復數(shù)的幾何意義及加減運算(用)

1、3.1數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念(二) 復數(shù)的發(fā)展史復數(shù)的發(fā)展史 虛數(shù)這種假設虛數(shù)這種假設,是需要勇氣的是需要勇氣的,人們在當時人們在當時是無法接受的是無法接受的,認為它是想象的認為它是想象的,不存在的不存在的,但但這絲毫不影響數(shù)學家對虛數(shù)單位這絲毫不影響數(shù)學家對虛數(shù)單位 的假設研究的假設研究:第一次認真討論這種數(shù)的是文藝復興時期意第一次認真討論這種數(shù)的是文藝復興時期意大利有名的數(shù)學大利有名的數(shù)學“怪杰怪杰”卡丹卡丹，他是，他是1545年年開始討論這種數(shù)的，當時復數(shù)被他稱作開始討論這種數(shù)的，當時復數(shù)被他稱作“詭詭辯量辯量”.幾乎過了幾乎過了100年，年，笛卡爾笛卡爾才給這種才給這種“虛幻之數(shù)虛幻之

2、數(shù)”取了一個名字取了一個名字虛數(shù)虛數(shù)但是又過了但是又過了140年，年，歐拉歐拉還是說這種數(shù)只是存還是說這種數(shù)只是存在于在于“幻想之中幻想之中”，并用，并用 （imaginary，即，即虛幻的縮寫）來表示它的單位虛幻的縮寫）來表示它的單位. 后來德國數(shù)學后來德國數(shù)學家家高斯高斯給出了復數(shù)的定義，但他們仍感到這給出了復數(shù)的定義，但他們仍感到這種數(shù)有點虛無縹緲，盡管他們也感到它的作種數(shù)有點虛無縹緲，盡管他們也感到它的作用用1830年，高斯詳細論述了用直角坐標系年，高斯詳細論述了用直角坐標系的復平面上的點表示復數(shù)的復平面上的點表示復數(shù) ，使復數(shù)有了立足，使復數(shù)有了立足之地之地,人們才最終承認了復數(shù)人們

3、才最終承認了復數(shù).到今天復數(shù)已經到今天復數(shù)已經成為現(xiàn)代科技中普遍運用的數(shù)學工具之一成為現(xiàn)代科技中普遍運用的數(shù)學工具之一. 復習引入復習引入 我們知道，實數(shù)與數(shù)軸上的點一一我們知道，實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應，因此，實數(shù)可用數(shù)軸上的點來表對應，因此，實數(shù)可用數(shù)軸上的點來表示示.類比實數(shù)的幾何意義，復數(shù)的幾何意類比實數(shù)的幾何意義，復數(shù)的幾何意義是什么呢？義是什么呢？復平面，復數(shù)與點的一一對應：復平面，復數(shù)與點的一一對應： 講授新課講授新課yOxZ：abiab復平面，復數(shù)與點的一一對應：復平面，復數(shù)與點的一一對應： 講授新課講授新課 這個建立了直角坐標系來表示復數(shù)的這個建立了直角坐標系來表示復數(shù)的平面

4、叫平面叫復平面復平面，x軸叫做軸叫做實軸實軸，y軸叫做軸叫做虛軸虛軸復數(shù)復數(shù) zabi 可用點可用點Z(a, b)來表示來表示.yOxZ：abiab復平面，復數(shù)與點的一一對應：復平面，復數(shù)與點的一一對應： 講授新課講授新課 這個建立了直角坐標系來表示復數(shù)的這個建立了直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫平面叫復平面復平面，x軸叫做軸叫做實軸實軸，y軸叫做軸叫做虛軸虛軸復數(shù)復數(shù) zabi 可用點可用點Z(a, b)來表示來表示.實軸上的點都表示實數(shù)；實軸上的點都表示實數(shù)；除了原點外除了原點外，虛軸上的，虛軸上的點都表示純虛數(shù)點都表示純虛數(shù)yOxZ：abiab 講授新課講授新課例如例如復平面內點的原點復平面

5、內點的原點 (0，0)表示實數(shù)表示實數(shù) ，實軸上的點實軸上的點 (2，0)表示實數(shù)表示實數(shù) ，虛軸上的點虛軸上的點 (0，1)表示純虛數(shù)表示純虛數(shù) ，yOxZ：abiab點點 ( (2 2 ，3)3)表示復數(shù)表示復數(shù) ， 講授新課講授新課 每一個復數(shù)，有復平面內唯一的一個每一個復數(shù)，有復平面內唯一的一個點和它對應；反過來，復平面內的每一個點和它對應；反過來，復平面內的每一個點，有唯一的復數(shù)和它對應點，有唯一的復數(shù)和它對應 講授新課講授新課 復數(shù)集復數(shù)集C和復平面內所有的點所組成和復平面內所有的點所組成的集合是一一對應的，即的集合是一一對應的，即 每一個復數(shù)，有復平面內唯一的一個每一個復數(shù)，有復

6、平面內唯一的一個點和它對應；反過來，復平面內的每一個點和它對應；反過來，復平面內的每一個點，有唯一的復數(shù)和它對應點，有唯一的復數(shù)和它對應 講授新課講授新課 復數(shù)集復數(shù)集C和復平面內所有的點所組成和復平面內所有的點所組成的集合是一一對應的，即的集合是一一對應的，即 每一個復數(shù)，有復平面內唯一的一個每一個復數(shù)，有復平面內唯一的一個點和它對應；反過來，復平面內的每一個點和它對應；反過來，復平面內的每一個點，有唯一的復數(shù)和它對應點，有唯一的復數(shù)和它對應復數(shù)復數(shù)zabi復平面內的復平面內的點點Z(a, b)一一對應一一對應 講授新課講授新課 設復平面內的點設復平面內的點Z表示復數(shù)表示復數(shù)zabi，連結連

7、結OZ，顯然向量，顯然向量 由點由點Z唯一確定；唯一確定；反過來，點反過來，點Z(相對于原點來說相對于原點來說)也可以由也可以由向量向量 唯一確定唯一確定.因此，復數(shù)集因此，復數(shù)集C與復平與復平面內的向量所成的集合面內的向量所成的集合也是一一對應的也是一一對應的(實數(shù)實數(shù)0與零向量對應與零向量對應)，即，即OZOZyOxZ：abiab 講授新課講授新課復數(shù)復數(shù)zabi平面向量平面向量一一對應一一對應OZyOxZ：abiab 講授新課講授新課l 共軛復數(shù)共軛復數(shù) 當兩個復數(shù)實部相等，虛部互為相當兩個復數(shù)實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復數(shù)叫做互為反數(shù)時，這兩個復數(shù)叫做互為共軛復數(shù)共軛復數(shù) 講授

8、新課講授新課l 共軛復數(shù)共軛復數(shù) 當兩個復數(shù)實部相等，虛部互為相當兩個復數(shù)實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復數(shù)叫做互為反數(shù)時，這兩個復數(shù)叫做互為共軛復數(shù)共軛復數(shù) 若若z1，z2是共軛復數(shù)，那么在復平面是共軛復數(shù)，那么在復平面內，它們所對應的點有怎樣的位置關系？內，它們所對應的點有怎樣的位置關系？實數(shù)能比較大小，復數(shù)能比較大小嗎？實數(shù)能比較大小，復數(shù)能比較大小嗎？l復數(shù)的模復數(shù)的模|OZ|z|abir22ba (r0，rR).yOxZ：abiab1. 在復平面內，描出下列各復數(shù)的點：在復平面內，描出下列各復數(shù)的點： 25i; 32i; 24i;3i 5; 3ixyO課堂練習課堂練習1. 在復平

9、面內，描出下列各復數(shù)的點：在復平面內，描出下列各復數(shù)的點： 25i; 32i; 24i;3i 5; 3ixyO課堂練習課堂練習課堂練習課堂練習2.說出圖中復平面內各點所表示的復數(shù)及模長說出圖中復平面內各點所表示的復數(shù)及模長并指出哪些復數(shù)互為共軛復數(shù)？并指出哪些復數(shù)互為共軛復數(shù)？(每個小正方格每個小正方格子邊長為子邊長為1)：xyOGCFDHBAE1. 下列命題，其中正確的個數(shù)是下列命題，其中正確的個數(shù)是( )A. 0 B. 1 C. 2 D. 3課堂練習課堂練習(1)互為共軛復數(shù)的兩個復數(shù)的模相等互為共軛復數(shù)的兩個復數(shù)的模相等(2)模相等的兩個復數(shù)互為共軛復數(shù)模相等的兩個復數(shù)互為共軛復數(shù)(3)

10、若與復數(shù)若與復數(shù)zabi對應的向量在虛軸對應的向量在虛軸上，則上，則a0，b0B)( i )1()23( 132 . 3于于在復平面上對應的點位在復平面上對應的點位復數(shù)復數(shù)時，時，當當 mmzmA.第一象限第一象限 B.第二象限第二象限C.第三象限第三象限 D.第四象限第四象限課堂練習課堂練習D3. 設設z(2t2 5t3)(t22t2)i(tR)則則( )A. z對應的點在第一象限對應的點在第一象限B. z一定不為純虛數(shù)一定不為純虛數(shù)C. z對應的點在實軸下方對應的點在實軸下方D. z一定為實數(shù)一定為實數(shù)課堂練習課堂練習C例例1. 實數(shù)實數(shù)m分別取什么數(shù)值時，復數(shù)分別取什么數(shù)值時，復數(shù)z(m

11、25m6)(m22m15)i是：是：對應點在對應點在x軸上方；軸上方；對應點在直線對應點在直線xy50上上.xyO設設z=x+yi(x,yR)z=x+yi(x,yR)滿足滿足|z|=5(z|z|=5(zC)C)的復數(shù)的復數(shù)z z對應的點在對應的點在復平面上將構成怎復平面上將構成怎樣的圖形？樣的圖形？55555|22yxz2522 yx圖形圖形: :以原點為圓心以原點為圓心,5,5為半徑的為半徑的圓上圓上變式：滿足變式：滿足|z+1+i|=5的復數(shù)的復數(shù)Z在復平面內將構成怎樣在復平面內將構成怎樣的圖形？的圖形？5xyO設設z=x+yi(x,yR)z=x+yi(x,yR)滿足滿足3|z|5(zC)

12、3|z|5(zC)的復數(shù)的復數(shù)z z對應的點在對應的點在復平面上將構成怎樣復平面上將構成怎樣的圖形？的圖形？555533335322yx25922yx圖形圖形: : 以原點為圓心以原點為圓心, , 半徑半徑3 3至至5 5的的圓環(huán)內圓環(huán)內猜想：猜想：z|23 | 1ziz .已知復數(shù)已知復數(shù)滿足滿足試求出復數(shù)試求出復數(shù)對應點的對應點的軌跡方程軌跡方程.yx練習練習| |34 |ziiz1,滿足條件滿足條件的復數(shù)的復數(shù)A.一條直線一條直線 B.兩條直線兩條直線C.圓圓 D.其它其它在復平面上對應點在復平面上對應點的軌跡是的軌跡是( )C2. 若復數(shù)若復數(shù)z滿足滿足|z3i|5，求，求|z2|的的

13、 最大值和最小值最大值和最小值.課堂練習課堂練習學案例4 對一般的兩個復數(shù)相加有什么猜想，即對一般的兩個復數(shù)相加有什么猜想，即z1=a+bi， z2=c+di ，z1+z2=？ 猜想歸納（a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i復數(shù)的加法法則：點評點評: :（1 1）復數(shù)的加法運算法則是一種規(guī)定。當）復數(shù)的加法運算法則是一種規(guī)定。當b=0b=0， d=0d=0時與實數(shù)加法法則保持一致。時與實數(shù)加法法則保持一致。 （2 2）兩個復數(shù)的和仍然是一個復數(shù)。對于復數(shù)的）兩個復數(shù)的和仍然是一個復數(shù)。對于復數(shù)的加法可以推廣到多個復數(shù)相加的情形。加法可以推廣到多個復數(shù)相加的情形。點評：點評：實數(shù)加

14、法運算的交換律、結合律在復數(shù)集實數(shù)加法運算的交換律、結合律在復數(shù)集C C中依然中依然成立。成立。問題探索設問設問1、復數(shù)的加法滿足交換律，結合律嗎？復數(shù)的加法滿足交換律，結合律嗎？即:對于任意的 ,有Czzz321,1221zzzz321321)()(zzzzzz同理可證則Z1+Z2=（a1+a2)+(b1+b2)i， Z2+Z1=（a2+a1)+(b2+b1)i證：設Z1=a1+b1i，Z2=a2+b2i，Z3=a3+b3i (a1，a2，a3，b1，b2，b3R)類比猜想設問設問2、類比復數(shù)的加法法則、類比復數(shù)的加法法則,你認為你認為復數(shù)有減法嗎復數(shù)有減法嗎?復數(shù)的減法法則如何呢？復數(shù)的減

15、法法則如何呢？復數(shù)的減法規(guī)定是加法的逆運算，即把滿足 （c+di）+（x+yi）= a+bi的復數(shù)x+yi 叫做復數(shù)a+bi減去復數(shù)c+di的差，記作（a+bi）（c+di）（a+bi）（c+di）=(ac)+(bd)i點評：點評：根據(jù)復數(shù)相等的定義，我們可以得出復數(shù)的減法法根據(jù)復數(shù)相等的定義，我們可以得出復數(shù)的減法法則，且知兩個復數(shù)的差是唯一確定的復數(shù)。則，且知兩個復數(shù)的差是唯一確定的復數(shù)。復數(shù)的減法法則： ),(Rdcbaidbcadicbia歸納:復數(shù)可以求和差，虛實各自相加減。歸納總結一、復數(shù)加法與減法的運算法則例1、計算(23i )+(-83i) (34i)解： (23i )+(-8

16、3i) (34i) = (283)+(-33+4)i = -92i .例題講解點評：點評：復數(shù)可以求和差，虛實各自相加減復數(shù)可以求和差，虛實各自相加減三級跳 83頁1，2，4，5，6，8復數(shù)復數(shù)z=a+bi直角坐標系中的點直角坐標系中的點Z(a,b)一一對應一一對應平面向量平面向量OZ 一一對應一一對應一一對應一一對應xyobaZ(a,b)z=a+bi二、復數(shù)加法與減法運算的幾何意義?由此出發(fā)探討復由此出發(fā)探討復數(shù)加法的幾何意義數(shù)加法的幾何意義xoyZ1(a,b)Z2(c,d)Z(a+c,b+d)z z1 1+ z+ z2 2=OZ=OZ1 1 +OZ+OZ2 2 = OZ= OZ符合符合向量

17、向量加法加法的平的平行四行四邊形邊形法則法則.1.1.復數(shù)復數(shù)加法加法運算的幾何意義運算的幾何意義? ?問題探索xoyZ1(a,b)Z2(c,d)復數(shù)復數(shù)z2z1向量向量Z1Z2符合符合向量向量減法減法的三的三角形角形法則法則.2.2.復數(shù)復數(shù)減法減法運算的幾何意義運算的幾何意義? ?問題探索l例 已知 求向量 對應的復數(shù).,2 ,23,iiOBOA對應復數(shù)是AB幾何意義運用變式1 已知復平面內一平行四邊形AOBC頂點A,O,B對應復數(shù)是 -3+2i, 0, 2+i ，求點C對應的復數(shù).解:復數(shù)-3+2i ,2+i,0對應點A(-3,2),B(2,1),O(0,0),如圖. 點C對應的復數(shù)是-

18、1+3i 在平行四邊形 AOBC中,xyA 0CB) 3 , 1() 1 , 2()2 , 3(OCOBOAOC幾何意義運用學案：課堂小結1，3，6l第四個頂點對應的復數(shù)是6+4i，-4+6i，-2-i變式變式 已知復平面內一平行四邊形已知復平面內一平行四邊形ABCABC三個頂點對應復數(shù)是三個頂點對應復數(shù)是 -3+2-3+2i i, 2, 2+ +i, 1+5ii, 1+5i求第四個對應的復數(shù)求第四個對應的復數(shù). .XyxoyZ1(a,b)Z2(c,d)復數(shù)復數(shù)z2z1向量向量Z1Z2符合符合向量向量減法減法的三的三角形角形法則法則.2.2.復數(shù)復數(shù)減法減法運算的幾何意義運算的幾何意義? ?表示復平面上兩點表示復平面上兩點Z Z1 1 ,Z,Z2 2的距離的距離轉化推廣復平面內兩點間距離xyZ Z 1Z Z 2 0設Z Z = a+ bi , =c+di 它們在復平面內分別對應于點Z Z1 1 ,Z ,Z2 2 1Z Z 22221)()(|)()( |dbcaidbcazzl復平面內兩點距離就是對應兩個復數(shù)的差的模轉化推廣(1)|z(1)|z(1+2i)|(1+2i)|(2)|z+(1+2i)|(2)|z+(1+2i)| 已知復數(shù)已知復