二次函數(shù)根與系數(shù)關(guān)系

1、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系也稱為韋達(dá)定理，其逆定理也成立，它是由16世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)的它揭示了實(shí)系數(shù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，它形式簡單但內(nèi)涵豐富，在數(shù)學(xué)解題中有著廣泛的應(yīng)用 【知識要點(diǎn)】1如果方程(aO)的兩根為，那么，這就是一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系2如果兩個(gè)數(shù)的和為m，積為n，則以這兩個(gè)數(shù)為根的一元二次方程為3若已知一元二次方程的一個(gè)根，可不直接解原方程，利用根與系數(shù)關(guān)系，求出另一根4求一元二次方程根的對稱式的值，關(guān)鍵在于利用兩根和及兩根積表示所給對稱式5當(dāng)一元二次方程(aO)有兩根，時(shí)：(1)若，則方程有一正一負(fù)根；(2)若，則方程有兩個(gè)正根；(3)若，則方程

2、有兩個(gè)負(fù)根 【趨勢預(yù)測】利用根與系數(shù)關(guān)系，可以解決許多有關(guān)方程的問題，有些非方程類的問題我們也可以通過根與系數(shù)關(guān)系構(gòu)造一元二次方程，然后用一元二次方程的知識來解因此預(yù)測以后競賽的重點(diǎn)在以下幾個(gè)方面：求方程中字母系數(shù)的值或取值范圍；求代數(shù)式的值；結(jié)合根的判別式，判斷根的符號特征；構(gòu)造一元二次方程解題；證明代數(shù)等式，不等式；與一元二次方程的整數(shù)根有關(guān)的問題 【范例解讀】題1  (1997·陜西)  已知二次方程(ac0)有兩異號實(shí)根m和n，且m<n，那么，二次方程的根的情況是    

3、(    )(A)有兩個(gè)負(fù)根    (B)有兩個(gè)正根(C)兩根異號      (D)無實(shí)數(shù)根分析  首先考慮方程的判別式的符號如果由判別式符號確定方程有實(shí)根，還要通過根與系數(shù)關(guān)系來確定兩根的正負(fù)號解   m，n異號且m<n， m<0，n>0，從而，方程的判別式：，故方程必有兩實(shí)根設(shè)這兩個(gè)實(shí)根為，則由根與系數(shù)關(guān)系得，可知，均為負(fù)數(shù)，故選(A) 題2  (1997

4、·上海)  若a和b是方程的兩個(gè)實(shí)根，c和d是方程的兩個(gè)實(shí)根，e和f是方程的兩個(gè)實(shí)根，則的值為_分析  由已知可得ab3，cd3，ef3，a+b-2p，c+d-2q，將(a-c)(b-c)(a+d)(b+d)展開，把上列數(shù)值代入，可得所求值但若全部展開，結(jié)果很繁，因此考慮局部展開，分步代入解  由方程根與系數(shù)關(guān)系得ab=3，cd3，ef3，a+b-2p，c+d-2q，則 題3  (1996·祖沖之杯)  已知，是方程的兩根，>，不解方程，求的值分析 

5、 待求式中，是不對稱的，但根與系數(shù)的關(guān)系具有對稱性，應(yīng)設(shè)法構(gòu)造一個(gè)與待求式相對應(yīng)的代數(shù)式一起輔助解決問題解  由根與系數(shù)的關(guān)系得+=7，8，  ，因>，故，記，令，從而，   題4  (2000·江蘇)  已知，其中m，n為實(shí)數(shù)，則_.分析  根據(jù)兩個(gè)方程系數(shù)的特點(diǎn)，可作恰當(dāng)?shù)淖冃?，使兩個(gè)方程具有相同的結(jié)構(gòu)把兩個(gè)變元看成關(guān)于某個(gè)字母的一元二次方程，然后用根與系數(shù)關(guān)系來求值解   由已知等式可變形成與，由于m，的

6、關(guān)系沒有給定，故應(yīng)分兩種情況：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，可知m，是方程的兩個(gè)根，則由根與系數(shù)關(guān)系得，  綜合，得或. 題5  (1996·江蘇)  設(shè)的兩個(gè)實(shí)根為，(1)求以，為根的一元二次方程；(2)若以，為根的一元二次方程仍是，求所有這樣的一元二次方程分析  根據(jù)方程根與系數(shù)關(guān)系求和的值，由此即可作出新方程；根據(jù)新方程的一次項(xiàng)系數(shù)等于-p，常數(shù)項(xiàng)等于q，可求得p，q的值解  (1)由根與系數(shù)關(guān)系得+p，q，  ，所求方程是；(2)由題意得則根據(jù)七種情況的值依次得以

7、下七個(gè)方程：，其中僅無實(shí)數(shù)根，舍去.故所有這樣的一元二次方程有六個(gè)，分別為：， 題6  (2000·全國)  設(shè)關(guān)于x的二次方程的兩根都是整數(shù)求滿足條件的所有實(shí)數(shù)k的值分析  根據(jù)方程系數(shù)的特點(diǎn)，可先用十字相乘法求出方程兩根，然后利用兩根都是整數(shù)設(shè)法先消去是求得兩根后，再求出是的值解   原方程可化為(k-4)(k-2)0， 解得方程兩根為，  ，消去k，得，  由于，都是整數(shù)，故對應(yīng)的k的值分別為6，3， 【方法指引】1構(gòu)造對偶式法對

8、一個(gè)已知代數(shù)式或一個(gè)已知命題，我們構(gòu)造一個(gè)與之對應(yīng)的代數(shù)式或?qū)?yīng)的命題，然后一起參與運(yùn)算(通常是加、減、乘、除)，從而使問題獲得巧解這種方法稱為構(gòu)造對偶式法常用的構(gòu)造方法有利用倒數(shù)關(guān)系、有理化因式、配對等2解一元二次方程的整數(shù)根問題的基本方法有：(1)直接求解法若根可用有理式表示，則先求出根，再結(jié)合整除性求解(2)利用判別式法在二次方程有根的前提下通過判別式確定字母或根的范圍，運(yùn)用枚舉法討論，不等式分析求解(3)運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系由根與系數(shù)的關(guān)系得到待定字母表示的兩根和、積式，從中消去待定字母，再通過因式分解和整數(shù)性質(zhì)求解(4)巧換主元法若運(yùn)用相關(guān)方法直接求解困難時(shí)，可選擇換主元的方法，結(jié)合整

9、除知識求解 【綜合能力訓(xùn)練】1ABC的一邊長為5，另兩邊長恰好是方程的兩根，那么m的取值范圍是_2設(shè)，是方程的兩實(shí)根，且，則k的值是        (    )(A)-3或1    (B)-3(C)1         (D)不小于的一切實(shí)數(shù)3若方程的兩根為，它也是方程的兩個(gè)根，則  p=_4若ab1，且有，及，則的值是

10、(    )(A)    (B)    (C)    (D)5在RtABC中，C90°，若sinA和sinB是方程的兩根，求A和B的度數(shù)及k的值6求滿足如下條件的所有k值，使關(guān)于x的方程的根都是整數(shù)。 參考答案【綜合能力訓(xùn)練】1設(shè)另外兩邊長為a、b，則，因?yàn)閍，b是實(shí)數(shù)，所以，即，.由三角形兩邊之差小于第三邊，有，  ，故m的取值范圍為。2由根與系數(shù)關(guān)系得  ，而由題意得，解得，。而當(dāng)時(shí)，無實(shí)數(shù)根，舍去；當(dāng)時(shí)，方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為1和3。故選（C）。3由是方程的兩根得，  .由是方程的兩根，得，。兩式相減，得  。4原式可變形為，又即，a，是方程的兩根。，即.故選（A）。5由根與系數(shù)關(guān)系，得A+B=90°，。于是有由式兩邊平方，得。   由、式知.又由、式可得，是方程的兩根，則有，即，故A=B=