函數(shù)對稱性和周期性的幾個(gè)重要結(jié)論

1、函數(shù)對稱性和周期性的幾個(gè)重要結(jié)論 【中圖分類號】G632 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）15-00-03 函數(shù)的對稱性和周期性是函數(shù)重要的兩大性質(zhì)，而函數(shù)的性質(zhì)是高中數(shù)學(xué)函數(shù)部分的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容。歷年高考和競賽題重點(diǎn)考察內(nèi)容之一也是函數(shù)的定義域、值域、解析式、奇偶性、單調(diào)性、對稱性、周期性、圖像、極值和最值等性質(zhì)。函數(shù)的對稱性和周期性不僅廣泛存在于數(shù)學(xué)問題之中，在我們的日常生活中也能經(jīng)常遇見，而且利用對稱性和周期性往往能更簡捷地使問題得到解決，對稱性和周期性關(guān)系還充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)之美。本文就函數(shù)的對稱性和周期性之間的關(guān)系加以探討。 一、函數(shù)的對稱性 （一）函數(shù)對稱性的定

2、義 函數(shù)的對稱有自對稱和互對稱。自對稱是指同一個(gè)函數(shù)圖像的對稱（中心對稱或軸對稱），圖像是其本身；互對稱是指兩個(gè)函數(shù)圖像上的點(diǎn)一一對應(yīng)，且對應(yīng)點(diǎn)相互對稱（中心對稱或軸對稱）。函數(shù)對稱還有軸對稱和點(diǎn)對稱。 （二）函數(shù)自對稱的相關(guān)結(jié)論 結(jié)論1：函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)A（a，b）對稱的充要條件是。 上述關(guān)系式也可以寫成或。 簡證：設(shè)點(diǎn)在上，即，通過可知，所以，所以點(diǎn)也在上，而點(diǎn)與關(guān)于點(diǎn)對稱。得證。 特別地：函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)（0，0）對稱的充要條件是f（x）+f（-x）=0。即：a=b=0 推論1：如果函數(shù)滿足，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱 推論2：若，即：，則的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱。 推論3：若，則的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱

3、。（注：當(dāng)a=b=c=0時(shí)，函數(shù)為奇函數(shù)。） 證明：在函數(shù)上任取一點(diǎn)，則。點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)（，）的對稱點(diǎn)為（，c-），當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)（，c-）在函數(shù)的圖象上。由于點(diǎn)為函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)可知，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（，）對稱。 結(jié)論2：函數(shù)的圖像關(guān)于直線x=a對稱的充要條件是或或。（即：可以改寫成或。） 特別地：函數(shù)的圖像關(guān)于y軸（x=0）對稱的充要條件是f（x）=f（-x）。即：a=0。 推論：函數(shù)滿足的充要條件是的圖象關(guān)于直線對稱。（注：當(dāng)a=b=0時(shí)，該函數(shù)為偶函數(shù)。） 注：假設(shè)函數(shù)關(guān)于對稱，即關(guān)于任一個(gè)值，都有兩個(gè)y值與其對應(yīng)，顯然這不符合函數(shù)的定義，故函數(shù)自身不可能關(guān)于對稱。但在曲線c（x，y）=0，

4、則有可能會出現(xiàn)關(guān)于對稱。比如：圓它會關(guān)于y=0對稱。 （三）函數(shù)互對稱的相關(guān)結(jié)論 結(jié)論1.函數(shù)與關(guān)于x軸對稱。換種說法：與若滿足，則它們關(guān)于對稱。 結(jié)論2.函數(shù)與關(guān)于y軸對稱。換種說法：函數(shù)與若滿足，則它們關(guān)于對稱。 結(jié)論3.函數(shù)與的圖像關(guān)于直線x=y成軸對稱圖形。 結(jié)論4.函數(shù)與的圖像關(guān)于直線x=a成軸對稱。換種說法：函數(shù)與若滿足，則它們關(guān)于對稱。 結(jié)論5.函數(shù)與關(guān)于直線對稱。換種說法：與若滿足，則它們關(guān)于對稱。 結(jié)論6.函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于直線對稱。 證明：在函數(shù)上任取一點(diǎn)，則， 點(diǎn)關(guān)于直線對稱點(diǎn)（，）。由于，故點(diǎn)（，）在函數(shù)上。由點(diǎn)是函數(shù)圖象上任一點(diǎn)，因此與關(guān)于直線對稱。 結(jié)論7.函數(shù)

5、與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱。 結(jié)論8.函數(shù)與關(guān)于直線對稱。 結(jié)論9.函數(shù)與的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱。換種說法，函數(shù)與若滿足，則函數(shù)它們關(guān)于點(diǎn)對稱. 結(jié)論10.函數(shù)與的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱。換種說法，函數(shù)與若滿足，則它們關(guān)于點(diǎn)對稱. 結(jié)論11.函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱。換種說法，函數(shù)與函數(shù)若滿足，則它們的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱。 結(jié)論12.函數(shù)與的圖像關(guān)于點(diǎn)A（a，b）成中心對稱。換種說法：與若滿足，則它們關(guān)于點(diǎn)（a，b）對稱。 下面的幾個(gè)結(jié)論用解析幾何中的對稱曲線軌跡方程來理解： 結(jié)論13.曲線與曲線關(guān)于直線對稱。 結(jié)論14.曲線與曲線關(guān)于直線對稱。 結(jié)論15.曲線與曲線關(guān)于直線對稱。 結(jié)論16.曲線與曲線關(guān)于點(diǎn)對

6、稱。 二、函數(shù)的周期性 （一）周期性：對于函數(shù)，如果存在一個(gè)不為零的常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有成立，那么就把函數(shù)叫做周期函數(shù)，不為零的常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期。如果所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，就把這個(gè)最小的正數(shù)叫做最小正周期。 （二）周期性的相關(guān)結(jié)論 結(jié)論1：對于非零常數(shù)T，若函數(shù)，則函數(shù)必有一個(gè)周期為2T。 證明： 函數(shù)的一個(gè)周期為2T。 結(jié)論2：對于非零常數(shù)T，若函數(shù)，則函數(shù)必有一個(gè)周期為2T。 結(jié)論3：對于非零常數(shù)T，若函數(shù)滿足，則函數(shù)必有一個(gè)周期為2T。 結(jié)論4：對于非零常數(shù)T，若函數(shù)滿足或，則函數(shù)的一個(gè)周期為2T。 結(jié)論：5：若函數(shù)滿足（），則是以為一個(gè)周期的周

7、期函數(shù)。 結(jié)論：6：函數(shù)對任意實(shí)數(shù)，都有（），則4T是f（x）的一個(gè)周期. 三、函數(shù)對稱性和周期性的聯(lián)系 （一）奇偶函數(shù)對稱性和周期性的聯(lián)系 1.如果奇函數(shù)滿足（a0）（即關(guān)于x=a成軸對稱），則函數(shù)是以4a為周期的周期函數(shù)。 2.如果偶函數(shù)滿足（a0）（即關(guān)于直線x=a成軸對稱），則函數(shù)是以2a為周期的周期函數(shù)。 3.如果奇函數(shù)滿足，則可以推出其周期為2T，且可以推出對稱軸為；又根據(jù)可以找出其對稱中心為（以上）。 4.如果偶函數(shù)滿足，則亦可以推出周期為2T，且對稱中心為；又根據(jù)可以推出對稱軸為（以上）。 （二）其它函數(shù)對稱性和周期性的聯(lián)系 1.如果函數(shù)同時(shí)關(guān)于直線x=a和x=b對稱，即函數(shù)滿

8、足且（其中）同時(shí)成立，則可推出函數(shù)是以2|a-b|為周期的周期函數(shù)。 因?yàn)橛校?。 2.若函數(shù)關(guān)于直線x=a成軸對稱，同時(shí)關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，即在R上同時(shí)滿足，且（其中），則函數(shù)是以4|a-b|為周期的周期函數(shù)。 3.若函數(shù)在R上有兩個(gè)對稱中心點(diǎn)（a，c）和（b，c），即函數(shù)在R上滿足，且（其中），則函數(shù)是以2|a-b|為周期的周期函數(shù)。 特別地：若的圖像有兩個(gè)對稱中心和（），即函數(shù)在R上滿足，且（其中），則函數(shù)是以2|a-b|為周期的周期函數(shù)。 以上三個(gè)結(jié)論可歸納出以下總結(jié)： 如果函數(shù)在定義域內(nèi)有兩條垂直于x軸的對稱軸或縱坐標(biāo)相等的兩個(gè)對稱中心點(diǎn)或一條垂直于x軸的對稱軸和一個(gè)對稱中心點(diǎn)，則該函

9、數(shù)一定是周期函數(shù)。 （三）運(yùn)用以上總結(jié)時(shí)應(yīng)注意的兩點(diǎn)： 1.以上歸納出的結(jié)論一不小心就容易簡化為：“若一個(gè)函數(shù)有兩個(gè)對稱性（不管是軸對稱還是中心對稱），則它一定為周期函數(shù)?！?如果有一個(gè)判斷題是如此講述，那就是大錯(cuò)特錯(cuò)，函數(shù)有兩條對稱軸，不一定就具有周期性，除非加上這兩條對稱軸都垂直于x軸，也就是形如x=a這樣的對稱軸；一個(gè)函數(shù)有兩個(gè)對稱點(diǎn)，那也不一定就具有周期性，除非這兩個(gè)對稱點(diǎn)的縱坐標(biāo)都相等。有一個(gè)最簡單不過的例子就是函數(shù)y=x，如圖： 很容易知道，圖象上的每一個(gè)點(diǎn)都是函數(shù)的對稱點(diǎn)，顯然，該函數(shù)沒有周期性。該圖象的任何一條法線（即垂直于y=x的直線）都是函數(shù)的對稱軸，該函數(shù)沒有周期性。這是

10、我們在理解對稱性與周期性時(shí)需要注意的。 2.注意變化后的對稱性和周期性條件 永遠(yuǎn)把握住“同號看周期，異號看對稱”這一句話，結(jié)合前面的結(jié)論，便可以解決這一類問題。只要題目當(dāng)中給出，那基本上都是間接告訴你該函數(shù)的周期；若給出，那基本上也是間接告訴你函數(shù)對稱性的。這就需要我們對給出的條件進(jìn)行化簡，使之變成與周期性和對稱性有關(guān)的式子。一般的方法是在與中的x同時(shí)加上|a-b|，多化簡幾步，自然就能化簡出來。 如：函數(shù)對任意x滿足。這條件是同號的，和周期有關(guān)。我們對括號里同時(shí)加上|2-0|=2得到：，將帶入化簡得到：，還是沒有得到我們想要的結(jié)果，那就進(jìn)一步對括號里的同時(shí)加上|4-0|=4，得到：。說明該函

11、數(shù)是以8為周期的周期函數(shù)。 又如：函數(shù)對任意，滿足。這條件是異號的，和對稱有關(guān)。直接可得到函數(shù)是關(guān)于x=3對稱的對稱性函數(shù)。 又如：函數(shù)滿足。這條件是異號的，和對稱有關(guān)?？傻玫胶瘮?shù)是關(guān)于點(diǎn)（1，0）（即：關(guān)于（，0）對稱的對稱性函數(shù)。 四、函數(shù)對稱性和周期性的應(yīng)用舉例 1.設(shè)函數(shù)在（，）上滿足，且在閉區(qū)間0，7上，只有。 （1）試判斷函數(shù)的奇偶性； （2）試求方程在閉區(qū)間-2005，2005上的根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論。 解：（1）由，得函數(shù)的對稱軸為，。由前面的知識可知函數(shù)的一個(gè)周期為2|a-b|，即：T=10。 因?yàn)楹瘮?shù)在0，7上只有， 可知， 又 而且，則可得，。 因此，函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)。 （2）由，可得，故函數(shù)在0，10和-10，0上均有兩個(gè)解（1，3和-7，-9）滿足；從而可知函數(shù)在0，2005上有402個(gè)解，在-2005，0上有400個(gè)解。所以，函數(shù)在-2005，2005上共有802個(gè)解。 2.定義在R上的非常數(shù)函數(shù)滿足：為偶函數(shù)，且，則一定是（ ） （A）是偶函數(shù)，也是周期函數(shù) （B）是偶函數(shù)，但不是周期函數(shù) （C）是奇函數(shù)，也是周期函數(shù) （D）是奇函數(shù)，但不是周期函數(shù) 解：為