專題2：立體幾何中球的內(nèi)切、外接問題基礎(chǔ)練習(xí)題

1、專題2：立體幾何中球的內(nèi)切、外接問題基礎(chǔ)練習(xí)題一、單選題1.長方體ABCD-AxBxCxDx中，若AB = S. AD = A, AA=3,且此長方體內(nèi)接于球0,則球。的表而積為（A.202B 252C. 50;FD. 200K試卷第5頁總4頁2.若球的半徑為IoC八一個截而圓的面積是cm2 則球心到截而圓心的距離是A.5cmB. 6cnC. SCmD. IoC加3.已知一個正方體的8個頂點(diǎn)都在同一個球而上，則球的表而枳與這個正方體的表而AAI=6 ,積之比為（）4.已知直三棱柱ABC-AyC的頂點(diǎn)都在球。上，且AB = 4,ZACB = 30。，則此直三棱柱的外接球O的表而積是（）D 500

2、兀35已知一個正方體的所有頂點(diǎn)在一個球而上，若這個正方體的表而積為18.則這個球A. 25B. 50C. IoOJr的體積為（）D. 9兀B. 36. 已知aA3C是邊長為3的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球O的球而上.若球。的體32積為了，則三棱錐。-泌的體積?。〣-7. 已知各頂點(diǎn)都在一個球面上的正四棱柱髙為4,體積為16,則這個球的表而積是A. 10B. 20龍C. 24龍D. 32 兀8. 如圖，在棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD = AB =忑，PD丄平 而ABCD在這個四棱錐中放入一個球，則球的最大半徑為（）A2B 2 + lC. 2D. 2-l9據(jù)九章算術(shù)記載，C鱉（be

3、nao）四個而都是直角三角形的三棱錐如圖所示，現(xiàn)有一個“鱉儒S PA丄底面ABC, AB丄BC9且FA = AB = BC = 2,三棱錐外接球表而積為（）CA. 4B. 8bC. 2D. 1610.如圖所示，球內(nèi)切于正方體.如果該正方體的棱長為那么球的體積為（）B. 3C. La3二、填空題11棱長為2的正方體的頂點(diǎn)都在同一個球面上，則該球的表面積等于.12. 在三棱柱ABC-AIBiCI中，丄底面ABG AABC是正三角形，若AAI=2AB = 23 ,則該三棱柱外接球的表而積為13. 設(shè)正方體的表面積為216,那么其內(nèi)切球的體積是14. 若球。的體積為36rC,則它的半徑等于cm.15.

4、 兩個半徑為1的鐵球，熔化成一個球，這個球的半徑是.16. 某雕刻師計劃在底面邊長為2m,髙為4m正四棱柱形的石料ABCD-AiBiQDi ,雕岀一個四棱錐O-ABCD和球M的組合體，其中O為正四棱柱的中心.當(dāng)球的半徑廠取最大值時，該雕刻師需去除的石料的質(zhì)量約為檢.（最后結(jié)果保留整數(shù)，其中兀Q34,石料的密度p = 2.4gCm,質(zhì)m = PV ）17. 在三棱錐P-ABC中，底而ABC是以AC為斜邊的直角三角形，且PA丄平面ABC,若P=3, AC = 4,則三棱錐P-ABC外接球的表而積為.18. 古希臘數(shù)學(xué)家阿基米徳是世界上公認(rèn)的三位最偉大的數(shù)學(xué)家之一，苴墓碑上刻著他 認(rèn)為最滿意的一個數(shù)

5、學(xué)發(fā)現(xiàn)如圖，一個“圓柱容球“的幾何圖形，即圓柱容器里放了一個2球，該球頂天立地，四周碰邊，在該圖中，球的體積是圓柱體積的一，并且球的表面積32也是圓柱表而積的一，若圓柱的表面積是6兀，現(xiàn)在向圓柱和球的縫隙里注水，則最多3可以注入的水的體積為ARCHIMEDES三. 解答題19. 已知一圓錐的母線長為IOe加，底而圓半徑為6cm .（1）求圓錐的高；（2）若圓錐內(nèi)有一球，球與圓錐的底面及圓錐的所有母線都相切，求球的表面積.20如圖，圓柱的底而半徑為2,球的直徑與圓柱底面的直徑和圓柱的髙相等，圓錐的頂點(diǎn)為圓柱上底而的圓心，圓錐的底而是圓柱的下底而（!）汁算圓柱的表而積：（2）計算圖中圓錐.球、圓柱

6、的體積比參考答案1. C【分析】由長方體的對角線公式，算岀長方體對角線ACl的長，從而得到長方體外接球的直徑，結(jié)合 球的表而積公式即可得到，該球的表而積.【詳解】.長方體 ABCD-A1B1C1D1 中，AB = 5, AP=4, AA=3,長方體的對角線 ACI= yAB2+AD2+AA; =32 + 42 + 52 = 52 ,.長方體ABCD-AiBICIDl的各頂點(diǎn)都在同一球面上，球的一條直徑為AC1=52.可得半徑R = 蟲,2因此，該球的表而積為S = 4R2=4(l)2=502故選：C.2. C【分析】由題意可解出截而圓的半徑，然后利用勾股左理求解球心與截而圓圓心的距離.【詳解】

7、由截面圓的面積為36cm2可知，截而圓的半徑為6cm ,則球心到截而圓心的距離為6=102-62 =8 c,故選：C.【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于，球心與截而圓圓心的連線垂直于截面.3. B【分析】設(shè)正方體的棱長為“，球的半徑為R,則2R = *adR = ，求出球與正方體的表而2枳即可求得比值.【詳解】答案第1頁，總Il貞設(shè)正方體的棱長為“，球的半徑為/?,則2R =品gR = E,2球的表而積為Sl =4R2=4=3 TTa2正方體的表而積為S*?,答案第2頁，總11貞故選：B【點(diǎn)睛】本題考査幾何體的表而積，屬于基礎(chǔ)題.4. C【分析】設(shè)點(diǎn)C為aA3C外接圓的圓心，根揮ZAeB = 30,

8、得到AAOB是等邊三角形，求得外接圓的半徑幾再根據(jù)直三棱柱ABC - lB1C1的頂點(diǎn)都在球。上，由/?=5求得，直三棱柱的外接球的半徑即可.【詳解】如圖所示:B設(shè)點(diǎn)Ot為MBC外接圓的圓心,因為 ZACB = 30。，所以 ZAOB = 60 ,又OfA = OfB = r.所以AOfB是等邊三角形，所以 r = O,A = OfB = AB = 4,又直三棱柱ABC-A1B1C1的頂點(diǎn)都在球。上,=5，所以外接球的半徑為/?=所以直三棱柱的外接球0的表而積是S=4rR2= IOOzr,故選：C5. C【分析】 先根據(jù)題意得正方體的邊長為進(jìn)而由正方體外接球的直徑為體對角線即可得答案【詳解】解

9、：設(shè)正方體邊長為心貝J62=18=2=3, 所以正方體外接球直徑為2R = 屆 =3,v 4， 427 9V = -rR =- = -.3 382故選：C.6. B【分析】設(shè)截而磁外接圓的半徑為廠，利用正三角形的性質(zhì)求得J設(shè)球的半徑為R ,由球0的體32枳為亍兀，求得水然后再利用球的截面形性質(zhì)，由h = JRv- r7求得球心截而遊的距離即三棱錐O ABC的髙，再代入三棱錐的體積公式求解.【詳解】設(shè)截而磁外接圓的半徑為廠，則r = -3 = y3 .33設(shè)球的半徑為R,32因為球0的體積為一兀，3答案第3頁總H頁4 I 32所以lR=L ,33解得R = 2,則球心截面月證的距離為7 = e2

10、-r2 =H即三棱錐O ABC的髙為1,所以三棱錐O ABC的體積為V = IS = 1x12321 = ,3 亠 3 224故選：B7. C【分析】各頂點(diǎn)都在一個球而上的正四棱柱，棱柱的體對角線即為球的直徑，再由球表而積公式即可 求解.【詳解】因為正四棱柱高為4,體積為16,所以正四棱柱的底而積為4，正四棱柱的底而的邊長為2 ,正四棱柱的底而的對角線為2血，正四棱柱的對角線為2品，而球的直徑等于正四棱柱的對角線，即 2R = 2&, R = 6,S球=4rR = 24r,故選:C8. D【分析】設(shè)球心為S,連接SD, SA、SB、SC、SP,則把此四棱錐分為五個棱錐，利用這五個 棱錐的體積之

11、和等于棱錐P-ABCD的體積，則球的最大半徑可求.【詳解】解：由加丄平而ABCD, PD丄AB,又初丄AD, PDcAD = D,所以 AB丄平而PAD,所以QA丄AB, PA = JDA? + DPl = 2 設(shè)此球半徑為R,最大的球應(yīng)與四棱錐各個而都相切，設(shè)球心為S,連接SD ,SA.SB.SC .SP、則把此四棱錐分為五個棱錐，它們的高均為&四棱錐的體積 P-ABCD = SaABCD XPD = （邁） 邁=答案第4頁，總11貞四棱錐的表而積= 25PytD + 2SAPAfi + SaAIiCD = 2-x(72)+2xx2x + (返)=4+2-72 ,I3V因為UP-MS=xSx

12、R,所以R= Py答案第5頁總11頁故選：D.【點(diǎn)睛】考查利用等體積法求四棱錐內(nèi)切球的半徑，基礎(chǔ)題.9. C【分析】根據(jù)已知條件可將三棱錐P-ABC補(bǔ)全圖形為正方體，可知其外接球為正方體的外接球， 即可求外接球表而積【詳解】TPA丄底IfifABC, AB丄BC, PA = AB = BC,將三棱錐P-ABC補(bǔ)全圖形為正方體 如圖所示，C三棱錐的外接球即正方體的外接球設(shè)外接球的半徑為R ,則（2/?）2 = 22 +22 +22,解得R = VL所以外接球的表而積為AR1 = 2故選:C【點(diǎn)睛】本題考査幾何體外接球表而積的求法，注意補(bǔ)全三棱錐轉(zhuǎn)化為正方體，應(yīng)用正方體外接球的 性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

13、10. D【分析】根據(jù)球與正方體位垃關(guān)系，分析出球的半徑，由此球的體積可求.【詳解】因為球內(nèi)切于正方體，所以球的半徑等于正方體棱長的所以球的半徑為巴，所以球的體積為- = 23 12丿 6故選：D.【點(diǎn)睛】本題考査根據(jù)正方體與球的相切關(guān)系求球的體積，難度較易.當(dāng)球內(nèi)切于正方體時，球的半 徑為正方體棱長的丄：當(dāng)球外接于正方體時，球的半徑為正方體棱長的邁.2 211. 2【分析】棱長為2的正方體的八個頂點(diǎn)都在同一個球而上，球的宜徑是正方體的對角線，從而得到結(jié) 果.【詳解】Y棱長為2的正方體的八個頂點(diǎn)都在同一個球而上，球的直徑是正方體的對角線，球的半徑是 2r = 22+22 + 22 =23=r

14、= 3*球的表而積是4MX卜R) =2 .故答案為：12才.12. 16?！痉治觥坷脤ΨQ性可得到上下底而的中心連線的中點(diǎn)即為外接球的球心，然后在有關(guān)三角形中訃算，求得球的半徑，最后利用球的表而積公式計算即得【詳解】解：如圖所示：取AC,A1C1的中點(diǎn)M,N,兩底而的中心分別為G,q,線段GGl的中點(diǎn)O即為該三棱柱的外接球的球心，連接OB OB即為外接球的半徑E/ ABC 為正三角形，A = 3. :. GB = -MB = -AB = , 332vA41 =23. OG = 3, AOB = OG2 +BG2 =2.Smj =4兀 W = 6,故答案為：16兀.【點(diǎn)睛】本題考査幾何體的外接球

15、的表而積問題，關(guān)鍵是利用對稱性找到球心的位置，屬基礎(chǔ)題.13. 36?！痉治觥坑梢阎獥l件先求出正方體的棱長，根據(jù)正方體的內(nèi)切球直徑等于正方體的棱長，可求出球的半徑，進(jìn)而可求出球的體積【詳解】解：設(shè)正方體的棱長為，則由題意得6/=216,解得a = 6,所以正方體內(nèi)切球的直徑為6,則內(nèi)切球的半徑為3,4所以正方體內(nèi)切球的體積為-33 = 36,故答案為：36;T【點(diǎn)睛】此題考査正方體的表而積和球的體積的求法，考查正方體的內(nèi)切球問題，屬于基礎(chǔ)題14. 3【分析】 答案第7頁，總11貞根據(jù)球的體積公式 Ri即可求球的半徑【詳解】若球的半徑為Rg 由球的體積公式，有=36,解得R = 3故答案為：3【

16、點(diǎn)睛】本題考査了球體的體積，熟悉球的體積公式即可，屬于簡單題15. 2【分析】等體積法【詳解】2-V=-R n R =近33【點(diǎn)睛】等體積法16. 21952【分析】當(dāng)球的表而與四棱柱體的各個側(cè)而相切時，即正四棱柱的底而邊長為球的直徑時，球的半徑取得最大值，求出柱體、錐體和球體的體積，利用割補(bǔ)法求岀體積，進(jìn)而得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，當(dāng)球的表面與四棱柱體的各個側(cè)而相切時，即正四棱柱的底而邊長為球的直徑時，球的半徑取得最大值，正四棱柱的體積V1=224 = 16(n).四棱錐O ABCD的底面為邊長為2m的正方形，高 = 2m,所以其體積 =l222 = -(m3).33v 744ZlTr /

17、X球M的半徑r最大為Im,此時其體積V3=-r3=-l3=-(m3),333 V 7S4 27 44 Z X故該雕刻師需去除的石料的體積V=V1- = 16-(m3)又 Q = 2.4gCm3 = 2400kgm,答案第8頁總11頁所以該雕刻師需去除的石料的質(zhì)量約為2400-= 21952().故答案為：21952().17. 25【分析】把三棱錐放在以PA,AB,BC的長度為棱長的長方體中，求出長方體的對角線長，進(jìn)一步求 得外接球的半徑，代入球的表而積公式求解.【詳解】把三棱錐放在以PA, AB. BC的長度為棱長的長方體中，三棱錐的外接球即長方體的外接球，長方體的體對角線就是外接球的直徑，

18、:2R = PA2 + AB2 + BCI = PA2 + AC2 = 9 + 16 = 5則三棱錐P-ABC外接球的表而積S=4R2 = 25故答案為:25.【點(diǎn)睛】 要求外接球的表而積和體積，關(guān)鍵是求岀球的半徑，求外接球半徑的常見方法有：若三條 棱兩垂直則用4 R2=a2+b2+c2( abc為三棱的長)；若SA丄而ABC (SA = a則 4R2=4r2+a2 為ABC外接圓半徑)；可以轉(zhuǎn)化為長方體的外接球：特殊幾何體 可以直接找出球心和半徑.【分析】答案第9頁，總11貞用圓柱體積減去球的體積即得.【詳解】2設(shè)球的半徑為I則由題意可得球的表面積為W=-X6, r = l,3圓柱的底而半徑為1,高為2,.最多可以注入的水的體積為122-13= 33故答案為：斗.19. (1) 8 (2) 36;T【分析】(1)圓