaF,a-aaziiitiIzIzJrrmMM-)(FkjiIzIyIxI

8、oMMMM2=yzxzIxJJM-azIzJM2+=xzyzIyJJMaCIOJM- ppt/37183 . . 剛體作平面運動 剛體的平面運動可分解為跟隨質(zhì)心C的平動和繞質(zhì)心軸Cz的轉(zhuǎn)動，質(zhì)點mi的慣性力為)(ticnicciiiIimmaaaaF-citicicnicrava,kjiriiicizyxiiiiiiryrxqqsin,cosjijivwwqwqwiiiiiiicxyrrcossin2)()(wwwijjikvaiiiicinicxyxyaa)()(ijkjikraiiiiiciticyxzyx ppt/37設(shè)剛體在平行于質(zhì)量對稱面的平面內(nèi)運動，其質(zhì)心C在質(zhì)量對稱面內(nèi)，注意Jx

9、z=0，Jyz=0，并且19cciicicimmarar)()(0)(cciimarr2)()()(wijkjiariiiiiinicicixymzyxm,)(2wijaiinicxya)(ijaiiticyx0)()(22wwjijixzyziiiiiiJJzxmzyma)()()(ijkjiariiiiiiticiciyxmzyxmjikciiiiiiiiiJzymzxmyxmaa)()(22,kjiriiicizyx ppt/37慣性力系的主矢：慣性力系對質(zhì)心C的主矩：所以，平面運動剛體在平行于質(zhì)量對稱面的平面內(nèi)運動時，慣性力系向質(zhì)心簡化的結(jié)果為：20cIRcIcmJaFM-,0)(ci

10、cimar0)(nicicim ararcticiciJm)(ciiIRmmaaF-aaararMcticnicciciiiciIcJmm)()( ppt/3721例例 如圖所示均質(zhì)桿的質(zhì)量為m，長為l，繞定軸O轉(zhuǎn)動的角速度為w，角加速度為 a，求：慣性力系向點簡化的結(jié)果(方向在圖上畫出)。 ppt/37(動畫8d.swf)22解:2=lmFtIO22=lmFnIO231=mlMIO ppt/3723例例 如圖所示，電動機定子及其外殼總質(zhì)量為m1，質(zhì)心位于O 處。轉(zhuǎn)子的質(zhì)量為m2，質(zhì)心位于C 處，偏心矩OCe ，圖示平面為轉(zhuǎn)子的質(zhì)量對稱面.電動機用地角螺釘固定于水平基礎(chǔ)上，轉(zhuǎn)軸O與水平基礎(chǔ)間的

11、距離為h。運動開始時，轉(zhuǎn)子質(zhì)心C位于最低位置,轉(zhuǎn)子以勻角速度w轉(zhuǎn)動。求：基礎(chǔ)與地角螺釘給電動機總的約束力。 ppt/37(動畫14-09.swf)24解:22=emFI0=sin+:0=IxxFFF0sinsin:02hFgemMMIA-因為得,=ttemFxsin=22-()temgmmFycos+=2221themtgemMsin+sin=2220cos)(:021IyyFgmmFF- ppt/3725例例 如圖所示，電動絞車安裝在梁上，梁的兩端擱在支座上，絞車與梁共重為P。絞盤半徑為R，與電機轉(zhuǎn)子固結(jié)在一起, 轉(zhuǎn)動慣量為J ，質(zhì)心位于O 處.絞車以加速度a提升質(zhì)量為m的重物，其它尺寸如圖

12、。已知： P，R，J，a，m，求：支座A、B受到的附加約束力。 ppt/37(動畫14-10-2.swf)26解 :maFI=RaJJMI=00=+:0=IBAyFPmgFFF-0=)+(+:0=21322llFMPllFmglMAIoIB-解得:/+1=23221RJamalPlmglllFA/+)+(+1=1321121RJamallllPmglllFB- ppt/3727上式中前兩項為靜約束力，附加約束力為：/+=221RJmlllaFA/+=121RJmlllaFB- ppt/37/+1=23221RJamalPlmglllFA/+)+(+1=1321121RJamallllPmgll

13、lFB-28例例 已知均質(zhì)圓盤：m1，R；均質(zhì)桿：l=2R，m2，圓盤做純滾動。求：F 多大時能使桿B 端剛好離開地面？純滾動的條件? ppt/37(動畫14-11.swf)解： AB 桿剛好離開地面時，B端約束反力為零。AB 桿作平動由此得研究整體解得：29RaRmMamFamFAAIC211221,IIga3030cos30sin:02gRmRFMICA-0=30cos30sin:0=2gRmRFMRFFRMCAAD-IIIgmmF3)23(21 ppt/3730另外有得到由無滑動條件解得 gmFs123=21123mmmFFfNss()gmmfFfFsNss21+=0:021ammFFF

14、sxgmmF3)23(21 ppt/37310=+:0=xIxRxBxAxFFFFF繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力0=+:0=yIyRyByAyFFFFF0=+:0=zRBzzFFF0=+:0=xIxyAyBxMMOAFOBFM-0=+:0=yIyBxAxyMMOBFOAFM- ppt/37如圖所示，軸承處的約束力有5個：FAx， FAy， FBx， FBy， FBz，可由下面5個方程求解。由FIR、MIO引起的軸承約束力稱動約束力動約束力。由上述可知，動約束力為零的條件為:32因此 OBFMOBFMABFxyxyxIIRA1 OBFMOBFMABFyxyxyIIRA1- OAFMOAFMABF

15、xyxyxIIRB1- OAFMOAFMABFyxyxyIIRB1 -zzFFRB-0=, 0=IyIxIyIxMMFF ppt/37動約束力為零的條件為:即必有稱滿足條件 Jxz=0，Jyz=0 的z軸為慣性主軸。慣性主軸。通過質(zhì)心的慣性主軸稱為中心慣性主軸。中心慣性主軸。因此，避免出現(xiàn)軸承動約束力的條件是：轉(zhuǎn)軸應(yīng)是剛體的中心避免出現(xiàn)軸承動約束力的條件是：轉(zhuǎn)軸應(yīng)是剛體的中心慣性主軸慣性主軸。330=+=0=0=0=22xzyzIyyzxzIxCyIyCxIxJJMJJMmaFmaF-0, 0yzxzCJJa0=, 0=IyIxIyIxMMFF ppt/3734例例 如圖所示，輪盤(連同軸)的質(zhì)量m =20kg，轉(zhuǎn)軸AB與輪盤的質(zhì)量對稱面垂直，但輪盤的質(zhì)心C不在轉(zhuǎn)軸上，偏心距e =0.1mm 當(dāng)輪盤以勻轉(zhuǎn)速 n =12000r/min 轉(zhuǎn)動時，求：軸承A、B的約束力。 ppt/3735解:()nINBNAFmgFF+21=1.68KN=222m/s158=)3012000(10001 . 0=eanN3160=nnImaF ppt/3736本章小結(jié)本章小結(jié)aFmI-質(zhì)點的慣性力慣性力：質(zhì)點的達朗貝爾原理質(zhì)點的達朗貝爾原理：質(zhì)點系的達朗貝爾原理質(zhì)點系的達朗貝爾原理：