函數單調性及最大最小值

1、單調性與最大（?。┲祮握{性與最大（?。┲?曹利霞問題提出問題提出 德國有一位著名的心理學家艾賓浩斯，對人類德國有一位著名的心理學家艾賓浩斯，對人類的記憶牢固程度進行了有關研究的記憶牢固程度進行了有關研究. .他經過測試，得他經過測試，得到了以下一些數據：到了以下一些數據：時間間隔時間間隔 t剛記剛記憶完憶完畢畢20分分鐘后鐘后60分分鐘后鐘后8-9小時小時后后1天天后后2天天后后6天天后后一個一個月后月后記憶量記憶量y(百分比百分比)10058.244.235.833.727.825.421.1以上數據表明，記憶量以上數據表明，記憶量y y是時間是時間間隔間隔t t的函數的函數. . 艾賓浩斯

2、根據這艾賓浩斯根據這些數據描繪出了著名的些數據描繪出了著名的“艾賓浩艾賓浩斯遺忘曲線斯遺忘曲線”, ,如圖如圖. .123tyo20406080100思考思考1:1:當時間間隔當時間間隔t t逐漸增逐漸增 大你能看出對應的函數值大你能看出對應的函數值y y有什么變化趨勢？通過這個有什么變化趨勢？通過這個試驗，你打算以后如何對待試驗，你打算以后如何對待剛學過的知識剛學過的知識? ?思考思考2:2:“艾賓浩斯遺忘曲線艾賓浩斯遺忘曲線”從左至右是逐漸下降的，對此，從左至右是逐漸下降的，對此，我們如何用數學觀點進行解釋？我們如何用數學觀點進行解釋？tyo20406080100123知識探究（一）知識探

3、究（一）yxo考察下列兩個函數考察下列兩個函數: :( )f xx2( )(0)f xxx （1 1） ； (2)(2)xyo思考思考1 1: :這兩個函數的圖象分別是什么？二者有何這兩個函數的圖象分別是什么？二者有何共同特征？共同特征？思考思考2 2: :如果一個函數的圖象從左至右逐漸上升，如果一個函數的圖象從左至右逐漸上升，那么當自變量那么當自變量x x從小到大依次取值時，函數值從小到大依次取值時，函數值y y的的變化情況如何？變化情況如何？( )f x12xx1()f x2()f x思考思考3 3: :如圖為函數如圖為函數 在定義域在定義域I I內某個區(qū)間內某個區(qū)間D D上的圖象，對于該

4、上的圖象，對于該區(qū)間上任意兩個自變量區(qū)間上任意兩個自變量x x1 1和和x x2 2，當當 時，時， 與與 的大的大小關系如何小關系如何？xyox1x2( )yf x1()f x2()f x思考思考4 4: :我們把具有上述特點的函數稱為增函數，我們把具有上述特點的函數稱為增函數，那么怎樣定義那么怎樣定義“函數函數 在區(qū)間在區(qū)間D D上是增函數上是增函數”？( )f x( )f x12,x x1x2x1( )f x2()f x)(xf對于對于函數函數定義域定義域I I內某個區(qū)間內某個區(qū)間D D上的任意兩個自變量上的任意兩個自變量 的值的值，若當，若當 時，都有時，都有 , ,則稱函數則稱函數

5、在區(qū)間在區(qū)間D D上是增函數上是增函數. . 知識探究（二）知識探究（二）考察下列兩個函數考察下列兩個函數: :( )f xx 2( )(0)f xxx （1 1） ； (2)(2)1()f x2()f x( )yf xxyoxoy思考思考1 1: :這兩個函數的圖象分別是什么？這兩個函數的圖象分別是什么？二者有何二者有何 共同特征？共同特征？( )f x思考思考2 2: :我們把具有上述特點的我們把具有上述特點的函數稱為減函數，那么怎樣定函數稱為減函數，那么怎樣定義義“函數函數 在區(qū)間在區(qū)間D D上是減上是減函數函數”？2()f xxyox1x2( )yf x1()f x( )f x12,x

6、 x1x2x1( )f x2()f x)(xf對于對于函數函數定義域定義域I I內某個區(qū)間內某個區(qū)間D D上的任意兩個自變量上的任意兩個自變量 的值的值，若當，若當 , ,則稱函數則稱函數 在區(qū)間在區(qū)間D D上是減函數上是減函數. . 2( )(1)f xx( )f x( )f x思考思考3 3：如果函數如果函數y=f(x)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間D D上是增函上是增函數或減函數，則稱函數數或減函數，則稱函數 在這一區(qū)間具有在這一區(qū)間具有（嚴格的）（嚴格的）單調性單調性，區(qū)間，區(qū)間D D叫做函數叫做函數 的的單調區(qū)間單調區(qū)間. .那么二次函數在那么二次函數在R R上具有單調性嗎？上具有單調性嗎

7、？函數函數 的單調區(qū)間如何？的單調區(qū)間如何？ 1、函數的單調性是在定義域內的某個區(qū)間上函數的單調性是在定義域內的某個區(qū)間上的性質，是函數的的性質，是函數的局部性質局部性質；注意：注意： 2 、必須是對于區(qū)間必須是對于區(qū)間D內的內的任意任意兩個自變量兩個自變量x1，x2；當；當x1x2時，時，總有總有f(x1)f(x2) 分別是增函數和減函數分別是增函數和減函數. .下面是常見的基本初等函數的單調區(qū)間（應熟記）yoxoyxyoxyoxyox在 增函數在 減函數ab2-，,2ab在 增函數在 減函數ab2-，,2ab在(-,+)是減函數在(-,0)和(0,+)是減函數在(-,+)是增函數在(-,0

8、)和(0,+)是增函數yox例1、下圖是定義在區(qū)間-5，5上的函數y=f(x)，根據圖象說出函數的單調區(qū)間，以及在每個區(qū)間上，它是增函數還是減函數？解：函數解：函數y=f(x)的單調區(qū)間有的單調區(qū)間有 -5,-2),-2,1),1,3),3,5 其中其中y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間-5,-2), 1,3)是減函數，是減函數， 在區(qū)間在區(qū)間-2,1), 3,5 上是增函數。上是增函數。知識遷移,應用提高思考思考:能否寫成能否寫成-5,-2) 1,3)?注意：注意：函數的單調性是對某個區(qū)間而言的，函數的單調性是對某個區(qū)間而言的，對于單獨的一點，由于它的函數值是唯一對于單獨的一點，由于它的函數值是唯一確

9、定的常數，因而沒有增減變化，所以不確定的常數，因而沒有增減變化，所以不存在單調性問題；對于閉區(qū)間上的連續(xù)函存在單調性問題；對于閉區(qū)間上的連續(xù)函數來說，只要在開區(qū)間上單調，它在閉區(qū)數來說，只要在開區(qū)間上單調，它在閉區(qū)間上也就單調，因此，在考慮它的單調區(qū)間上也就單調，因此，在考慮它的單調區(qū)間時，包括不包括端點都可以；間時，包括不包括端點都可以；例例2、證明函數、證明函數f(x)=3x+2在在R上是增函數。上是增函數。證明：證明：設設x1，x2是是R上的任意兩個實數，且上的任意兩個實數，且x1x2，則，則f(x1)f（x2）（）（3x12） （3x22）3（ x1x2 ）由由x1x2，得，得x1x2

10、0于是于是f（x1）f（x2）0即即f（x1）f（x2）所以，函數所以，函數f(x)=3x+2在在R上是增函數。上是增函數。取值取值作差作差變形變形定號定號下結論下結論證明證明函數單調性的方法步驟函數單調性的方法步驟 1 任取任取x1，x2D，且，且x1x2；2 作差作差f(x1)f(x2)；3 變形（通常是因式分解和配方）；變形（通常是因式分解和配方）；4 定號（即判斷差定號（即判斷差f(x1)f(x2)的正負）；的正負）；5 下結論（即指出函數下結論（即指出函數f(x)在給定的區(qū)間在給定的區(qū)間D上的上的單調性）單調性） 利用定義證明函數利用定義證明函數f(x)在給定的區(qū)間在給定的區(qū)間D上的

11、單上的單調性的一般步驟：調性的一般步驟：設設x1，x2（0，+），且），且x1x2，則，則22111)(,1)(xxfxxf212111)()(xxxfxf2112xxxx 0), 0(,2121xxxx01221xxxx0)()(21xfxf)()(21xfxf.), 0(1)(上是減函數在函數xxf111Ox y1f（x）在定義域）在定義域上是減函數嗎？上是減函數嗎？減函數減函數f（x）在定義域）在定義域上是減函數嗎？上是減函數嗎？取取x1=-1，x2=1f（-1）=-1f（1）=1-11f（-1）f（1）13.( )(0,).f xx例 函數在上是增函數還是減函數？證明你的結論 小小 結

12、結利用定義確定或證明函數利用定義確定或證明函數f(x)f(x)在給定的在給定的 區(qū)間區(qū)間D D上的單調性的一般步驟：上的單調性的一般步驟： 1.1.取數取數: :任取任取x x1 1，x x2 2DD，且，且x x1 1x x2 2； 2.2.作差作差: :f(xf(x1 1) )f(xf(x2 2) )； 3.3.變形變形: :通常是因式分解和配方通常是因式分解和配方; ; 4.4.定號定號: :判斷差判斷差f(xf(x1 1) )f(xf(x2 2) )的正負的正負; ; 5.5.小結小結: :指出函數指出函數f(x)f(x)在給定的區(qū)間在給定的區(qū)間D D上的上的 單調性單調性. . 1、如果 ，且 時，有 ，則函數 在 上是( ) A增函數 B減函數 C先減后增 D不能確定12,x xa b12xx12( )()f xf x, a