常見數(shù)列通項(xiàng)求法

1、遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式高數(shù)組高數(shù)組 朱懷強(qiáng)朱懷強(qiáng)前言前言l數(shù)列是高中知識(shí)的難點(diǎn)之一，每年高考的必考內(nèi)容。自2010年新課改之后，數(shù)列問(wèn)題難度有所降低。全國(guó)卷里數(shù)列，一般出現(xiàn)在17大題的位置，主要考察數(shù)列的通項(xiàng)以及前n項(xiàng)和相關(guān)問(wèn)題，難度中等偏上。數(shù)列通項(xiàng)作為數(shù)列里的核心內(nèi)容之一，是解決后續(xù)問(wèn)題的關(guān)鍵。本課件講述遞推數(shù)列求通項(xiàng)常見方法，基本可以解決90%的數(shù)列通項(xiàng)問(wèn)題。希望同學(xué)們能認(rèn)真掌握下來(lái)。策略一覽策略一覽l公式法l累加法、累積法l利用 和 的關(guān)系l構(gòu)造法l迭代法、兩邊取對(duì)數(shù)法l兩邊取倒數(shù)法nans類型一：公式法類型一：公式法( (等差、等比數(shù)列等差、等比數(shù)列) )1、等差數(shù)列2

2、、等比數(shù)列例例.an的前的前n項(xiàng)和項(xiàng)和Sn=2n21，求通項(xiàng)，求通項(xiàng)an類型二：利用類型二：利用a an n與與S Sn n的關(guān)系的關(guān)系解：當(dāng)解：當(dāng)n=1時(shí)時(shí), a1=1 當(dāng)當(dāng)n2時(shí)，時(shí)，an=SnSn1=(2n21) 2(n1)21=4n2不要遺漏不要遺漏n=1的情形哦！的情形哦！ 因此因此 an=1 (n=1)4n 2(n2, )*nN11,1,2nnnSnaSSn因?yàn)橐驗(yàn)?*1-21,不滿足上式不滿足上式 例：已知例：已知an中，中，a1+2a2+3a3+ +nan=3n+1,求通項(xiàng)求通項(xiàng)an a1+2a2+3a3+nan=3n+1 注意注意n的范圍的范圍 a1+2a2+3a3+(n1)

3、an1=3n（n2） nan=3n+13n=23n23nnan= （n2） 兩式相減得：兩式相減得：an=9 (n=1)23nn（n2, ）*nN解：當(dāng)解：當(dāng)n=1時(shí)時(shí),a1=9 9132例：在例：在an中，已知中，已知a1=1,an=an-1+n (n2),求通項(xiàng)求通項(xiàng)an.練：練： 111311,3 (2)2nnnnnaaaana n n已已知知中中,證,證明明：11223343221 1 2 3 . 3 2 nnnnnnnnaanaanaanaanaaaa 解解：以以上上各各式式相相加加n1 a(234)(n+2)(n-1) =1+2 an 得得類型三：類型三：累加法，形如累加法，形如)

4、(1nfaann例：例： 12,3,.nnnnnaaaaa 1 1已已知知中中，求求通通項(xiàng)項(xiàng)練習(xí)：練習(xí)： 122,2,.nnnnaaaaan 1 1已已知知中中，求求通通項(xiàng)項(xiàng) 1111234123123423221( -1)23211 2 3( -1)21( -1)2 333, 3, 3, 3 3 , 3-13 3333= 2 3=2 3 2 3解：，將這個(gè)式子相乘得：nnnnnnnnnnnnnnnnnnn nnnnnn nnaaaaaaaaaaaaaaaanaaa 類型四：累乘法，形如類型四：累乘法，形如)(1nfaann例：例： 111,21 .nnnnaaaaa 數(shù)數(shù)列列滿滿足足, 求,

5、 求 11-1111 21 121 12(1) 1 2 1 112+111 2221解：是以為首項(xiàng)， 為公比的等比數(shù)列nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaa 12,3+2,.1練習(xí):已知中，求通項(xiàng)nnnnaaaaa 11()()1nnnnaqaddatq at tq 對(duì)于型數(shù)列，可用構(gòu)造法轉(zhuǎn)化為類型五、構(gòu)造法類型五、構(gòu)造法 形如形如1nnaqad形如形如1111111*23 ,12(1) ,22363, 20,6,23(1) 636,1010 25 25 236,nnnnnnnnnnnnnnnnaan aaCn DaC nD C DaaCnCDanCCDDanbanbbbannN 使

6、用待定系數(shù)法是常數(shù)所以令且易知顯然 是等比數(shù)列,1nnakabn 通項(xiàng)公式求例：nnnaanaa, 1,32111nnaqad142 (2,3,4,)nnnaan 思思路路鑒鑒賞賞：解解法法一一（構(gòu)構(gòu)造造1 1）142nnnaa 112122nnnnaa 1112(1)22nnnnaa 法法二二（構(gòu)構(gòu)造造2 2）1124(2)nnnnaa 142nnnaa 形如形如1nnnakab例：已知數(shù)列 中， ，求數(shù)列 通項(xiàng)公式 na nannnaaa24, 211練習(xí)：練習(xí)： 1113,33,nnnnaaaaa n n數(shù)數(shù)列列滿滿足足: :求求通通項(xiàng)項(xiàng)公公式式. .11111 33 133 133 -

7、11333nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaannan 解解：是是以以為為首首項(xiàng)項(xiàng)，以以 為為公公差差的的等等差差數(shù)數(shù)列列（） 1()knnaA ak為常數(shù)法（1）：迭代法11211211111111lg2 ( )( )*22(),2,0lg()lg,2lglg,lg1,lg,lg2lg211,lg2 ( ),lglg2 ( ),22102,nnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaabababbaanN兩邊取對(duì)數(shù),有根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)有令易知是等比數(shù)列因此11212118134122112nnaaaaannnn類型六、形如類型六、形如11211211111111lg2 ( )(

8、 )*22(),2,0lg()lg,2lglg,lg1,lg,lg2lg211,lg2 ( ),lglg2 ( ),22102,nnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaabababbaanN兩邊取對(duì)數(shù),有根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)有令易知是等比數(shù)列因此法（2）：兩邊取對(duì)數(shù)例例8： 111,21nnnnnaaaaaa 數(shù)數(shù)列列滿滿足足: :求求通通項(xiàng)項(xiàng)公公式式類型七、取倒數(shù)法類型七、取倒數(shù)法 形如形如1nnnpaaqap111n11n12111 221a11 2aannnnnnaaaaaa 解解：是是以以為為首首項(xiàng)項(xiàng)，以以 為為公公差差的的等等差差數(shù)數(shù)列列1111(1)22 -1 2 -1nn

9、nnaaan類型八、相除法類型八、相除法 形如形如11nnnnaapaa例：例：1112,0,2.nnnnnnaaaaaaa已知且,求1111111 2 211 -211545 -1 (-2)-2222 45nnnnnnnnnaaaaaaaannnaaan 解解：是是以以為為首首項(xiàng)項(xiàng)，以以為為公公差差的的等等差差數(shù)數(shù)列列（）通項(xiàng)公式求法通項(xiàng)公式求法 類型 方法l等差、等比 公式法l已知Sn或Sn與an關(guān)系 通用公式法l形如 累加法l形如 累乘法l形如 待定系數(shù)法l形如 取對(duì)數(shù)法)(1nfaann)(1nfaanndkaann1dnkaann1nnnbkaa11nnkaadpakaannn11形如 取倒數(shù)法構(gòu)造輔助數(shù)列1： 1215,2,6103 -311(1);2(2)(3).nnnnnnaanN naxa xaanS 設(shè)設(shè)數(shù)數(shù)列列若若對(duì)對(duì)任任意意的的二二次次方方程程都都有有根根 、 ，且且滿滿足足求求證證：是是等等比比數(shù)數(shù)列列求求通通項(xiàng)項(xiàng) ；求求前前 項(xiàng)項(xiàng)和和 課后課后 練習(xí)練習(xí)2： 11,3,2 (2)1.nnnnnnaaaS SnSa 已已知知求求證證：是是等等差差數(shù)數(shù)列列，并并求求公公差差；