第九章多元函數(shù)積分學(xué)

1、第九章多元函數(shù)積分學(xué)第九章多元函數(shù)積分學(xué)第一節(jié)第一節(jié) 二重積分二重積分 第二節(jié)第二節(jié) 二重積分的計算法二重積分的計算法 第三節(jié)第三節(jié) 二重積分應(yīng)用舉例二重積分應(yīng)用舉例 O yx z ) , ( y x f z = Ds d 圖圖9-1 由由于于柱柱體體的的高高( , )f x y是是變變動動的的， 且且在在區(qū)區(qū)域域D上上是是連連續(xù)續(xù)的的，所所以以在在小小范范圍圍內(nèi)內(nèi)它它的的變變動動不不大大，可可以以近近似似地地看看成成不不變變.依依此此，就就可可用用類類似似于于求求曲曲邊邊梯梯形形面面積積的的方方法法，即即采采取取分分割割、取取近近似似、求求和和、取取極極限限的的方方法法（以以后后簡簡稱稱四四

2、步步求求積積法法）來來求求的的曲曲頂頂柱柱體體的的體體積積 V. 為此，我們用一組曲線網(wǎng)把為此，我們用一組曲線網(wǎng)把D分割成分割成 n 個小區(qū)域個小區(qū)域12,(1,2,)niinssss=同時又表示它們的面同時又表示它們的面積積.以每個小區(qū)域以每個小區(qū)域is為底作為底作 n 個母線平行于個母線平行于 z 軸的小柱軸的小柱體，又在小區(qū)域體，又在小區(qū)域is上任取一點上任取一點( ,)(1,2, )iiin =，以，以( ,)iif 為高，為高，is為底的小平頂柱體體積為底的小平頂柱體體積( ,)iiif s作作為相應(yīng)小曲頂柱體體積的近似值，為相應(yīng)小曲頂柱體體積的近似值， 于是于是n個平頂柱體的體積的

3、和個平頂柱體的體積的和 1( ,)niiiif s= 就是所求曲頂柱體體積的一個近似值， 令就是所求曲頂柱體體積的一個近似值， 令 n 個小閉區(qū)個小閉區(qū)域域is的直徑（一個閉區(qū)域的直徑是指區(qū)域是任意兩的直徑（一個閉區(qū)域的直徑是指區(qū)域是任意兩點間距離的最大者）中的最大值（記作點間距離的最大者）中的最大值（記作 ）趨于零，）趨于零， 取上述和式的極限便得所求曲頂柱體的體積，即取上述和式的極限便得所求曲頂柱體的體積，即 01lim( ,)niiiiVf s= 證證 顯然顯然0s，把性質(zhì)，把性質(zhì) 6 中不等式各除以中不等式各除以 s，有，有 1( , )dDmf x yMss， 這就是說，確定的數(shù)值這

4、就是說，確定的數(shù)值1( , )dDf x yss是介于函數(shù)是介于函數(shù)( , )f x y的最大值的最大值M與最小值與最小值m之間的之間的.根據(jù)在有界閉區(qū)域上根據(jù)在有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的介值連續(xù)函數(shù)的介值定理，在定理，在 D 上至少存在一點上至少存在一點( , ) ，使得函，使得函數(shù)在該點的值與這個確定的數(shù)值相等，即數(shù)在該點的值與這個確定的數(shù)值相等，即 1( , )d( , )Df x yfs s=. 上式兩端乘以上式兩端乘以，就是所需證明的公式，就是所需證明的公式. 例例 2 2 比比較較二二重重積積分分ln()dDxys與與2ln() dDxys的的 大大 小小 ， 其其 中中D是是 三三

5、角角 形形 閉閉 區(qū)區(qū) 域域 ， 三三 頂頂 點點 分分 別別 為為(1,0),(1,1),(2,0). 解解 如如圖圖92在在D上上12xy則則 0ln()ln2lne1xy=.所所以以 2ln()ln()xyxy 由由性性質(zhì)質(zhì) 5 得得 2ln()dln() dDDxyxyss. 12yx12O圖圖9-2在在實實際際應(yīng)應(yīng)用用中中，直直接接通通過過二二重重積積分分的的定定義義與與性性質(zhì)質(zhì)來來計計算算二二重重積積分分一一般般是是困困難難的的.下下面面， 我我們們從從計計算算曲曲頂頂柱柱體體的的體體積積出出發(fā)發(fā)來來給給出出二二重重積積分分的的計計算算方方法法.這這種種方方法法是是把把二二重重積積

6、分分化化為為二二次次積積分分來來計計算算. (a) 1( )yx= 2( )yx= a b x y O D (b) 2( )yx= 1( )yx= a b y O D x 圖圖 9-39-3x b z ( , )z f xy= 0 x 2( )yx= 1( )yx= O a y 圖圖 941( )xy= 2( )xy= D O c d y x (a) 2( )xy= 1( )xy= x y O c d D (b) 圖圖 9-5 在在推推導(dǎo)導(dǎo)中中，借借助助幾幾何何直直觀觀，設(shè)設(shè)( , )0f x y ，事事實實上上，這這個個公公式式的的成成立立并并不不受受此此條條件件限限制制.類類似似地地，如如

7、果果積積分分區(qū)區(qū)域域 D可可用用不不等等式式 12( )( ),yxy cyd 表表示示（圖9-5），其其中中12( ),( )yy在在區(qū)區(qū)間間, c d上上連連續(xù)續(xù)，這這樣樣的的區(qū)區(qū)域域稱稱為為 Y-型型區(qū)區(qū)域域， 其特點是：穿過其特點是：穿過 D 內(nèi)部且平行內(nèi)部且平行 x 軸的直線與軸的直線與 D 的邊的邊界相交不多于兩點，則有界相交不多于兩點，則有 2121( )( )( )( )( , )d( , )d dd( , )dDdycydycyf x yf x yx yyf x yxs= (2) 公式公式(2)是把二重積分化為先對是把二重積分化為先對 x， 后對， 后對 y 的二重積分的二重

8、積分來計算來計算. 如果所給積分區(qū)域如果所給積分區(qū)域D既既是是X 型的，可用不等式型的，可用不等式12( )( ),xyx axb表表示，又是示，又是Y 型的，可用不等型的，可用不等式式12( )( ),yxy cyd表示表示(96)圖，由公式，由公式(1)和和(2)就有就有 O a d c b y D 圖圖 9-6 x A B O a b y D 圖圖 9-7 1D 2D 3D x y 圖圖98yD21Ox圖 99例例 2 2 計計算算二二重重積積分分223dDx ys，其其中中 D 是是由由 x 軸軸，y軸軸和和拋拋物物線線21yx= 所所圍圍成成的的在在第第一一象象限限內(nèi)內(nèi)的的閉閉區(qū)區(qū)域

9、域. 1Oyxx121yx= y = 011Ox = 01xy=xy(a)(b)圖圖 910例例3 3 計計算算二二重重積積分分dDxys， 其其中中D是是由由拋拋物物線線 2yx=及及直直線線2yx=所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域. 解解 畫 出 區(qū) 域畫 出 區(qū) 域D(9 11)圖.先求交點，先求交點，解 方 程 組解 方 程 組2,2,yxyx= 得得交點坐標(biāo)為交點坐標(biāo)為(1, 1)及及(4,2)D既是既是X 型，又型，又是是Y 型區(qū)域型區(qū)域. 圖圖 9 - 11D(4,2)(1,-1)xy2yO-12xy=2xy=若若按按Y 型型區(qū)區(qū)域域計計算算，用用公公式式(2)，有有 2222212

10、12251dddd21(2)d2yyyyDyxxyyxy xyyyyyys= 2463211422436yyyy= 558= 若若按按 x-型型區(qū)區(qū)域域計計算算，用用公公式式（1） ，則則由由于于 下下 方方 邊邊 界界 曲曲 線線1( )yx=在在區(qū)區(qū)間間0,1及及1,4上上的的表表達達方方式式不不一一致致，所所以以要要用用經(jīng)經(jīng)過過交交點點(1, 1)且且平平行行于于y軸軸的的直直線線1x =把把區(qū)區(qū)域域D分分成成兩兩部部分分（圖圖 9-12）. x4x圖圖 9 - 12(4,2)(1,-1)y1O2yx=2D1Dyx=yx= x其中其中 1( , ),01Dx yxyxx= 2( , )2

11、,14Dx y xyxx= 解解 畫 出 積 分 區(qū) 域畫 出 積 分 區(qū) 域D(9 13)圖 若用公式若用公式(1)，就要，就要先計算定積分先計算定積分sindxxyyy， 由于， 由于sin yy的的原函數(shù)不是初等函數(shù)，原函數(shù)不是初等函數(shù)，因而積分因而積分sindxxyyy無無法用牛頓法用牛頓萊布尼茨公萊布尼茨公式算出式算出. DyOx圖圖 9- 132yx=yx=2112001100sinsinsind ddd()d(1)sin d(1)d(cos )yyDyyyx yyxyyyyyyyy yyy= 1100(1)coscos dyyy y= 1 sin1= . 此此例例表表明明，選選擇

12、擇怎怎樣樣的的二二次次積積分分次次序序有有時時直直接接關(guān)關(guān)系系到到能能否否算算得得二二重重積積分分的的結(jié)結(jié)果果. 若按若按Y 型區(qū)域，用公式型區(qū)域，用公式(2),則有則有 21(1,1)yxO圖圖 9- 141D2D1221200100d( , )dd( , )dd( , )dxxyyxf x yyxf x yxyf x yx=例例 6 6 通通過過交交換換積積分分次次序序計計算算二二次次積積分分2110dedyxxy. 圖圖 9- 152121DyxO(1,1)于于是是2222111100001100deddeded111e(1)22eyyyyxyxyyxyy= = 在在具具體體計計算算二二

13、重重積積分分時時，根根據(jù)據(jù)被被積積函函數(shù)數(shù)的的特特點點和和積積分分區(qū)區(qū)域域的的形形狀狀，選選擇擇適適當(dāng)當(dāng)?shù)牡淖鴺?biāo)標(biāo)，會會使使計計算算變變得得簡簡單單.下下面面介介紹紹利利用用極極坐坐標(biāo)標(biāo)計計算算二二重重積積分分的的方方法法. 用用極極坐坐標(biāo)標(biāo)計計算算二二重重積積分分時時，積積分分區(qū)區(qū)域域 D 及及被被積積函函數(shù)數(shù)( , )f x y都都應(yīng)應(yīng)不不難難用用極極坐坐標(biāo)標(biāo)表表示示，而而面面積積元元素素怎怎樣樣用用極極坐坐標(biāo)標(biāo)表表示示呢呢？ 按按二二重重積積分分的的定定義義 01( , )dlim( ,)niiiiDf x yfs s= 可可知知，01lim( ,)niiiif s=的的值值與與is的

14、的分分法法無無關(guān)關(guān)， 與與點點( ,)ii 的的取取法法無無關(guān)關(guān). 從從而而在在直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系下下，我我們們選選擇擇了了is的的一一種種特特殊殊分分法法， 取取分分別別平平行行于于x軸軸及及y軸軸的的兩兩族族直直線線， 即即x =常常數(shù)數(shù)，y =常常數(shù)數(shù)，把把區(qū)區(qū)域域D分分成成 n 個個小小區(qū)區(qū)域域is，設(shè)設(shè)長長為為ix，寬寬為為ky，則則iiixys= ，從從而而面面積積dd dx ys=. 在在極極坐坐標(biāo)標(biāo)下下，假假設(shè)設(shè)從從極極點點 O 出出發(fā)發(fā)穿穿過過積積分分區(qū)區(qū)域域 D 內(nèi)內(nèi)部部的的射射線線與與 D 的的邊邊界界曲曲線線相相交交不不多多于于兩兩點點.我我們們用用極極坐坐標(biāo)標(biāo)系系中

15、中的的曲曲線線網(wǎng)網(wǎng)r =常常數(shù)數(shù)（是是以以極極點點為為中中心心的的一一族族同同心心圓圓）和和 =常常數(shù)數(shù)（是是自自極極點點出出發(fā)發(fā)的的一一族族射射線線） ，將將區(qū)區(qū)域域 D 分分成成n 個個小小閉閉區(qū)區(qū)域域（圖圖 916）. xOddrdr圖圖 9- 16這 些 小 閉 區(qū) 域 的 面 積這 些 小 閉 區(qū) 域 的 面 積(1,2, )iins=當(dāng)作是兩個圓扇形的當(dāng)作是兩個圓扇形的面積之差，除了包含邊界點的一些小面積之差，除了包含邊界點的一些小閉區(qū)域外（當(dāng)取極限時，這一些小閉閉區(qū)域外（當(dāng)取極限時，這一些小閉區(qū)域?qū)?yīng)項的和的極區(qū)域?qū)?yīng)項的和的極限限趨于零，因此趨于零，因此這些小區(qū)域可以忽略不這些

16、小區(qū)域可以忽略不計計）.于是得于是得 2211()22iiiiiirrrs= 21()2iiiiiiiir rrr r= （略去高階無窮小（略去高階無窮小21()2iir） ，） ，于是就得到極坐標(biāo)下的面積元素于是就得到極坐標(biāo)下的面積元素dd dr rs=. 這時區(qū)域這時區(qū)域D在兩條射線在兩條射線, =之間，這兩條射線和之間，這兩條射線和D的邊界的交點把區(qū)域邊界分為兩部分：的邊界的交點把區(qū)域邊界分為兩部分：12( ),( )rrrr=.此時此時積分區(qū)域積分區(qū)域D可以用不等式可以用不等式 12( )( ),rrr 來表示來表示.在區(qū)間在區(qū)間, 上任意取一個上任意取一個 值， 對應(yīng)這個值， 對應(yīng)這

17、個 值作射線值作射線 x 2( )rr= 1( )rr= B D A 圖 9-17 xOD圖圖918Ox圖9-19當(dāng)當(dāng)12( )0,( )( )rrr=時時，21( )d2rs=， 這這就就是是在在定定積積分分應(yīng)應(yīng)用用中中極極坐坐標(biāo)標(biāo)情情形形下下的的曲曲邊邊扇扇形形的的面面積積公公式式. . 通通常常當(dāng)當(dāng)積積分分區(qū)區(qū)域域的的邊邊界界由由圓圓弧弧、射射線線組組成成且且被被積積函函數(shù)數(shù)含含有有22,yxyx等等形形式式時時，用用極極坐坐標(biāo)標(biāo)計計算算較較為為簡簡單單. . 例例 7 7 求求222dDIaxys=,其其中中 D 是是圓圓域域22xyax. 解解 因因積積分分區(qū)區(qū)域域 D 是是圓圓域域

18、22xyax（圖圖 9-20）.它它的的邊邊界界曲曲線線方方程程是是cosra=.當(dāng)當(dāng) 固固定定時時，r從從0到到cosa，而而 的的變變化化范范圍圍是是區(qū)區(qū)間間 ,2 2 y x a O cosra= r 圖圖 9-20 于于是是得得 22cos22202d dddDaIar r rar r r= cos32222203320331()d32(1 sin)d322()(34)3239aaraaa= 例例 8 8 計算計算22ed dxyDx y，其中，其中D是由圓是由圓222xya=所圍所圍成的閉區(qū)域成的閉區(qū)域. 解解 因積分區(qū)域是圓域因積分區(qū)域是圓域（圖（圖 9-21） ，它的邊界曲線） ，它的邊界曲線的極坐標(biāo)方程為的極坐標(biāo)方程為ra=.由變由變換公式（換公式（4）及計算公式（）及計算公式（7）得得 2222200ed ded dde