平面圖形的幾何性質

1、第五章第五章 平面圖形的幾何性質平面圖形的幾何性質 a. a.一般圖形的靜矩和形心一般圖形的靜矩和形心zcAcyASA yydASA zzdA 對對 z、y 軸的靜矩分別可表示為：軸的靜矩分別可表示為：（5-1）一、定義一、定義1靜矩和形心靜矩和形心圖圖5-1*對形心軸的靜矩為零。對形心軸的靜矩為零。 00cczySS 靜矩量綱為靜矩量綱為長度長度3。 平面圖形的形心坐標為：平面圖形的形心坐標為：zAcyAcSydAyAASzdAzAA （5-2）圖圖5-1b. .組合圖形的靜矩和形心組合圖形的靜矩和形心11nziiiniyiiSA ySA z 如有如有 n 個圖形組合在一起，則靜矩為：個圖形

2、組合在一起，則靜矩為： （5-3）形心可表示為：形心可表示為： 1111niizicniiniiyicniiA ySyAAA zSzAA （5-4）式式5-4，式，式5-5中：中：A1、A2An各簡單圖形的面積各簡單圖形的面積 1212nnyyyz zz 、各簡單圖形的形心坐標、各簡單圖形的形心坐標、各簡單圖形的形心坐標、各簡單圖形的形心坐標2慣性矩、極慣性矩、慣性積慣性矩、極慣性矩、慣性積 圖圖5-2a. .慣性矩慣性矩 圖形對圖形對z、y軸的慣性矩定義為：軸的慣性矩定義為： 22zAyAIy dAIz dA （5-5）b. .極慣性矩極慣性矩 圖形對坐標原點的極慣矩定義為：圖形對坐標原點的

3、極慣矩定義為： 2pAIdA 又：又： pzyIII （5-6）（5-7）*圓截面對形心的極慣矩為：圓截面對形心的極慣矩為： 432pId 對形心坐標的慣性矩為：對形心坐標的慣性矩為： 41264zypdIII *空心圓截面對形心的極慣矩為：空心圓截面對形心的極慣矩為： 444413232pDIDd 對形心坐標的慣性矩為：對形心坐標的慣性矩為： 4411264zypDIII C.慣性積慣性積yzAIyzdA 圖形對圖形對z、y兩軸的慣性積定義為：兩軸的慣性積定義為：（5-8）y為對稱軸為對稱軸圖圖5-3*若平面圖形具有一根對稱軸，則該圖形對于包括此對稱若平面圖形具有一根對稱軸，則該圖形對于包括

4、此對稱軸在內的一對坐標軸的慣性積恒等于零。即軸在內的一對坐標軸的慣性積恒等于零。即 120yzyzyzIII慣性矩、極慣性矩、慣性積的量綱為慣性矩、極慣性矩、慣性積的量綱為長度長度4二、平行移軸公式二、平行移軸公式 上面計算式是已知對上面計算式是已知對z、y 軸（形軸（形心軸）的慣性矩和慣性積求對心軸）的慣性矩和慣性積求對 z1、y1軸的慣性矩和慣性積。軸的慣性矩和慣性積。 （5-9）111 122zzyyz yzyIIb AIIa AIIabA 圖圖5-4如如z、y軸過圖形的形心。軸過圖形的形心。z1平行平行z，y1平行平行y，則有：，則有： 同樣也可反求，即同樣也可反求，即 111 122

5、zzyyzyz yIIb AIIa AIIabA （5-10）對于組合圖形：對于組合圖形： 111 121211iiiinzziiinyyiiinz yz yiiiiIIb AIIa AIIa b A 圖圖5-5（5-11） 2203222303222233243132rzArzcSydAyrydyryrrSryAr 解解 （1）在距）在距 z 軸任意高度軸任意高度 y 處取處取狹長條作為微面積，即狹長條作為微面積，即 222dAry dy例例1 半徑為半徑為r的半圓：（的半圓：（1）求其對直徑）求其對直徑z軸的靜矩及形心軸的靜矩及形心；（2）求對形心軸）求對形心軸zc的慣性矩。的慣性矩。 c

6、y例例1圖圖（2）圓對）圓對z軸的慣性矩為：軸的慣性矩為： 4264zrI 半圓對半圓對z軸的慣性矩為：軸的慣性矩為： 4421121288zzrIIr 利用平行移軸公式，半圓對形心軸利用平行移軸公式，半圓對形心軸 的慣性矩為：的慣性矩為： cz 22242441418321889zczzcIIb AIyArrrrr 例例1圖圖例例2試計算圖示槽形截面的形心主慣性矩。試計算圖示槽形截面的形心主慣性矩。 例例2圖圖 11110.589.5400 10.52 89.5 1810.522400 10.52 89.5 1826.9niiyicniiA ZSZAAmm 解解（1）形心坐標）形心坐標的計算。的計算。cZZ為對稱軸，形心必在為對稱軸，形心必在z軸上軸上 例例2圖圖Z 為對稱軸，故為形心主軸，另一條形心主軸必須過形心為對稱軸，故為形心主軸，另一條形心主軸必須過形心并與并與 z 軸垂直，即圖中軸垂直，即圖中 y 軸。軸。 （2）確定形心主軸）確定形心主軸 例例2圖圖（3）形心主慣矩計算）形心主慣矩計算 3324410.540089.5 18220098