微分方程的冪級數(shù)解法

1、第十一節(jié)第十一節(jié)微分方程的冪級數(shù)解法 一、一階微分方程問題一、一階微分方程問題 二、二階齊次線性微分方程問題二、二階齊次線性微分方程問題微分方程解法: 積分法 只能解一些特殊類型方程 冪級數(shù)法 本節(jié)介紹 數(shù)值解法 計算數(shù)學內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容: 第七章 一、問題的提出一、問題的提出,22yxdxdy 例如例如解不能用初等函數(shù)或其積分式表達解不能用初等函數(shù)或其積分式表達.尋求近似解法尋求近似解法: 冪級數(shù)解法冪級數(shù)解法;數(shù)值解法數(shù)值解法.卡比逐次逼近法卡比逐次逼近法;二、二、 特解求法特解求法),(yxfdxdy 問題問題.),(00的特解的特解滿足滿足求求yyyxfdxdyxx .)()()(

2、)(),(0000101000mllmyyxxayyaxxaayxf 其中其中 202010)()(xxaxxayy.,21為待定的系數(shù)為待定的系數(shù)其中其中naaa假設所求特解可展開為假設所求特解可展開為 的冪級數(shù)的冪級數(shù)0 xx.0|02的的特特解解滿滿足足求求 xyyxdxdy解解，00 x, 00 y,33221 nnxaxaxaxay設設方程方程的冪級數(shù)展開式帶入原的冪級數(shù)展開式帶入原將將yy , 342321432xaxaxaa24433221)( xaxaxaxax,32123121 nnxnaxaxaay例例1 1,201, 0, 0,21, 054321 aaaaa.20121

3、52 xxy所求解為所求解為 43122321221)2(2xaaaxaaxax比較恒等式兩端比較恒等式兩端x的同次冪的系數(shù)的同次冪的系數(shù), 得得小結(jié)小結(jié): : 無初始條件求解無初始條件求解 1nnnxaCy可設可設(C是任意常數(shù)是任意常數(shù)) 如果方程如果方程0)()( yxQyxPy中的系數(shù)中的系數(shù))(xP與與)(xQ可在可在RxR 內(nèi)展為內(nèi)展為x的冪級數(shù)的冪級數(shù), ,那么在那么在RxR 內(nèi)原方程必有形如內(nèi)原方程必有形如 nnnxay 0的解的解. .定理定理三、二階齊次線性方程冪級數(shù)求法三、二階齊次線性方程冪級數(shù)求法作法作法,0 nnnxay設解為設解為的冪級數(shù)，的冪級數(shù)，展開為展開為將將

4、0)(),(),(xxxfxQxP 比較恒等式兩端比較恒等式兩端x的同次冪的系數(shù)的同次冪的系數(shù), 確定確定y.0的解的解求方程求方程 yyxy,0nnnxay 設方程的解為設方程的解為解解例例2 2,10 nnnxnay則則21)1( nnnxanny, 0, yyxyyyy帶入帶入將將,)1)(2(02nnnxann , 00 nnnxa10 nnnxnaxnnnxann 02)1)(2(, 0)1()1)(2(02 nnnnxanann,22 naann, 2 , 1 , 0 n,313aa ,1515aa ,!)!12(112 kaak, 3 , 2 , 1 k,202aa ,804aa

5、 ,2!02kkkaa 原方程的通解原方程的通解 0121020!)!12(!2nnnnnnxanxay),(10是任意常數(shù)是任意常數(shù)aa例3.42)( )2(xyyxxyx 求方程的一個特解.解解: 設特解為,0nnnxay代入原方程整理得41200)2()2)(1(2xxanannxaannnn比較系數(shù)得:,00a12634aa)4,2(0)2()2)(1(1nnanannnn21, aa顯然可任意取值, 因是求特解, 故取,021 aa從而得61, 043aa當n 4 時,111nnana44)2)(1(1ann! ) 1(1n因此nnnxay0nnxn4! ) 1(1nnxnx3!1,

6、!10nnxxne)211(2xxexyx注意到:此題的上述特解即為例4.0) 1(2)1 (2 ynnyxyx)( 為常數(shù)n解解:,12)(2xxxP21) 1()(xnnxQ內(nèi)都可在)1 , 1(求解勒讓德 (Legendre) 方程 展成冪級數(shù), 滿足定理條件(因其特點不用具體展開它).設方程的解為,0kkkxay代入: 22) 1(kkkxakkkkkxakk2) 1(kkkxak120) 1(0kkkxann整理后得整理后得:0) 1)() 1)(2(20kkkkxaknknakk比較系數(shù), 得), 1 ,0() 1)(2() 1)(2kakkknknakk例如:02!2) 1(an

7、na13!3)2)(1(anna2443)2)(2(anna0!4)3)(1()2(annnn3554)4)(3(anna1!5)4)(2)(1)(3(annnn于是得勒讓德方程的通解: 420!4)3)(1()2(!2) 1(1xnnnnxnnay31!3)2)(1(xnnxa5!5)4)(2)(1)(3(xnnnn) 11(x上式中兩個級數(shù)都在(1, 1 )內(nèi)收斂, 10, aa可以任意取, 它們是方程的兩個線性無關(guān)特解. 四、小結(jié)四、小結(jié)微分方程解題思路微分方程解題思路一階方程一階方程高階方程高階方程分離變量法分離變量法全微分方程全微分方程常數(shù)變易法常數(shù)變易法特征方程法特征方程法待定系數(shù)

8、法待定系數(shù)法非全微分方程非全微分方程非變量可分離非變量可分離冪級數(shù)解法冪級數(shù)解法降降階階作作變變換換作變換作變換積分因子積分因子思考題思考題 什么情況下采用什么情況下采用“冪級數(shù)冪級數(shù)”解法求解解法求解微分方程？微分方程？思考題解答思考題解答 當微分方程的解不能用初等函數(shù)或其積分當微分方程的解不能用初等函數(shù)或其積分表達時表達時, 常用冪級數(shù)解法常用冪級數(shù)解法.一、一、 試用冪級數(shù)求下列各微分方程的解試用冪級數(shù)求下列各微分方程的解: :1 1、1 xxyy；2 2、0)( myymxyx. .)(為自然數(shù)為自然數(shù)m二、試用冪級數(shù)求下列方程滿足所給初始條件的特解二、試用冪級數(shù)求下列方程滿足所給初始條件的特解: : 1 1、21,032 xyxyy； 2 2、0,0cos0022 ttdtdxaxtxdtxd. .練練 習習 題題練習題答案練