2013碩士研究生考研講義-數(shù)學(xué)

1、 人民網(wǎng)教育頻道北京海天教育集團(tuán)第一講函數(shù)、極限、連續(xù)考試要求1. 理解函數(shù)概念，掌握函數(shù)的表示法，會(huì)建立應(yīng)用問(wèn)題的函數(shù)關(guān)系.2. 了解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性.3. 理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念.4. 掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，了解初等函數(shù)的概念.5. 理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念以及函數(shù)極限存在與左極限、右極限之間的關(guān)系.6. 掌握極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則.7. 掌握極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，并會(huì)利用它們求極限，掌握利用兩個(gè)重要極限求極限的方法.8. 理解無(wú)窮小量、無(wú)窮大量的概念，掌握無(wú)窮小量的比較方法，會(huì)用等價(jià)無(wú)窮小量求極限.9. 理解

2、函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類(lèi)型.10了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì).考試內(nèi)容一. 函數(shù)1. 函數(shù)的概念 注：（1）函數(shù)的定義包括兩個(gè)部分: 定義域與對(duì)應(yīng)法則.函數(shù)關(guān)系相同（2）函數(shù)新的表達(dá)形式（極限，積分，級(jí)數(shù)，方程） （3）如何確定值域（在最值存在的情況下，由最大值最小值確定）（4）由實(shí)際問(wèn)題建立函數(shù)關(guān)系2. 函數(shù)的性質(zhì) 2. 1 有界性，有，使，有上界；有下界有界有上界且有下界 注：（1）幾何特征（2）常用有界函數(shù)，（3）函數(shù)是否有界與所討論區(qū)間有關(guān)（4）確定界與求最值

3、有關(guān)（5）有界性在微積分中的結(jié)論與應(yīng)用閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有界，可積函數(shù)有界.有界函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)不一定有界.2. 2 單調(diào)性，有（），增（減）注：（1）圖像特征（2）單調(diào)性與區(qū)間有關(guān)（在整個(gè)定義域上單調(diào)增加, 或者單調(diào)減少的函數(shù)稱(chēng)為單調(diào)函數(shù)）.（3）單調(diào)性在微積分中的結(jié)論與應(yīng)用單調(diào)性由的符號(hào)確定,單調(diào)性可用于證明不等式.（凡是用不等式定義的概念都可以證明不等式）單調(diào)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)不一定單調(diào).2. 3 周期性注：（1）圖像特征（2）周期性在微積分中的結(jié)論與應(yīng)用可導(dǎo)周期函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是周期函數(shù)可積周期函數(shù)的原函數(shù)不一定是周期函數(shù).2. 4 奇偶性，且（），則偶（奇）注：（1）圖像特征（2）

4、奇, 偶函數(shù)的和, 積以及復(fù)合的奇偶性.奇+奇=奇,偶+偶=偶,奇*奇=偶,偶*偶=偶,奇*偶=奇（3）奇偶性在微積分中的結(jié)論與應(yīng)用可導(dǎo)奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù), 可導(dǎo)偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù);3. 函數(shù)的種類(lèi)3. 1 基本初等函數(shù)，3. 2 復(fù)合函數(shù)3. 3反函數(shù)，注：（1）與的圖形是同一個(gè)函數(shù)（同一條曲線），與的圖形關(guān)于對(duì)稱(chēng)（2）單值函數(shù)的反函數(shù)存在，其反函數(shù)也是單值的3. 4 初等函數(shù)3. 5 隱函數(shù)3. 6 冪指函數(shù)3. 7 分段函數(shù)典型的分段函數(shù)及隱含的分段函數(shù), , , ,3. 8 參數(shù)方程（數(shù)一、二要求）3. 9 極坐標(biāo)方程二. 極限1. 極限定義 當(dāng)時(shí)，若記，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，注：（），

5、的幾何意義.水平漸近線，單側(cè)水平漸近線（）重要結(jié)果：，2. 單側(cè)極限.注：（1）分段函數(shù)分段點(diǎn)的討論例：當(dāng)滿足什么條件時(shí), 時(shí)，函數(shù)有極限?（2）隱形分段函數(shù)的分段點(diǎn) 記住，. 3. 極限的性質(zhì)3. 1唯一性3. 2局部保號(hào)性若，則，使得在其內(nèi)有注：（1）號(hào)性（2）逆命題不成立3. 3局部有界性若存在，則，使得在其內(nèi)是有界的，即注：數(shù)列整體有界4. 無(wú)窮大量 無(wú)窮小量 4. 1 定義 無(wú)窮小,無(wú)窮大注：（1）無(wú)窮小，無(wú)窮大與過(guò)程有關(guān).（2）無(wú)窮大與無(wú)窮小互為倒數(shù)（0除外，同一過(guò)程）.（3）無(wú)窮大與無(wú)界的關(guān)系無(wú)窮大一定無(wú)界，無(wú)界不一定無(wú)窮大. （4）無(wú)窮大是極限不存在的情況. （5）無(wú)窮大也不需

6、要單調(diào)增加或單調(diào)減少.4. 2 無(wú)窮小的主要運(yùn)算任意有限個(gè)無(wú)窮小的和與積仍是無(wú)窮小有界量與無(wú)窮小之積仍是無(wú)窮小例：存在5. 無(wú)窮小的比較設(shè)，且，則（1），與同階（2），（3），是的高階無(wú)窮小，（4），注：（1），若，是的階無(wú)窮小.（2）（3）等價(jià)無(wú)窮小的應(yīng)用（*）若，則，只在乘除法中應(yīng)用，的等價(jià)無(wú)窮小可以用泰勒公式常用的幾個(gè)等價(jià)無(wú)窮小當(dāng)時(shí), , ， , 等.例：6. 極限存在法則6. 1單調(diào)有界數(shù)列必有極限注：?jiǎn)卧?上界 單減+下界 極限存在例：設(shè)函數(shù)在內(nèi)單調(diào)有界，為數(shù)列，下列命題正確的是 若收斂，則收斂. 若單調(diào)，則收斂. 若收斂，則收斂. 若單調(diào)，則收斂. “從實(shí)例出發(fā)猜測(cè)可能的結(jié)果, 然

7、后予以證明”是數(shù)學(xué)的一條常用的研究路線.例：設(shè)，求極限6. 2 如果，且，例：.注：適當(dāng)?shù)目s放.7. 兩個(gè)重要極限7. 1 推廣型：，則例：7. 2 推廣：，例：（11209）.例：（11309）設(shè),則.8. 極限的運(yùn)算法則 若，則，（）, 則.注：（1）參加運(yùn)算的只有有限項(xiàng)，且每項(xiàng)極限均存在（2）四則運(yùn)算的討論和差：一存，一不存和差一定不存在，兩不存和差不確定一存，和存另一極限定存積商：一存，一不存（或兩不存）積不確定，一存，積存另一極限不確定注：在反常積分，無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂中的應(yīng)用9. 洛必達(dá)法則9. 1 若，且，存在（或?yàn)闊o(wú)窮大）,則.方法使用洛必達(dá)法則, 將求函數(shù)的商的極限的問(wèn)題, 變成求

8、導(dǎo)函數(shù)的商的極限的問(wèn)題. 有時(shí), 后者容易計(jì)算.注：（1）逆定理不成立. 反例 （2）對(duì)于型的未定式, 也有類(lèi)似的法則. 型未定式與型的未定式不同, 只需分母是無(wú)窮大, 即可使用.（3）此外, 還有, ,型的未定式, 都必須變成商, 再用洛必達(dá)法則.9. 2 求極限常用的方法 等價(jià)代換（變量代換，有理化），四則運(yùn)算，洛必達(dá)法則，泰勒公式 三 連續(xù)1. 定義若，即，則稱(chēng)在點(diǎn)連續(xù)注：連續(xù)就是極限等于該點(diǎn)的函數(shù)值. 因此, 通過(guò)計(jì)算極限, 可以判定連續(xù). 反過(guò)來(lái), 如果已知連續(xù), 求極限時(shí), 只需計(jì)算函數(shù)值. 2. 單側(cè)連續(xù)左連續(xù)與右連續(xù). 注：用于分段函數(shù)分段點(diǎn)的討論3. 區(qū)間連續(xù)如果函數(shù)在區(qū)間中

9、的每一點(diǎn)處都連續(xù), 則稱(chēng)在區(qū)間中連續(xù)， 記作，如果是閉區(qū)間, 則在其端點(diǎn)處, 指的是單側(cè)連續(xù). 連續(xù)函數(shù)的圖象是一條連綿的曲線.注：，類(lèi)似定義，4. 間斷點(diǎn)及其分類(lèi) 4. 1定義：若在點(diǎn)不連續(xù)，則稱(chēng)點(diǎn)是函數(shù)的間斷點(diǎn).（設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的一個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義, 如果（1）函數(shù)在點(diǎn)沒(méi)有定義; 或者（2）函數(shù)在點(diǎn)有定義, 但是極限不存在; 或者（3）函數(shù)在點(diǎn)有定義, 且極限存在, 但是則稱(chēng)點(diǎn)是函數(shù)的間斷點(diǎn).）4. 2 分類(lèi)：是函數(shù)的間斷點(diǎn)，都存在，稱(chēng)為第一類(lèi)間斷點(diǎn)否則稱(chēng)為第二類(lèi)間斷點(diǎn)幾何分類(lèi)（四種名稱(chēng)）極限存在, 但是，稱(chēng)為可去間斷點(diǎn)，稱(chēng)為跳躍間斷點(diǎn)（，）稱(chēng)為無(wú)窮間斷點(diǎn)震蕩間斷點(diǎn)注：求間斷點(diǎn)的方法：函數(shù)沒(méi)

10、有定義的點(diǎn)，分段函數(shù)的分段點(diǎn)例：討論函數(shù) 的連續(xù)性，并判斷間斷點(diǎn)的類(lèi)型5. 初等函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù).初等函數(shù)在定義區(qū)間的內(nèi)部連續(xù). 所謂定義區(qū)間, 是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.例：6. 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)6. 1 最值定理 閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定有最大值和最小值.推論: ,則在有界.注：且存在,則在有界.且存在, 則在有界.類(lèi)似可討論區(qū)間,.例：函數(shù)在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)有界. . . . .6. 2 零點(diǎn)定理設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù), 且, 則存在, 使得.注：用于證明方程根的存在性求證: 方程在區(qū)間（0,1）內(nèi)至少有一個(gè)根.例2設(shè)函數(shù)在區(qū)間連續(xù), 且, 則存在, 使得.證

11、：零點(diǎn)定理. 討論.推論1: 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù), 且, 則對(duì)于介于與之間的任意實(shí)數(shù), 存在, 使得.注：提示了輔助函數(shù)的構(gòu)造方法推論2: 閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)取到介于最大值與最小值之間的任意一個(gè)值.題型與例題 概念題【例】設(shè)存在, 求.【例1. 1】設(shè)存在, 求.【例1. 2】設(shè)連續(xù)函數(shù)滿足，則_，_ 【例1. 3】設(shè)連續(xù), 且滿足, 其中是由曲線與直線,圍成的區(qū)域, 則等于 . . . . 二求函數(shù)極限【例2】求極限.【例3】（11315）（本題滿分10分）求極限.【例4】計(jì)算 .【例5】計(jì)算極限.【例6】（11115）（本題滿分10分）求極限.*可直接用公式進(jìn)行計(jì)算.【例7】求極限.【例8

12、】求極限.【例9】若極限, 則為 . . . .三. 無(wú)窮小的比較（已知極限求參數(shù)）小結(jié)：1.*已知，（1）若，則；（2）若，且，則.2.已知，（1）若，則；（2）若，且，則.【例10】（11201）已知當(dāng)時(shí),與是等價(jià)無(wú)窮小,則（）,. ,. ,. ,.四求數(shù)列的極限【例11】求.【例12】（11118）（本題滿分10分）證明：對(duì)任意正整數(shù),都有成立.設(shè),證明數(shù)列收斂.第二講 導(dǎo)數(shù)與微分考試要求1. 理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念，理解導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導(dǎo)數(shù)的物理意義，會(huì)用導(dǎo)數(shù)描述一些物理量，理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系.2. 掌握導(dǎo)數(shù)的四

13、則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。了解微分的四則運(yùn)算法則和一階微分形式的不變性，會(huì)求函數(shù)微分.3. 了解高階導(dǎo)數(shù)概念，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù).4. 會(huì)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，會(huì)求隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)以及反函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 考試內(nèi)容一. 導(dǎo)數(shù)概念1.定義如果極限 存在, 則稱(chēng)該極限為函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù). 記作, 或者. 此時(shí), 稱(chēng)函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo), 否則稱(chēng)為不可導(dǎo).注：（1）導(dǎo)數(shù)是一種特殊的極限. 因此, 可以用極限計(jì)算導(dǎo)數(shù), 也可以用導(dǎo)數(shù)求特殊形式的極限.抽象函數(shù).【例1】（11202）（11302）已知在處可導(dǎo),且,則（ ）. . . . （2）隱含的導(dǎo)數(shù)結(jié)論在點(diǎn)處連續(xù)

14、，2. 單側(cè)倒數(shù)左右極限產(chǎn)生左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)的概念, 命題 函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)的充分必要條件是: 它在該點(diǎn)的左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)存在且相等.注：?jiǎn)蝹?cè)倒數(shù)用于研究分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí), 對(duì)不同表達(dá)式分別求導(dǎo), 分段點(diǎn)處用左右導(dǎo)數(shù).特別要注意隱含的分段函數(shù).【例2】設(shè) 則在點(diǎn)可導(dǎo)的充要條件為 存在. 存在. 存在. 存在. 3. 導(dǎo)函數(shù)如果函數(shù)在開(kāi)區(qū)間中每一點(diǎn)都可導(dǎo), 則產(chǎn)生了一個(gè)新的函數(shù), 稱(chēng)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù), 記作, 或者.注：函數(shù)在一個(gè)閉區(qū)間上可導(dǎo)的含義.4. 導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于曲線在點(diǎn)處的切線的斜率, 切線方程: 法線方程: 注：，切線為【例3】求曲線通過(guò)點(diǎn)（5,11）的切

15、線方程. 5. 可導(dǎo)與連續(xù) 極限連續(xù)可導(dǎo). 反例：【例4】研究函數(shù)的連續(xù)性與可導(dǎo)性.二. 求導(dǎo)方法1. 按定義求導(dǎo)：抽象函數(shù)，分段函數(shù) 2. 函數(shù)四則運(yùn)算的求導(dǎo) ，3. 反函數(shù)求導(dǎo) 設(shè), 則其反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)4. 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo) ，, 則, 或注：（1）（2）剝皮求導(dǎo)法：【例5】5. 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法：【例6】設(shè)，則 = .6. 隱函數(shù)求導(dǎo)：7. 參數(shù)方程求導(dǎo),則 或.8. 積分上限函數(shù)、原函數(shù)存在定理1. 若在上可積，則函數(shù)在上連續(xù)2. 原函數(shù)存在定理：若在上連續(xù)，則函數(shù)在上可導(dǎo)，且 ，即 是在上的一個(gè)原函數(shù)3. 變限積分的導(dǎo)數(shù)公式：（1），；（2），；（3） 注：當(dāng)積分中有變量時(shí),不能用上述公式直接求

16、導(dǎo).【例7】函數(shù)由方程確定, 求.三高階導(dǎo)數(shù)1. 定義導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為二階導(dǎo)數(shù), 記作, 或 類(lèi)似可以定義三階導(dǎo)數(shù), 四階導(dǎo)數(shù), 直到階導(dǎo)數(shù).2. 常用高階導(dǎo)數(shù)公式（1）, 求.（2）, （3）, 3. 萊布尼茲公式 設(shè)，階可導(dǎo), 則4. 復(fù)合函數(shù)求二階導(dǎo)數(shù)導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)有相同的復(fù)合關(guān)系【例8】5. 反函數(shù)求二階導(dǎo)數(shù)6. 隱函數(shù)求二階導(dǎo)數(shù)【例9】求由方程所確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù).【例10】設(shè)是由方程確定的隱函數(shù)，則 .方法 先求導(dǎo)數(shù), 再將導(dǎo)數(shù)對(duì)自變量求導(dǎo), 最后代入導(dǎo)數(shù).7. 參數(shù)方程求二階導(dǎo)數(shù)，【例11】設(shè)函數(shù)由方程確定, 則= .四微分1. 定義函數(shù)的增量可以表示為其中是不依賴于的常數(shù),

17、而是比高階的無(wú)窮小, 則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)處可微, 而稱(chēng)為在點(diǎn)處相應(yīng)于自變量的增量的微分, 記作.2. 可微條件極限連續(xù)可導(dǎo)可微3.微分的幾何意義 微分三角形. 微分是曲線的切線的增量.4. 一階微分形式不變性 無(wú)論是自變量還是中間變量, 微分都是.題型與例題一. 導(dǎo)數(shù)定義【例1】設(shè)函數(shù)在點(diǎn)二次可導(dǎo), 求.【例2】設(shè)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù), , 則是在處可導(dǎo)的 . 必要但非充分條件. 充分但非必要條件. 充分且必要條件. 既非充分也非必要條件. 二切線與法線方程【例3】（11311） 曲線在點(diǎn)處的切線方程為 .【例4】設(shè)是周期為的函數(shù), 它在的某個(gè)鄰域內(nèi)滿足關(guān)系式其中是當(dāng)時(shí)比高階的無(wú)窮小, 且在處可導(dǎo), 求

18、曲線在點(diǎn)處的切線.三求導(dǎo)（微分）【例5】設(shè)由確定, 求.四變限積分求導(dǎo)【例6】設(shè)函數(shù)連續(xù), , 且滿足方程, 求定積分. 【例7】設(shè)，求積分【例8】設(shè)連續(xù), , 且（是常數(shù)）, 求, 并討論在處的連續(xù)性.【例9】（11215）（本題滿分10分）已知函數(shù),設(shè),試求的取值范圍.第三講 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用考試要求1. 理解并會(huì)用羅爾（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）定理，了解并會(huì)用柯西（Cauchy）中值定理.2. 掌握用洛必達(dá)法則求未定式極限的方法.3. 理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其

19、應(yīng)用.4. 會(huì)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性（注：在區(qū)間內(nèi)，設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)。當(dāng)時(shí)，的圖形是凹的；時(shí)，的圖形是凸的），會(huì)求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)以及水平、鉛直和斜漸近線，會(huì)描繪函數(shù)的圖形.5. 了解曲率、曲率圓與曲率半徑的概念，會(huì)計(jì)算曲率和曲率半徑. 考試內(nèi)容一. 中值定理1. 羅爾定理：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù), 在內(nèi)可導(dǎo), 且, 則存在, 使得.證：分情況討論. 用費(fèi)馬引理. 幾何意義 水平切線.注：證明方程有根的兩種方法: 用閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理證明函數(shù)有根; 用羅爾定理證明導(dǎo)函數(shù)有根.【例1】設(shè)滿足，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).注：證明的關(guān)鍵是選擇輔助函數(shù). 為了滿足, 用的一個(gè)滿足羅爾定理?xiàng)l件

20、的原函數(shù).【例2】設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù), 在內(nèi)可導(dǎo), 且, 則存在, 使得.注：又是輔助函數(shù)問(wèn)題. 從所求結(jié)果出發(fā), 考慮微分方程, 解之得. 將其改寫(xiě)成右端只有常數(shù). 令, 由得到微分方程.【例3】設(shè)函數(shù)在區(qū)間上二次可導(dǎo), 且存在, 使得, 則存在, 使得. 注：考慮微分方程, 解之得. 將其改寫(xiě), 使得右端是至多一次的多項(xiàng)式. 令, 則由可以得到.【例4】設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù), 在內(nèi)二次可導(dǎo), 且. 又設(shè)存在, 使得, 則存在, 使得. 2. 拉格朗日定理：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù), 在內(nèi)可導(dǎo), 則存在, 使得.證：輔助函數(shù). 羅爾定理注意 當(dāng)時(shí), 就是羅爾定理.幾何意義 切線與割線平行.注：（1）

21、如果函數(shù)在區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)恒等于零, 則在區(qū)間上是一個(gè)常數(shù). 【例5】設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo), 且滿足微分方程, 其中常數(shù), 則. （2）證明含有中值的等式，不等式【例6】設(shè)函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo), 則存在, 使得.【例7】設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù), 在內(nèi)可導(dǎo), 且, 則存在, 使得3.柯西定理：設(shè)函數(shù)與在區(qū)間上連續(xù), 在內(nèi)可導(dǎo), 且在內(nèi)每一點(diǎn)處都不等于零, 則存在, 使得.證：輔助函數(shù)（參數(shù)方程）. 注意 當(dāng)時(shí), 就是拉格朗日定理.注：證明有兩個(gè)函數(shù)的等式評(píng)述 在用拉格朗日中值定理或科西中值定理時(shí), 確定輔助函數(shù)是比較容易的: 首先將 與分開(kāi); 然后再將與分開(kāi), 一般就可以發(fā)現(xiàn)或了.【例8】設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),

22、 在內(nèi)可導(dǎo), 其中, 則存在, 使得.4. 泰勒公式4. 1 泰勒定理：如果函數(shù)在包含點(diǎn)的一個(gè)開(kāi)區(qū)間內(nèi)具有直到階的導(dǎo)數(shù), 則當(dāng)時(shí), 有 其中，稱(chēng)為函數(shù)在點(diǎn)處的帶拉格朗日型余項(xiàng)的階泰勒公式. 如果函數(shù)在包含點(diǎn)的一個(gè)開(kāi)區(qū)間內(nèi)具有直到階的導(dǎo)數(shù), 則當(dāng)時(shí), 有 稱(chēng)為函數(shù)在點(diǎn)處的帶佩阿諾型余項(xiàng)的階泰勒公式.4. 2麥克勞林公式 取, 得稱(chēng)為麥克勞林公式. 余項(xiàng)可以寫(xiě)作, 其中. 麥克勞林公式還可以寫(xiě)作, 余項(xiàng)是一個(gè)比高階的無(wú)窮小.常用展開(kāi)式注：證明含有高階導(dǎo)數(shù)的等式及不等式，解決極限問(wèn)題 【例9】計(jì)算極限.【例10】 .二. 函數(shù)性質(zhì)的討論1. 單調(diào)性判定定理 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù), 在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo), (1

23、) 如果在內(nèi), 則在上單調(diào)增加;(2) 如果在內(nèi), 則在上單調(diào)減少.注：（1）設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加且可導(dǎo), 則. （2）如果函數(shù)的導(dǎo)數(shù)僅在若干孤立點(diǎn)等于0, 其它點(diǎn)保持同號(hào), 則仍具有單調(diào)性. 單調(diào)判定定理不是必要條件. 反例：（3）單調(diào)區(qū)間：有的函數(shù)在幾個(gè)區(qū)間上單調(diào)增加, 在另外幾個(gè)區(qū)間上單調(diào)減少. 這樣的區(qū)間成為這個(gè)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.如果函數(shù)在定義域內(nèi)除個(gè)別點(diǎn)之外可導(dǎo), 則單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)或者導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)稱(chēng)為駐點(diǎn)【例11】（11203）函數(shù)的駐點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）. . . .（4）單調(diào)性可用于證明不等式，方程根的惟一性 證明方程的根唯一的兩種方法. 單調(diào)函數(shù)至

24、多有一個(gè)零點(diǎn). 如果導(dǎo)函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn), 用羅爾定理（反證法）證明函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn). 2. 函數(shù)的極值：2. 1定義 設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù), 點(diǎn). 如果存在, 使得當(dāng)時(shí), 有（或）, 則稱(chēng)點(diǎn)是函數(shù)的極大（?。┲迭c(diǎn), 而是函數(shù)的極大（?。┲?極大值 極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值.注：函數(shù)的極值是局部性質(zhì), 而最值是整體性質(zhì). 極大值未必是最大值, 最大值也未必是極大值.2. 2 必要條件設(shè)函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo), 且在點(diǎn)取得極值, 則.注：這只是可導(dǎo)函數(shù)的極值的必要條件. 反例：在點(diǎn)取得極小值. 2. 3判定定理定理1 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的一個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo), 且.（1）如果在點(diǎn)的左側(cè), 在點(diǎn)的右側(cè), 則點(diǎn)是極大值點(diǎn);（2）如果在點(diǎn)

25、的左側(cè), 在點(diǎn)的右側(cè), 則點(diǎn)是極小值點(diǎn);（3）如果在點(diǎn)的兩側(cè)恒正或恒負(fù), 則點(diǎn)不是極值點(diǎn).注：定理的條件可以減弱為: 函數(shù)在點(diǎn)連續(xù), 在點(diǎn)的一個(gè)去心鄰域內(nèi)可導(dǎo). 這樣就可以判定了.定理2 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)二次可導(dǎo), 且, . (1) 如果, 則點(diǎn)是極大值點(diǎn);(2) 如果, 則點(diǎn)是極小值點(diǎn).注：如果, 則可能是極值點(diǎn), 也可能不是極值點(diǎn).反例：, 【例12】設(shè)函數(shù)由方程確定, 求的極值.3. 函數(shù)的最值3. 1 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值 函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù), 則取到其最大值和最小值. 最值點(diǎn)或者是區(qū)間端點(diǎn), 或者是內(nèi)點(diǎn). 如果是內(nèi)點(diǎn), 則或者是駐點(diǎn), 或者是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).3. 2 無(wú)窮區(qū)間上函數(shù)的最值

26、【例13】求函數(shù)的最小值. 注：可用于證明不等式4. 曲線的凹凸4. 1定義 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù), 如果對(duì)于上的任意兩點(diǎn), 恒有（或）, 則稱(chēng)函數(shù)在區(qū)間上是凹（或凸）的.4. 2 判定定理定理 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù), 在內(nèi)二次可導(dǎo). （1）如果在內(nèi), 則在區(qū)間上是凹的. （2）如果在內(nèi), 則在區(qū)間上是凸的.注：（1）可用一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判定（2）條件不是必要的.反例：.注：凹凸性可用于證明不等式4. 3 定義 連續(xù)函數(shù)的曲線上凸凹性發(fā)生改變的點(diǎn)稱(chēng)為曲線的拐點(diǎn). 拐點(diǎn)在曲線上可以證明: 在拐點(diǎn)處, 或者二階導(dǎo)數(shù)等于0, 或者二階導(dǎo)數(shù)不存在. 注：根據(jù)函數(shù)的凸凹性的判定定理判定拐點(diǎn).（1）拐點(diǎn)兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)