高中數(shù)學(xué)配套同課異構(gòu)31回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用人教A版選修2-3ppt課件

1、 第三章第三章 統(tǒng)計(jì)案例統(tǒng)計(jì)案例3.1 3.1 回歸分析的根本思想及其回歸分析的根本思想及其初步運(yùn)用初步運(yùn)用 比中“回歸添加的內(nèi)容數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)畫散點(diǎn)圖畫散點(diǎn)圖了解最小二乘法的思了解最小二乘法的思想想求回歸直線方程求回歸直線方程y ybxbxa a用回歸直線方程處理用回歸直線方程處理運(yùn)用問題運(yùn)用問題選修2-3統(tǒng)計(jì)案例引入線性回歸模型ybxae了解模型中隨機(jī)誤差項(xiàng)e產(chǎn)生的緣由了解殘差圖的作用了解相關(guān)指數(shù) R2 和模型擬合的效果之間的關(guān)系利用線性回歸模型處理一類非線性回歸問題正確了解分析方法與結(jié)果回歸分析的內(nèi)容：回歸分析的內(nèi)容： 中，已對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的變量利用回歸分析的方法進(jìn)展了研討，其步驟為畫

2、散點(diǎn)圖，求回歸直線方程，并用回歸直線方程進(jìn)展預(yù)告。 回歸分析對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)展統(tǒng)計(jì)分析的一種常用的方法，也就是經(jīng)過一個(gè)變量或一些變量的變化解釋另一變量的變化。最小二乘法：最小二乘法： y = bx+a(x,y)(x,y)稱為樣本點(diǎn)的中心?；貧w直線過樣稱為樣本點(diǎn)的中心?；貧w直線過樣本點(diǎn)中心本點(diǎn)中心n n( (x x- - x x) )( (y y- - y y) )i ii ii i= =1 1b b = =n n2 2( (x x- - x x) )i ii i= =1 1a a = = y y - - b bx x. .n nn n1 11 1其其 中中 x x = =x x ,

3、,y y = =y y . .i ii in nn ni i= =1 1i i= =1 1n niiiii=1i=1n n2 22 2i ii=1i=1x y -nxyx y -nxy=,=,x-nxx-nx例例1 從某大學(xué)中隨機(jī)選取從某大學(xué)中隨機(jī)選取8名女大學(xué)生，其身高和體重?cái)?shù)據(jù)如表名女大學(xué)生，其身高和體重?cái)?shù)據(jù)如表1-1所示。所示。編號(hào)12345678身高/cm165 165 157 170 175 165 155 170體重/kg4857505464614359求根據(jù)一名女大學(xué)生的身高預(yù)告她的體重的回歸方程，并預(yù)告一名身高為求根據(jù)一名女大學(xué)生的身高預(yù)告她的體重的回歸方程，并預(yù)告一名身高為1

4、72cm的女大學(xué)生的體重。的女大學(xué)生的體重。案例案例1：女大學(xué)生的身高與體重：女大學(xué)生的身高與體重解：解：1、選取身高為自變量、選取身高為自變量x，體重為，體重為因變量因變量y，作散點(diǎn)圖：，作散點(diǎn)圖：2、由散點(diǎn)圖知道身高和體重有比較、由散點(diǎn)圖知道身高和體重有比較好的線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用線性好的線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用線性回歸方程描寫它們之間的關(guān)系?；貧w方程描寫它們之間的關(guān)系。分析：由于問題中要求根據(jù)身高預(yù)告體重，因此分析：由于問題中要求根據(jù)身高預(yù)告體重，因此選取身高為自變量，體重為因變量選取身高為自變量，體重為因變量172.85849. 0 xy學(xué)學(xué)身身高高1 17 72 2c cm m女

5、女大大生生體體重重y y = = 0 0. .8 84 49 91 17 72 2- -8 85 5. .7 71 12 2 = = 6 60 0. .3 31 16 6( (k kg g) )2.2.回歸方程：回歸方程：1. 散點(diǎn)圖；散點(diǎn)圖；探求：探求：身高為身高為172cm的女大學(xué)生的體重一定是的女大學(xué)生的體重一定是60.316kg嗎？假設(shè)不是，他能解析一下緣由嗎？嗎？假設(shè)不是，他能解析一下緣由嗎？答：身高為答：身高為172cm的女大學(xué)生的體重不一定是的女大學(xué)生的體重不一定是60.316kg，但普通可以以為她的體重接近于，但普通可以以為她的體重接近于60.316kg。即，用這個(gè)回歸方程不能

6、給出每個(gè)身高為即，用這個(gè)回歸方程不能給出每個(gè)身高為172cm的女大學(xué)生的體重的預(yù)測(cè)值，只能給出她們平均的女大學(xué)生的體重的預(yù)測(cè)值，只能給出她們平均體重的值。體重的值。例例1 從某大學(xué)中隨機(jī)選取從某大學(xué)中隨機(jī)選取8名女大學(xué)生，其身高和體重?cái)?shù)據(jù)如表名女大學(xué)生，其身高和體重?cái)?shù)據(jù)如表1-1所示。所示。編號(hào)12345678身高/cm165 165 157 170 175 165 155 170體重/kg4857505464614359求根據(jù)一名女大學(xué)生的身高預(yù)告求根據(jù)一名女大學(xué)生的身高預(yù)告她的體重的回歸方程，并預(yù)告一她的體重的回歸方程，并預(yù)告一名身高為名身高為172cm的女大學(xué)生的體重。的女大學(xué)生的體重。

7、案例案例1：女大學(xué)生的身高與體重：女大學(xué)生的身高與體重解：解：1、選取身高為自變量、選取身高為自變量x，體重，體重為因變量為因變量y，作散點(diǎn)圖：，作散點(diǎn)圖：2、由散點(diǎn)圖知道身高和體重有比較、由散點(diǎn)圖知道身高和體重有比較好的線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用線性好的線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用線性回歸方程描寫它們之間的關(guān)系?；貧w方程描寫它們之間的關(guān)系。3、從散點(diǎn)圖還看到，樣本點(diǎn)分布在、從散點(diǎn)圖還看到，樣本點(diǎn)分布在某一條直線的附近，而不是在一條某一條直線的附近，而不是在一條直線上，所以不能用一次函數(shù)直線上，所以不能用一次函數(shù)y=bx+a描畫它們關(guān)系。描畫它們關(guān)系。函數(shù)模型與回歸模型之間的差別函數(shù)模型與回歸模型之

8、間的差別函數(shù)模型：abxy線性回歸模型：eabxy當(dāng)隨機(jī)誤差恒等于當(dāng)隨機(jī)誤差恒等于0時(shí)，時(shí)，線性回歸模型就變?yōu)楹瘮?shù)模線性回歸模型就變?yōu)楹瘮?shù)模型型函數(shù)模型與回歸模型之間的差別函數(shù)模型與回歸模型之間的差別函數(shù)模型：abxy回歸模型：eabxy 線性回歸模型y=bx+a+e添加了隨機(jī)誤差項(xiàng)e，因變量y的值由自變量x和隨機(jī)誤差項(xiàng)e共同確定，即自變量x只能解析部分y的變化。 在統(tǒng)計(jì)中，我們也把自變量x稱為解析變量，因變量y稱為預(yù)告變量。我們可以用下面的線性回歸模型來表示：我們可以用下面的線性回歸模型來表示：y=bx+a+e， (3)其中其中a和和b為模型的未知參數(shù)，為模型的未知參數(shù)，e稱為隨機(jī)誤差。稱為

9、隨機(jī)誤差。y=bx+a+e，E(e)=0,D(e)= (4) 2.在線性回歸模型在線性回歸模型(4)中，隨機(jī)誤差中，隨機(jī)誤差e的方差的方差 越小，經(jīng)過越小，經(jīng)過回歸直線回歸直線 (5)2ybxa預(yù)告真實(shí)值預(yù)告真實(shí)值y的精度越高。隨機(jī)誤差是引起預(yù)告值的精度越高。隨機(jī)誤差是引起預(yù)告值 與真實(shí)值與真實(shí)值y之間的誤差的緣由之一，其大小取決于隨機(jī)誤差的方差。之間的誤差的緣由之一，其大小取決于隨機(jī)誤差的方差。y 另一方面，由于公式另一方面，由于公式(1)和和(2)中中 和和 為截距和斜率的估計(jì)值，為截距和斜率的估計(jì)值，它們與真實(shí)值它們與真實(shí)值a和和b之間也存在誤差，這種誤差是引起預(yù)告值之間也存在誤差，這種

10、誤差是引起預(yù)告值與真實(shí)值與真實(shí)值y之間誤差的另一個(gè)緣由。之間誤差的另一個(gè)緣由。 y ab思索思索:產(chǎn)生隨機(jī)誤差項(xiàng)產(chǎn)生隨機(jī)誤差項(xiàng)e的緣由是什么？的緣由是什么？隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差e e的來源的來源( (可以推行到普通：可以推行到普通：1 1、用線性回歸模型近似真實(shí)模型所引起的誤、用線性回歸模型近似真實(shí)模型所引起的誤差；差；2 2、忽略了其它要素的影響：影響身高、忽略了其它要素的影響：影響身高 y y 的的要素不只是體重要素不只是體重 x x，能夠還包括遺傳基因、，能夠還包括遺傳基因、飲食習(xí)慣、生長(zhǎng)環(huán)境等要素；飲食習(xí)慣、生長(zhǎng)環(huán)境等要素；3 3、身高、身高 y y 的觀測(cè)誤差。的觀測(cè)誤差。 以上三項(xiàng)誤差

11、越小，闡明我們的回歸模型以上三項(xiàng)誤差越小，闡明我們的回歸模型的擬合效果越好。的擬合效果越好。探求探求:e 是是 用預(yù)告真實(shí)值用預(yù)告真實(shí)值Y的的隨機(jī)誤差，它是一個(gè)不可觀測(cè)的量，隨機(jī)誤差，它是一個(gè)不可觀測(cè)的量，那么怎樣研討隨機(jī)誤差呢？那么怎樣研討隨機(jī)誤差呢？abx 回歸模型：eabxyybxaeyyiiiiieyyybxa其估計(jì)值為其估計(jì)值為而言，它們的隨機(jī)誤差而言，它們的隨機(jī)誤差對(duì)于樣本點(diǎn)對(duì)于樣本點(diǎn)表表3-2列出了女大學(xué)生身高和體重的原始數(shù)據(jù)以及相應(yīng)的殘差數(shù)據(jù)。列出了女大學(xué)生身高和體重的原始數(shù)據(jù)以及相應(yīng)的殘差數(shù)據(jù)。 在研討兩個(gè)變量間的關(guān)系時(shí)，首先要根據(jù)散點(diǎn)圖來粗略判別它們能否線性相關(guān)，在研討兩個(gè)

12、變量間的關(guān)系時(shí)，首先要根據(jù)散點(diǎn)圖來粗略判別它們能否線性相關(guān)，能否可以用回歸模型來擬合數(shù)據(jù)。能否可以用回歸模型來擬合數(shù)據(jù)。殘差分析與殘差圖的定義：殘差分析與殘差圖的定義： 然后，我們可以經(jīng)過殘差然后，我們可以經(jīng)過殘差 來判別模型擬合的效果，判別原始來判別模型擬合的效果，判別原始數(shù)據(jù)中能否存在可疑數(shù)據(jù)，這方面的分析任務(wù)稱為殘差分析。數(shù)據(jù)中能否存在可疑數(shù)據(jù)，這方面的分析任務(wù)稱為殘差分析。12,ne ee 編號(hào)編號(hào)12345678身高身高/cm165165157170175165155170體重體重/kg4857505464614359殘差殘差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.

13、627-2.8830.382 我們可以利用圖形來分析殘差特性，作圖時(shí)縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)可以選為樣本我們可以利用圖形來分析殘差特性，作圖時(shí)縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)可以選為樣本編號(hào)，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計(jì)值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖。編號(hào)，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計(jì)值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖。殘差圖的制造及作用。殘差圖的制造及作用。坐標(biāo)縱軸為殘差變量，橫軸可以有不同的選擇；坐標(biāo)縱軸為殘差變量，橫軸可以有不同的選擇；假設(shè)模型選擇的正確，殘差圖中的點(diǎn)應(yīng)該分布在以橫軸假設(shè)模型選擇的正確，殘差圖中的點(diǎn)應(yīng)該分布在以橫軸為心的帶形區(qū)域；為心的帶形區(qū)域；對(duì)于遠(yuǎn)離橫軸的點(diǎn)，要特別留意。對(duì)于遠(yuǎn)離橫軸的點(diǎn)，要特別留意

14、。身高與體重殘差圖異常點(diǎn) 錯(cuò)誤數(shù)據(jù) 模型問題 幾點(diǎn)闡明：幾點(diǎn)闡明： 第一個(gè)樣本點(diǎn)和第第一個(gè)樣本點(diǎn)和第6個(gè)樣本點(diǎn)的殘差比較大，需求確認(rèn)在采集過程中能否有人為個(gè)樣本點(diǎn)的殘差比較大，需求確認(rèn)在采集過程中能否有人為的錯(cuò)誤。假設(shè)數(shù)據(jù)采集有錯(cuò)誤，就予以糾正，然后再重新利用線性回歸模型擬合數(shù)的錯(cuò)誤。假設(shè)數(shù)據(jù)采集有錯(cuò)誤，就予以糾正，然后再重新利用線性回歸模型擬合數(shù)據(jù)；假設(shè)數(shù)據(jù)采集沒有錯(cuò)誤，那么需求尋覓其他的緣由。據(jù)；假設(shè)數(shù)據(jù)采集沒有錯(cuò)誤，那么需求尋覓其他的緣由。 另外，殘差點(diǎn)比較均勻地落在程度的帶狀區(qū)域中，闡明選用的模型計(jì)較適宜，這另外，殘差點(diǎn)比較均勻地落在程度的帶狀區(qū)域中，闡明選用的模型計(jì)較適宜，這樣的帶狀

15、區(qū)域的寬度越窄，闡明模型擬合精度越高，回歸方程的預(yù)告精度越高。樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，闡明模型擬合精度越高，回歸方程的預(yù)告精度越高。顯然，顯然，R2的值越大，闡明殘差平方和越小，也就是說模型擬合效果越好。的值越大，闡明殘差平方和越小，也就是說模型擬合效果越好。在線性回歸模型中，在線性回歸模型中，R2表示解析變量對(duì)預(yù)告變量變化的奉獻(xiàn)率。表示解析變量對(duì)預(yù)告變量變化的奉獻(xiàn)率。 R2越接近1，表示回歸的效果越好由于R2越接近1，表示解析變量和預(yù)告變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)。 假設(shè)某組數(shù)據(jù)能夠采取幾種不同回歸方程進(jìn)展回歸分析，那么可以經(jīng)過比較R2的值來做出選擇，即選取R2較大的模型作為這組數(shù)據(jù)的模型?？偟膩碚f

16、：總的來說：相關(guān)指數(shù)相關(guān)指數(shù)R2是度量模型擬合效果的一種目的。是度量模型擬合效果的一種目的。在線性模型中，它代表自變量描寫預(yù)告變量的才干。在線性模型中，它代表自變量描寫預(yù)告變量的才干。我們可以用相關(guān)指數(shù)我們可以用相關(guān)指數(shù)R2來描寫回歸的效果，其計(jì)算公式是來描寫回歸的效果，其計(jì)算公式是22121()11()niiiniiyyRyy殘差平方和?？偲钇椒胶?354總計(jì)0.36128.361殘差變量0.64225.639隨機(jī)誤差比例平方和來源表表1-3 從表從表3-1中可以看出，解析變量對(duì)總效應(yīng)約奉獻(xiàn)了中可以看出，解析變量對(duì)總效應(yīng)約奉獻(xiàn)了64%，即，即R2 0.64，可以表達(dá)為，可以表達(dá)為“身高解析

17、了身高解析了64%的體重變化，而隨機(jī)誤差奉獻(xiàn)了剩余的的體重變化，而隨機(jī)誤差奉獻(xiàn)了剩余的36%。 所以，身高對(duì)體重的效應(yīng)比隨機(jī)誤差的效應(yīng)大得多。所以，身高對(duì)體重的效應(yīng)比隨機(jī)誤差的效應(yīng)大得多。我們可以用相關(guān)指數(shù)我們可以用相關(guān)指數(shù)R2來描寫回歸的效果，其計(jì)算公式是來描寫回歸的效果，其計(jì)算公式是22121()11()niiiniiyyRyy殘差平方和。總偏差平方和用身高預(yù)告體重時(shí)，需求留意以下問題：用身高預(yù)告體重時(shí)，需求留意以下問題：1、回歸方程只適用于我們所研討的樣本的總體；、回歸方程只適用于我們所研討的樣本的總體；2、我們所建立的回歸方程普通都有時(shí)間性；、我們所建立的回歸方程普通都有時(shí)間性；3、樣

18、本采集的范圍會(huì)影響回歸方程的適用范圍；、樣本采集的范圍會(huì)影響回歸方程的適用范圍；4、不能期望回歸方程得到的預(yù)告值就是預(yù)告變量的準(zhǔn)確值。、不能期望回歸方程得到的預(yù)告值就是預(yù)告變量的準(zhǔn)確值。 現(xiàn)實(shí)上，它是預(yù)告變量的能夠取值的平均值?，F(xiàn)實(shí)上，它是預(yù)告變量的能夠取值的平均值。這些問題也運(yùn)用于其他問題。這些問題也運(yùn)用于其他問題。涉及到統(tǒng)計(jì)的一些思想：涉及到統(tǒng)計(jì)的一些思想：模型適用的總體；模型適用的總體；模型的時(shí)間性；模型的時(shí)間性；樣本的取值范圍對(duì)模型的影響；樣本的取值范圍對(duì)模型的影響；模型預(yù)告結(jié)果的正確了解。模型預(yù)告結(jié)果的正確了解。小結(jié)小結(jié)普通地，建立回歸模型的根本步驟為：普通地，建立回歸模型的根本步驟

19、為：1確定研討對(duì)象，明確哪個(gè)變量是解析變量，哪個(gè)變量是預(yù)告變量。確定研討對(duì)象，明確哪個(gè)變量是解析變量，哪個(gè)變量是預(yù)告變量。2畫出確定好的解析變量和預(yù)告變量的散點(diǎn)圖，察看它們之間的關(guān)系畫出確定好的解析變量和預(yù)告變量的散點(diǎn)圖，察看它們之間的關(guān)系 如能否存在線性關(guān)系等。如能否存在線性關(guān)系等。3由閱歷確定回歸方程的類型如我們察看到數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系，那由閱歷確定回歸方程的類型如我們察看到數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系，那么選用線性回歸方程么選用線性回歸方程y=bx+a.4按一定規(guī)那么估計(jì)回歸方程中的參數(shù)如最小二乘法。按一定規(guī)那么估計(jì)回歸方程中的參數(shù)如最小二乘法。5得出結(jié)果后分析殘差圖能否有異常個(gè)別數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)殘差過大，或殘得

20、出結(jié)果后分析殘差圖能否有異常個(gè)別數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)殘差過大，或殘差呈現(xiàn)不隨機(jī)的規(guī)律性，等等，過存在異常，那么檢查數(shù)據(jù)能否有誤，差呈現(xiàn)不隨機(jī)的規(guī)律性，等等，過存在異常，那么檢查數(shù)據(jù)能否有誤，或模型能否適宜等?；蚰Ｐ湍芊襁m宜等。相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)v 1. 1.計(jì)算公式計(jì)算公式v2 2相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)v(1)|r|1(1)|r|1v(2)|r|(2)|r|越接近于越接近于1 1，相關(guān)程度越大；，相關(guān)程度越大；|r|r|越接越接近于近于0 0，相關(guān)程度越小，相關(guān)程度越小v問題：到達(dá)怎樣程度，問題：到達(dá)怎樣程度，x x、y y線性相關(guān)呢？它線性相關(guān)呢？它們的相關(guān)程度怎樣呢？們的相關(guān)程度怎樣呢？n ni

21、ii ii i= =1 1n nn n2 22 2i ii ii i= =1 1i i= =1 1( (x x - - x x) )( (y y - - y y) )r r = =( (x x - - x x) )( (y y - - y y) )負(fù)相關(guān)負(fù)相關(guān)正相關(guān)正相關(guān)n n(x -x)(y -y)(x -x)(y -y)iiiii=1i=1r=r=nnnn2222(x -x) (y -y)(x -x) (y -y)iiiii=1i=1i=1i=1相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)正相關(guān)；負(fù)相關(guān)通常，正相關(guān)；負(fù)相關(guān)通常， r-1,-0.75-r-1,-0.75-負(fù)相關(guān)很強(qiáng)負(fù)相關(guān)很強(qiáng); ; r0.75,1r0.

22、75,1正相關(guān)很強(qiáng)正相關(guān)很強(qiáng); ; r-0.75,-0.3-r-0.75,-0.3-負(fù)相關(guān)普通負(fù)相關(guān)普通; ; r0.3, 0.75r0.3, 0.75正相關(guān)普通正相關(guān)普通; ; r-0.25, 0.25-r-0.25, 0.25-相關(guān)性較弱相關(guān)性較弱; ; 例例2：一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)：一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y與溫度與溫度x有關(guān)有關(guān),現(xiàn)搜集現(xiàn)搜集了了7組觀測(cè)數(shù)據(jù)組觀測(cè)數(shù)據(jù),試建立試建立y與與x之間的回歸方程之間的回歸方程 解解:1):1)作散點(diǎn)圖作散點(diǎn)圖; ;從散點(diǎn)圖中可以看出產(chǎn)卵數(shù)和溫度之間的關(guān)系并不能從散點(diǎn)圖中可以看出產(chǎn)卵數(shù)和溫度之間的關(guān)系并不能用線性回歸模型來很好地近似。這些散點(diǎn)更像是集中用

23、線性回歸模型來很好地近似。這些散點(diǎn)更像是集中在一條指數(shù)曲線或二次曲線的附近。在一條指數(shù)曲線或二次曲線的附近。解解: : 令令 那么那么z=bx+a,(a=lnc1,b=c2),z=bx+a,(a=lnc1,b=c2),列出變換后數(shù)據(jù)表并畫列出變換后數(shù)據(jù)表并畫 出出x x與與z z 的散點(diǎn)圖的散點(diǎn)圖 z =lnyz =lnyx和z之間的關(guān)系可以用線性回歸模型來擬合z = ax+b+ez = ax+b+e2 2c xc x1 1用用y = c e模y = c e模型型; ;1)x x2121232325252727292932323535z z1.9461.946 2.3982.398 3.045

24、3.045 3.1783.1784.194.194.7454.745 5.7845.7842) 2) 用用 y=c3x2+c4 y=c3x2+c4 模型模型, ,令令 , ,那么那么y=c3t+c4 ,y=c3t+c4 ,列列出變換后數(shù)據(jù)表并畫出出變換后數(shù)據(jù)表并畫出t t與與y y 的散點(diǎn)圖的散點(diǎn)圖 2 2t t = = x x散點(diǎn)并不集中在一條直線的附近，因此用線散點(diǎn)并不集中在一條直線的附近，因此用線性回歸模型擬合他們的效果不是最好的。性回歸模型擬合他們的效果不是最好的。t t44144152952962562572972984184110241024 12251225y y7 71111212124246666115115325325( (1 1) )0 0. .2 27 72 2x x- -3 3. .8 84 43 3( (2 2) )2 2y y= = e e, ,y y= = 0 0. .3 36 67 7x x - -2 20 02 2. .5 54 4( (1 1) )( (1 1) )0 0. .2 27 72 2x x- -3 3. .8 8