數(shù)學(xué)建模擬合

1、數(shù)學(xué)建模與仿真數(shù)學(xué)建模與仿真 擬擬 合合 實驗?zāi)康膶嶒災(zāi)康膶嶒瀮?nèi)容實驗內(nèi)容2. 掌握用數(shù)學(xué)軟件求解擬合問題掌握用數(shù)學(xué)軟件求解擬合問題1. 直觀了解擬合基本內(nèi)容直觀了解擬合基本內(nèi)容1. 擬合擬合問題引例及基本原理問題引例及基本原理4. 實驗實驗作業(yè)作業(yè). .2. 用數(shù)學(xué)用數(shù)學(xué)軟件求解擬合問題軟件求解擬合問題3. 應(yīng)用應(yīng)用實例實例. .擬擬 合合2. 擬合的基本原理擬合的基本原理1. 擬合問題引例擬合問題引例擬擬 合合 問問 題題 引引 例例 1 1溫度溫度t(C) 20.5 32.7 51.0 73.0 95.7電阻電阻R( ) 765 826 873 942 1032已知熱敏電阻數(shù)據(jù)：已知熱敏

2、電阻數(shù)據(jù)：求求6060C時的電阻時的電阻R2040608010070080090010001100 設(shè)設(shè) R=at+ba,b為待定系數(shù)為待定系數(shù)擬擬 合合 問問 題題 引引 例例 2 2 t (h) 0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8c ( g/ml) 19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01已知一室模型快速靜脈注射下的血藥濃度數(shù)據(jù)已知一室模型快速靜脈注射下的血藥濃度數(shù)據(jù)(t=0注射注射300mg)求血藥濃度隨時間的變化規(guī)律求血藥濃度隨時間的變化規(guī)律c(t).作半對數(shù)坐標系作半對數(shù)坐標系(semilogy)下的圖形下的圖形

3、0( )e,ktc tcc k為待定系數(shù)02468100101102MATLAB(aa1)曲曲 線線 擬擬 合合 問問 題題 的的 提提 法法已知一組（二維）數(shù)據(jù)，即平面上已知一組（二維）數(shù)據(jù)，即平面上 n個點個點（xi,yi) i=1,n, 尋求一個函數(shù)（曲線）尋求一個函數(shù)（曲線）y=f(x), 使使 f(x) 在某種準則下與所有在某種準則下與所有數(shù)據(jù)點最為接近，即曲線擬合得最好數(shù)據(jù)點最為接近，即曲線擬合得最好 +xyy=f(x)(xi,yi)i i 為點為點（xi,yi) 與與曲線曲線 y=f(x) 的距離的距離擬合與插值的關(guān)系擬合與插值的關(guān)系 函數(shù)插值與曲線擬合都是要根據(jù)一組數(shù)據(jù)構(gòu)造一個

4、函數(shù)作函數(shù)插值與曲線擬合都是要根據(jù)一組數(shù)據(jù)構(gòu)造一個函數(shù)作為近似，由于近似的要求不同，二者在數(shù)學(xué)方法上是完全不同為近似，由于近似的要求不同，二者在數(shù)學(xué)方法上是完全不同的的 實例：實例：下面數(shù)據(jù)是某次實驗所得，希望得到X和 f之間的關(guān)系？x124791 21 31 51 7f1 .53 .96 .611 .71 5 .61 8 .81 9 .62 0 .62 1 .1MATLAB(cn)問題：問題：給定一批數(shù)據(jù)點，需確定滿足特定要求的曲線或曲面解決方案：解決方案：若不要求曲線（面）通過所有數(shù)據(jù)點，而是要求它反映對象整體的變化趨勢，這就是數(shù)據(jù)擬合數(shù)據(jù)擬合，又稱曲線擬合或曲面擬合若要求所求曲線（面）通

5、過所給所有數(shù)據(jù)點，就是插值問題插值問題；最臨近插值、線性插值、樣條插值與曲線擬合結(jié)果：最臨近插值、線性插值、樣條插值與曲線擬合結(jié)果：0246810121416180510152025已知數(shù)據(jù)點spline三次多項式插值0246810121416180510152025已知數(shù)據(jù)點linest三次多項式插值0246810121416180510152025已知數(shù)據(jù)點nearest三次多項式插值曲線擬合問題最常用的解法曲線擬合問題最常用的解法線性最小二乘法的基本思路線性最小二乘法的基本思路第一步: :先選定一組函數(shù)先選定一組函數(shù) r1(x), r2(x), ,rm(x), m0)(0)模型假設(shè)模型假

6、設(shè)1.1.機體看作一個房室，室內(nèi)血藥濃度均勻機體看作一個房室，室內(nèi)血藥濃度均勻一室模型一室模型模型建立模型建立3 (0)/cd由假設(shè) 得：d2 -dckct由假設(shè) 得：( )ektdc tv 在此，在此，d=300mg，t及及c（t）在某些點處的值見前表，）在某些點處的值見前表，需經(jīng)擬合求出參數(shù)需經(jīng)擬合求出參數(shù)k、v.用線性最小二乘擬合用線性最小二乘擬合c(t)( )ektdc tv)/ln(,ln21vdakacyktvdc)/ln(ln2/,121aedvakatayMATLAB(lihe1)計算結(jié)果：計算結(jié)果：)(02.15),/1 (2347. 0lvhkd=300;t=0.25 0.

7、5 1 1.5 2 3 4 6 8;c=19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01;y=log(c);a=polyfit(t,y,1)k=-a(1)v=d/exp(a(2)程序：程序：用非線性最小用非線性最小二乘擬合二乘擬合c(t)給藥方案給藥方案 設(shè)計設(shè)計cc2c1Ot 設(shè)每次注射劑量D, 間隔時間 血藥濃度c(t) 應(yīng)c1 c(t) c2 初次劑量D0 應(yīng)加大,0DD給藥方案記為：給藥方案記為：kecc2112ln1cck2. )( ,1220ccDcD1. 計算結(jié)果：計算結(jié)果：9 . 3, 3 .225, 5 .3750DD0375

8、(mg),225(mg),4(h)DD給藥方案：給藥方案：c1=10,c2=25k=0.2347v=15.02故可制定給藥方案：故可制定給藥方案：0375mg,225mg,4hDD即即: 首次注射首次注射375mg， 其余每次注射其余每次注射225mg， 注射的間隔時間為注射的間隔時間為4h估計水塔的流量估計水塔的流量2. 解題思路解題思路3. 算法設(shè)計與編程算法設(shè)計與編程1. 問題問題 某居民區(qū)有一供居民用水的圓柱形水塔，一般可以通過測量其水位來估計水的流量，但面臨的困難是，當水塔水位下降到設(shè)定的最低水位時，水泵自動啟動向水塔供水，到設(shè)定的最高水位時停止供水，這段時間無法測量水塔的水位和水泵

9、的供水量通常水泵每天供水一兩次，每次約兩小時.水塔是一個高12.2m，直徑17.4m的正圓柱按照設(shè)計，水塔水位降至約8.2m時，水泵自動啟動，水位升到約10.8m時水泵停止工作表1 是某一天的水位測量記錄，試估計任何時刻（包括水泵正供水時）從水塔流出的水流量，及一天的總用水量 表 1 水位測量記錄 （符號/表示水泵啟動）時刻(h)水位(cm)0 0.92 1.84 2.95 3.87 4.98 5.90 7.01 7.93 8.97968 948 931 913 898 881 869 852 839 822時刻(h)水位(cm)9.98 10.92 10.95 12.03 12.95 13.

10、88 14.98 15.90 16.83 17.93/ / 1082 1050 1021 994 965 941 918 892時刻(h)水位(cm)19.04 19.96 20.84 22.01 22.96 23.88 24.99 25.91866 843 822 / / 1059 1035 1018流量估計的解題思路流量估計的解題思路擬合水位擬合水位時間函數(shù)時間函數(shù)確定流量確定流量時間函數(shù)時間函數(shù)估計一天總用水量估計一天總用水量 擬合水位擬合水位時間函數(shù)時間函數(shù) 從測量記錄看，一天有兩個供水時段（以下稱第1供水時段和第2供水時段），和3個水泵不工作時段（以下稱第1時段t=0到t=8.97，

11、第2次時段t=10.95到t=20.84和第3時段t=23以后）對第1、2時段的測量數(shù)據(jù)直接分別作多項式擬合，得到水位函數(shù)為使擬合曲線比較光滑，多項式次數(shù)不要太高，一般在36由于第3時段只有3個測量記錄，無法對這一時段的水位作出較好的擬合 確定流量確定流量時間函數(shù)時間函數(shù) 對于第1、2時段只需將水位函數(shù)求導(dǎo)數(shù)即可，對于兩個供水時段的流量，則用供水時段前后（水泵不工作時段）的流量擬合得到，并且將擬合得到的第2供水時段流量外推，將第3時段流量包含在第2供水時段內(nèi) 一天總用水量的估計一天總用水量的估計 總用水量等于兩個水泵不工作時段和兩個供水時段用水量之和，它們都可以由流量對時間的積分得到算法設(shè)計與

12、編程算法設(shè)計與編程1. 擬合第擬合第1、2時段的水位，并導(dǎo)出流量時段的水位，并導(dǎo)出流量2. 擬合供水時段的流量擬合供水時段的流量3. 估計一天總用水量估計一天總用水量4. 流量及總用水量的檢驗流量及總用水量的檢驗 1. 擬合第擬合第1時段的水位，并導(dǎo)出流量時段的水位，并導(dǎo)出流量 設(shè)t，h為已輸入的時刻和水位測量記錄（水泵啟動的4個時刻不輸入），第第1時段時段各時刻的流量可如下得：1） c1=polyfit（t（1：10），），h（1：10），），3）；）； %用3次多項式擬合第1時段水位，c1輸出3次多項式的系數(shù)2）a1=polyder（c1）；）； % a1輸出多項式（系數(shù)為c1）導(dǎo)數(shù)的系數(shù)

13、 3）tp1=0：0.1：9； x1=-polyval（a1，tp1）；）；% x1輸出多項式（系數(shù)a1）在tp1點的函數(shù)值（取負后邊為正值），即tp1時刻的流量 MATLAB(llgj1)4）流量函數(shù)為：流量函數(shù)為：1079.227173. 22356. 0)(2tttf 擬合第擬合第2時段的水位，并導(dǎo)出流量時段的水位，并導(dǎo)出流量 設(shè)t，h為已輸入的時刻和水位測量記錄（水泵啟動的4個時刻不輸入），第第2時段時段各時刻的流量可如下得：1） c2=polyfit(t(10.9:21),h(10.9:21),3)； %用3次多項式擬合第2時段水位，c2輸出3次多項式的系數(shù)2） a2=polyder

14、(c2)； % a2輸出多項式（系數(shù)為c2）導(dǎo)數(shù)的系數(shù) 3）tp2=10.9:0.1:21; x2=-polyval(a2,tp2); % x2輸出多項式（系數(shù)為a2）在tp2點的函數(shù)值（取負后邊為正值），即tp2時刻的流量MATLAB(llgj2)4）流量函數(shù)為：流量函數(shù)為：8313. 17512. 87529. 00186. 0)(23ttttf 2. 擬合供水時段的流量擬合供水時段的流量 在第1供水時段（t=911）之前（即第1時段）和之后（即第2時段）各取幾點，其流量已經(jīng)得到，用它們擬合第1供水時段的流量為使流量函數(shù)在t=9和t=11連續(xù)，我們簡單地只取4個點，擬合3次多項式（即曲線必

15、過這4個點），實現(xiàn)如下： xx1=-polyval(a1,8 9);%取第1時段在t=8,9的流量 xx2=-polyval(a2,11 12);%取第2時段在t=11,12的流量 xx12=xx1 xx2; c12=polyfit(8 9 11 12,xx12，3);%擬合3次多項式 tp12=9：0.1：11; x12=polyval(c12,tp12); %x12輸出第1供水時段 各時刻的流量MATLAB(llgj3)擬合的流量函數(shù)為：擬合的流量函數(shù)為：078.3555879.737207. 3)(2tttf 在第2供水時段之前取t=20，20.8兩點的流水量，在該時刻之后（第3時段）僅

16、有3個水位記錄，我們用差分得到流量，然后用這4個數(shù)值擬合第2供水時段的流量如下： dt3=diff（t(22：24)）；）； %最后3個時刻的兩兩之差 dh3=diff（h(22：24)）；）； %最后3個水位的兩兩之差dht3=-dh3./dt3； %t(22)和t(23)的流量t3=20 20.8 t(22) t(23)； xx3=-polyval(a2，t3(1：2)，dht3)； %取t3各時刻的流量 c3=polyfit（t3，xx3，3）；）；%擬合3次多項式 t3=20.8：0.1：24； x3=polyval（c3，tp3）；）；% x3輸出第2供水時段 （外推至t=24）各時

17、刻的流量MATLAB(llgj4)擬合的流量函數(shù)為：擬合的流量函數(shù)為：8283.913077. 71405. 0)(2tttf 3. 一天總用水量的估計一天總用水量的估計 第1、2時段和第1、2供水時段流量的積分之和，就是一天總用水量雖然諸時段的流量已表為多項式函數(shù)，積分可以解析地算出，這里仍用數(shù)值積分計算如下： y1=0.1*trapz(x1)； %第1時段用水量（仍按高度計）， 0.1為積分步長 y2=0.1*trapz(x2)； %第2時段用水量 y12=0.1*trapz(x12)； %第1供水時段用水量 y3=0.1*trapz(x3)； %第2供水時段用水量 y=(y1+y2+y1

18、2+y3)*237.8*0.01; %一天總用水量（ ） 計算結(jié)果：計算結(jié)果：y1=146.2, y2=266.8, y12=47.4, y3=77.3，y=1250.4Lm3310MATLAB(llgjz) 4. 流量及總用水量的檢驗流量及總用水量的檢驗 計算出的各時刻的流量各時刻的流量可用水位記錄的數(shù)值微分來檢驗用水量y1可用第1時段水位測量記錄中下降高度968-822=146來檢驗，類似地，y2用1082-822=260檢驗供水時段流量供水時段流量的一種檢驗方法檢驗方法如下：供水時段的用水量加上水位上升值260是該時段泵入的水量，除以時段長度得到水泵的功率（單位時間泵入的水量），而兩個供

19、水時段水泵的功率應(yīng)大致相等第1、2時段水泵的功率可計算如下： p1=(y12+260)/2； %第1供水時段水泵的功率 （水量仍以高度計） tp4=20.8：0.1：23； xp2=polyval（c3，tp4）；）； % xp2輸出第2供水時段 各時刻的流量 p2=(0.1*trapz(xp2)+260)/2.2； %第2供水時段水泵的功率 （水量仍以高度計）計算結(jié)果計算結(jié)果：p1=154.5 ，p2=140.1MATLAB (ll)計算結(jié)果計算結(jié)果 2421 8283.91 3077. 7 1405. 02111 8313. 1 7512. 8 7529. 0 0186. 0 119 078.355 5879.73 7207. 3 90 1079.22 7173. 2 2356. 0)(22322ttttttttttttttf流量函數(shù)為：流量函數(shù)為：流量曲線見圖流量曲線見圖0510152025121416182022242628303234hourcm/houor051015202512141