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1、第一章 隨機(jī)事件和概率第一節(jié) 基本概念1、排列組合初步(1)排列組合公式 從m個(gè)人中挑出n個(gè)人進(jìn)行排列的可能數(shù)。 從m個(gè)人中挑出n個(gè)人進(jìn)行組合的可能數(shù)。例11:方程的解是A 4 B 3 C 2 D 1例12:有5個(gè)隊(duì)伍參加了甲A聯(lián)賽,兩兩之間進(jìn)行循環(huán)賽兩場(chǎng),試問(wèn)總共的場(chǎng)次是多少?(2)加法原理(兩種方法均能完成此事):m+n某件事由兩種方法來(lái)完成,第一種方法可由m種方法完成,第二種方法可由n種方法來(lái)完成,則這件事可由m+n 種方法來(lái)完成。(3)乘法原理(兩個(gè)步驟分別不能完成這件事):m×n某件事由兩個(gè)步驟來(lái)完成,第一個(gè)步驟可由m種方法完成,第二個(gè)步驟可由n 種方法來(lái)完成,
2、則這件事可由m×n 種方法來(lái)完成。例13:從5位男同學(xué)和4位女同學(xué)中選出4位參加一個(gè)座談會(huì),要求與會(huì)成員中既有男同學(xué)又有女同學(xué),有幾種不同的選法?例14:6張同排連號(hào)的電影票,分給3名男生和3名女生,如欲男女相間而坐,則不同的分法數(shù)為多少?例15:用五種不同的顏色涂在右圖中四個(gè)區(qū)域里,每一區(qū)域涂上一種顏色,且相鄰區(qū)域的顏色必須不同,則共有不同的涂法 A120種B140種 C160種D180種(4)一些常見(jiàn)排列 特殊排列 相鄰 彼此隔開(kāi) 順序一定和不可分辨例16:晚會(huì)上有5個(gè)不同的唱歌節(jié)目和3個(gè)不同的舞蹈節(jié)目,問(wèn):分別按以下要求各可排出幾種不同的節(jié)目單?3個(gè)舞蹈節(jié)目排在一起;3個(gè)舞蹈節(jié)
3、目彼此隔開(kāi);3個(gè)舞蹈節(jié)目先后順序一定。例17:4幅大小不同的畫(huà),要求兩幅最大的排在一起,問(wèn)有多少種排法?例18:5輛車(chē)排成1排,1輛黃色,1輛藍(lán)色,3輛紅色,且3輛紅車(chē)不可分辨,問(wèn)有多少種排法? 重復(fù)排列和非重復(fù)排列(有序)例19:5封不同的信,有6個(gè)信箱可供投遞,共有多少種投信的方法? 對(duì)立事件例110:七人并坐,甲不坐首位,乙不坐末位,有幾種不同的坐法?例111:15人中取5人,有3個(gè)不能都取,有多少種取法?例112:有4對(duì)人,組成一個(gè)3人小組,不能從任意一對(duì)中取2個(gè),問(wèn)有多少種可能性? 順序問(wèn)題例113:3白球,2黑球,先后取2球,放回,2白的種數(shù)?(有序)例114:3白球,2黑球,先后
4、取2球,不放回,2白的種數(shù)?(有序)例115:3白球,2黑球,任取2球,2白的種數(shù)?(無(wú)序)2、隨機(jī)試驗(yàn)、隨機(jī)事件及其運(yùn)算(1)隨機(jī)試驗(yàn)和隨機(jī)事件如果一個(gè)試驗(yàn)在相同條件下可以重復(fù)進(jìn)行,而每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè),但在進(jìn)行一次試驗(yàn)之前卻不能斷言它出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果,則稱(chēng)這種試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn)。試驗(yàn)的可能結(jié)果稱(chēng)為隨機(jī)事件。例如:擲一枚硬幣,出現(xiàn)正面及出現(xiàn)反面;擲一顆骰子,出現(xiàn)“1”點(diǎn)、“5”點(diǎn)和出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)都是隨機(jī)事件;電話(huà)接線(xiàn)員在上午9時(shí)到10時(shí)接到的電話(huà)呼喚次數(shù)(泊松分布);對(duì)某一目標(biāo)發(fā)射一發(fā)炮彈,彈著點(diǎn)到目標(biāo)的距離為0.1米、0.5米及1米到3米之間都是隨機(jī)事件(正態(tài)分布)。在一個(gè)試驗(yàn)下,不管事件有多
5、少個(gè),總可以從其中找出這樣一組事件,它具有如下性質(zhì):(1) 每進(jìn)行一次試驗(yàn),必須發(fā)生且只能發(fā)生這一組中的一個(gè)事件;(2) 任何事件,都是由這一組中的部分事件組成的。這樣一組事件中的每一個(gè)事件稱(chēng)為基本事件,用來(lái)表示,例如(離散)。基本事件的全體,稱(chēng)為試驗(yàn)的樣本空間,用表示。一個(gè)事件就是由中的部分點(diǎn)(基本事件)組成的集合。通常用大寫(xiě)字母A,B,C,表示事件,它們是的子集。如果某個(gè)是事件A的組成部分,即這個(gè)在事件A中出現(xiàn),記為。如果在一次試驗(yàn)中所出現(xiàn)的有,則稱(chēng)在這次試驗(yàn)中事件A發(fā)生。如果不是事件A的組成部分,就記為。在一次試驗(yàn)中,所出現(xiàn)的有,則稱(chēng)此次試驗(yàn)A沒(méi)有發(fā)生。為必然事件,Ø為不可能事
6、件。(2)事件的關(guān)系與運(yùn)算關(guān)系:如果事件A的組成部分也是事件B的組成部分,(A發(fā)生必有事件B發(fā)生):如果同時(shí)有,則稱(chēng)事件A與事件B等價(jià),或稱(chēng)A等于B:A=B。A、B中至少有一個(gè)發(fā)生的事件:AB,或者A+B。屬于A而不屬于B的部分所構(gòu)成的事件,稱(chēng)為A與B的差,記為A-B,也可表示為A-AB或者,它表示A發(fā)生而B(niǎo)不發(fā)生的事件。A、B同時(shí)發(fā)生:AB,或者AB。AB=Ø,則表示A與B不可能同時(shí)發(fā)生,稱(chēng)事件A與事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。-A稱(chēng)為事件A的逆事件,或稱(chēng)A的對(duì)立事件,記為。它表示A不發(fā)生的事件。互斥未必對(duì)立。運(yùn)算: 結(jié)合率:A(BC)=(AB)C A(BC)=(A
7、B)C 分配率:(AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC) 德摩根率: ,例116:一口袋中裝有五只乒乓球,其中三只是白色的,兩只是紅色的?,F(xiàn)從袋中取球兩次,每次一只,取出后不再放回。寫(xiě)出該試驗(yàn)的樣本空間。若表示取到的兩只球是白色的事件,表示取到的兩只球是紅色的事件,試用、表示下列事件:(1)兩只球是顏色相同的事件,(2)兩只球是顏色不同的事件,(3)兩只球中至少有一只白球的事件。 例117:硬幣有正反兩面,連續(xù)拋三次,若Ai表示第i次正面朝上,用Ai表示下列事件:(1)前兩次正面朝上,第三次正面朝下的事件,(2)至少有一次正面朝上的事件,(3)前兩次正面朝上的事件。3、概率的
8、定義和性質(zhì)(1)概率的公理化定義設(shè)為樣本空間,為事件,對(duì)每一個(gè)事件都有一個(gè)實(shí)數(shù)P(A),若滿(mǎn)足下列三個(gè)條件:1° 0P(A)1, 2° P() =13° 對(duì)于兩兩互不相容的事件,有常稱(chēng)為可列(完全)可加性。則稱(chēng)P(A)為事件的概率。(2)古典概型(等可能概型)1° ,2° 。設(shè)任一事件,它是由組成的,則有P(A)= =例118:集合A中有100個(gè)數(shù),B中有50個(gè)數(shù),并且滿(mǎn)足A中元素與B中元素關(guān)系a+b=10的有20對(duì)。問(wèn)任意分別從A和B中各抽取一個(gè),抽到滿(mǎn)足a+b=10的a,b的概率。例119:5雙不同顏色的襪子,從中任取兩只,是一對(duì)的概率為多
9、少?例120:在共有10個(gè)座位的小會(huì)議室內(nèi)隨機(jī)地坐上6名與會(huì)者,則指定的4個(gè)座位被坐滿(mǎn)的概率是AB CD 例121:3白球,2黑球,先后取2球,放回,2白的概率?(有序)例122:3白球,2黑球,先后取2球,不放回,2白的概率?(有序)例123:3白球,2黑球,任取2球,2白的概率?(無(wú)序)注意:事件的分解;放回與不放回;順序問(wèn)題。4、五大公式(加法、減法、乘法、全概、貝葉斯)(1)加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)當(dāng)P(AB)0時(shí),P(A+B)=P(A)+P(B)例124:從0,1,9這十個(gè)數(shù)字中任意選出三個(gè)不同的數(shù)字,試求下列事件的概率:A“三個(gè)數(shù)字中不含0或者不含5”。
10、(2)減法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)當(dāng)BA時(shí),P(A-B)=P(A)-P(B)當(dāng)A=時(shí),P()=1- P(B)例125:若P(A)=0.5,P(B)=0.4,P(A-B)=0.3,求P(A+B)和P(+).例126:對(duì)于任意兩個(gè)互不相容的事件A與B, 以下等式中只有一個(gè)不正確,它是:(A) P(A-B)=P(A) (B) P(A-B)=P(A) +P()-1(C) P(-B)= P()-P(B) (D)P(AB)(A-B)=P(A) (E)p=P(A) -P()(3)條件概率和乘法公式定義 設(shè)A、B是兩個(gè)事件,且P(A)>0,則稱(chēng)為事件A發(fā)生條件下,事件B發(fā)生的條件概率,記為
11、。條件概率是概率的一種,所有概率的性質(zhì)都適合于條件概率。例如P(/B)=1P(/A)=1-P(B/A)乘法公式:更一般地,對(duì)事件A1,A2,An,若P(A1A2An-1)>0,則有。例127:甲乙兩班共有70名同學(xué),其中女同學(xué)40名,設(shè)甲班有30名同學(xué),而女生15名,問(wèn)在碰到甲班同學(xué)時(shí),正好碰到一名女同學(xué)的概率。例128:5把鑰匙,只有一把能打開(kāi),如果某次打不開(kāi)就扔掉,問(wèn)以下事件的概率?第一次打開(kāi);第二次打開(kāi);第三次打開(kāi)。(4)全概公式設(shè)事件滿(mǎn)足1°兩兩互不相容,2°,則有。此公式即為全概率公式。例129:播種小麥時(shí)所用的種子中二等種子占2,三等種子占1.5,四等種子
12、占1,其他為一等種子。用一等、二等、三等、四等種子播種長(zhǎng)出的穗含50顆以上麥粒的概率分別為0.5,0.15,0.1,0.05,試求種子所結(jié)的穗含有50顆以上麥粒的概率。例130:甲盒內(nèi)有紅球4只,黑球2只,白球2只;乙盒內(nèi)有紅球5只,黑球3只;丙盒內(nèi)有黑球2只,白球2只。從這三只盒子的任意一只中任取出一只球,它是紅球的概率是:A0.5625B0.5C0.45D0.375 E 0.225例131:100個(gè)球,40個(gè)白球,60個(gè)紅球,不放回先后取2次,第2次取出白球的概率?第20次取出白球的概率?(5)貝葉斯公式設(shè)事件,及滿(mǎn)足1° ,兩兩互不相容,>0,1,2,2° ,則
13、,i=1,2,n。此公式即為貝葉斯公式。,(,),通常叫先驗(yàn)概率。,(,),通常稱(chēng)為后驗(yàn)概率。如果我們把當(dāng)作觀察的“結(jié)果”,而,理解為“原因”,則貝葉斯公式反映了“因果”的概率規(guī)律,并作出了“由果朔因”的推斷。例132:假定用甲胎蛋白法診斷肝癌。設(shè)表示被檢驗(yàn)者的確患有肝癌的事件,表示診斷出被檢驗(yàn)者患有肝癌的事件,已知,?,F(xiàn)有一人被檢驗(yàn)法診斷為患有肝癌,求此人的確患有肝癌的概率。5、事件的獨(dú)立性和伯努利試驗(yàn)(1)兩個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)事件、滿(mǎn)足,則稱(chēng)事件、是相互獨(dú)立的(這個(gè)性質(zhì)不是想當(dāng)然成立的)。 若事件、相互獨(dú)立,且,則有所以這與我們所理解的獨(dú)立性是一致的。若事件、相互獨(dú)立,則可得到與、與、與也都
14、相互獨(dú)立。(證明)由定義,我們可知必然事件和不可能事件Ø與任何事件都相互獨(dú)立。(證明) 同時(shí),Ø與任何事件都互斥。(2)多個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)ABC是三個(gè)事件,如果滿(mǎn)足兩兩獨(dú)立的條件,P(AB)=P(A)P(B);P(BC)=P(B)P(C);P(CA)=P(C)P(A)并且同時(shí)滿(mǎn)足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互獨(dú)立。對(duì)于n個(gè)事件類(lèi)似。兩兩互斥互相互斥。兩兩獨(dú)立互相獨(dú)立?例133:已知,證明事件、相互獨(dú)立。例134:A,B,C相互獨(dú)立的充分條件:(1)A,B,C兩兩獨(dú)立(2)A與BC獨(dú)立例135:甲,乙兩個(gè)射手彼此獨(dú)立地射擊同一目標(biāo)各一次,甲射中的概率
15、為0.9,乙射中的概率為0.8,求目標(biāo)沒(méi)有被射中的概率。(3)伯努利試驗(yàn)定義 我們作了次試驗(yàn),且滿(mǎn)足u 每次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果,發(fā)生或不發(fā)生;u 次試驗(yàn)是重復(fù)進(jìn)行的,即發(fā)生的概率每次均一樣;u 每次試驗(yàn)是獨(dú)立的,即每次試驗(yàn)發(fā)生與否與其他次試驗(yàn)發(fā)生與否是互不影響的。這種試驗(yàn)稱(chēng)為伯努利概型,或稱(chēng)為重伯努利試驗(yàn)。用表示每次試驗(yàn)發(fā)生的概率,則發(fā)生的概率為,用表示重伯努利試驗(yàn)中出現(xiàn)次的概率,。例136:袋中裝有個(gè)白球及個(gè)黑球,從袋中任取a+b次球,每次放回,試求其中含a個(gè)白球,b個(gè)黑球的概率(a,b)。例137:做一系列獨(dú)立試驗(yàn),每次試驗(yàn)成功的概率為p,求在第n次成功之前恰失敗m次的概率。第二節(jié) 練習(xí)
16、題1、事件的運(yùn)算和概率的性質(zhì)例138:化簡(jiǎn) (A+B)(A+)(+B)例139:ABC=AB(CB) 成立的充分條件為: (1)ABC (2)BC例140:已知P(A)=x,P(B)=2x,P(C)=3x,P(AB)=P(BC),求x的最大值。例141:當(dāng)事件A與B同時(shí)發(fā)生時(shí),事件C必發(fā)生,則下列結(jié)論正確的是(A) P(C)=P(AB)。(B) P(C)=P(AB)。(C) P(C)P(A)+P(B)-1(D) P(C)P(A)+P(B)-1。2、古典概型例142:3男生,3女生,從中挑出4個(gè),問(wèn)男女相等的概率?例143:電話(huà)號(hào)碼由四個(gè)數(shù)字組成,每個(gè)數(shù)字可以是0,1,2,9中的任一個(gè)數(shù),求電話(huà)
17、號(hào)碼是由完全不同的數(shù)字組成的概率。例144:袋中有6只紅球、4只黑球,今從袋中隨機(jī)取出4只球,設(shè)取到一只紅球得2分,取到一只黑球得1分,則得分不大于6分的概率是 AB CD 例145:10個(gè)盒子,每個(gè)裝著標(biāo)號(hào)為“16”的卡片。每個(gè)盒子任取一張,問(wèn)10張中最大數(shù)是4的概率?例146:將n個(gè)人等可能地分到N(nN)間房間中去,試求下列事件的概率。A“某指定的n間房中各有1人”;B“恰有n間房中各有1人”C“某指定的房中恰有m(mn)人”例147:有5個(gè)白色珠子和4個(gè)黑色珠子,從中任取3個(gè),問(wèn)全是白色的概率?3、條件概率和乘法公式例148:假設(shè)事件A和B滿(mǎn)足P(B | A)=1,則 (A) A是必然
18、事件。(B)。 (C)。(D)。例149:設(shè)A,B為兩個(gè)互斥事件,且P(A)>0, P(B)>0,則結(jié)論正確的是(A) P(B | A)>0。(B) P(A | B)=P(A)。(C) P(A | B)=0。(D) P(AB)=P(A)P(B)。例150:某種動(dòng)物由出生而活到20歲的概率為0.7,活到25歲的概率為0.56,求現(xiàn)齡為20歲的這種動(dòng)物活到25歲的概率。例151:某人忘記三位號(hào)碼鎖(每位均有09十個(gè)數(shù)碼)的最后一個(gè)數(shù)碼,因此在正確撥出前兩個(gè)數(shù)碼后,只能隨機(jī)地試撥最后一個(gè)數(shù)碼,每撥一次算作一次試開(kāi),則他在第4次試開(kāi)時(shí)才將鎖打開(kāi)的概率是ABCD 例152:在空戰(zhàn)訓(xùn)練中
19、,甲機(jī)先向乙機(jī)開(kāi)火,擊落乙機(jī)的概率為0.2;若乙機(jī)未被擊落,就進(jìn)行還擊,擊落甲機(jī)的概率是0.3;若甲機(jī)未被擊落,則再進(jìn)攻乙機(jī),擊落乙機(jī)的概率是0.4,求在這幾個(gè)回合中:甲機(jī)被擊落的概率;乙機(jī)被擊落的概率。例153:為防止意外事故,在礦井內(nèi)同時(shí)安裝兩種報(bào)警系統(tǒng)A與B,每種系統(tǒng)單獨(dú)使用時(shí),其有效率A為0.92,B為0.93,在A失靈條件下B有效概率為0.85。求:(1)這兩種警報(bào)系統(tǒng)至少有一個(gè)有效的概率;(2)在B失靈條件下,A有效的概率。4、全概和貝葉斯公式例154:甲文具盒內(nèi)有2支藍(lán)色筆和3支黑色筆,乙文具盒內(nèi)也有2支藍(lán)色筆和3支黑色筆現(xiàn)從甲文具盒中任取2支筆放入乙文具盒,然后再?gòu)囊椅木吆兄腥?/p>
20、取2支筆求最后取出的2支筆都是黑色筆的概率。例155:三個(gè)箱子中,第一箱裝有4個(gè)黑球1個(gè)白球,每二箱裝有3個(gè)黑球3個(gè)白球,第三箱裝有3個(gè)黑球5個(gè)白球?,F(xiàn)先任取一箱,再?gòu)脑撓渲腥稳∫磺?,?wèn):(1)取出的球是白球的概率?(2)若取出的為白球,則該球?qū)儆诘诙涞母怕剩坷?56:袋中有4個(gè)白球、6個(gè)紅球,先從中任取出4個(gè),然后再?gòu)氖O碌?個(gè)球中任取一個(gè),則它恰為白球的概率是。5、獨(dú)立性和伯努利概型例157:設(shè)P(A)>0,P(B)>0,證明(1) 若A與B相互獨(dú)立,則A與B不互斥;(2) 若A與B互斥,則A與B不獨(dú)立。例158:設(shè)兩個(gè)隨機(jī)事件A,B相互獨(dú)立,已知僅有A發(fā)生的概率為,僅有B發(fā)
21、生的概率為,則P(A)=,P(B)=。例159:若兩事件A和B相互獨(dú)立,且滿(mǎn)足P(AB)=P(), P(A)=0.4,求P(B).例160:設(shè)兩兩相互獨(dú)立的三事件A,B和C滿(mǎn)足條件;ABC=,P(A)=P(B)=P(C)<,且已知,則P(A)=。例161:A發(fā)生的概率是0.6,B發(fā)生的概率是0.5,問(wèn)A,B同時(shí)發(fā)生的概率的范圍?例162:設(shè)某類(lèi)型的高炮每次擊中飛機(jī)的概率為0.2,問(wèn)至少需要多少門(mén)這樣的高炮同時(shí)獨(dú)立發(fā)射(每門(mén)射一次)才能使擊中飛機(jī)的概率達(dá)到95%以上。例163:由射手對(duì)飛機(jī)進(jìn)行4次獨(dú)立射擊,每次射擊命中的概率為0.3,一次命中時(shí)飛機(jī)被擊落的概率為 0.6,至少兩次
22、命中時(shí)飛機(jī)必然被擊落,求飛機(jī)被擊落的概率。例164:將一骰子擲m+n次,已知至少有一次出6點(diǎn),求首次出6點(diǎn)在第n次拋擲時(shí)出現(xiàn)的概率。例165:兩只一模一樣的鐵罐里都裝有大量的紅球和黑球,其中一罐(取名“甲罐”)內(nèi)的紅球數(shù)與黑球數(shù)之比為2:1,另一罐(取名“乙罐”)內(nèi)的黑球數(shù)與紅球數(shù)之比為2:1 。今任取一罐并從中取出50只球,查得其中有30只紅球和20只黑球,則該罐為“甲罐”的概率是該罐為“乙罐”的概率的(A) 154倍 (B)254倍 (C)798倍 (D)1024倍第二章 隨機(jī)變量及其分布第一節(jié) 基本概念在許多試驗(yàn)中,觀察的對(duì)象常常是一個(gè)隨同取值的量。例如擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),它本身就是一
23、個(gè)數(shù)值,因此P(A)這個(gè)函數(shù)可以看作是普通函數(shù)(定義域和值域都是數(shù)字,數(shù)字到數(shù)字)。但是觀察硬幣出現(xiàn)正面還是反面,就不能簡(jiǎn)單理解為普通函數(shù)。但我們可以通過(guò)下面的方法使它與數(shù)值聯(lián)系起來(lái)。當(dāng)出現(xiàn)正面時(shí),規(guī)定其對(duì)應(yīng)數(shù)為“1”;而出現(xiàn)反面時(shí),規(guī)定其對(duì)應(yīng)數(shù)為“0”。于是稱(chēng)為隨機(jī)變量。又由于是隨著試驗(yàn)結(jié)果(基本事件)不同而變化的,所以實(shí)際上是基本事件的函數(shù),即X=X()。同時(shí)事件A包含了一定量的(例如古典概型中A包含了1,2,m,共m個(gè)基本事件),于是P(A)可以由P(X()來(lái)計(jì)算,這是一個(gè)普通函數(shù)。定義 設(shè)試驗(yàn)的樣本空間為,如果對(duì)中每個(gè)事件都有唯一的實(shí)數(shù)值X=X()與之對(duì)應(yīng),則稱(chēng)X=X()為隨機(jī)變量,簡(jiǎn)
24、記為。有了隨機(jī)變量,就可以通過(guò)它來(lái)描述隨機(jī)試驗(yàn)中的各種事件,能全面反映試驗(yàn)的情況。這就使得我們對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的研究,從前一章事件與事件的概率的研究,擴(kuò)大到對(duì)隨機(jī)變量的研究,這樣數(shù)學(xué)分析的方法也可用來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象了。一個(gè)隨機(jī)變量所可能取到的值只有有限個(gè)(如擲骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù))或可列無(wú)窮多個(gè)(如電話(huà)交換臺(tái)接到的呼喚次數(shù)),則稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量。像彈著點(diǎn)到目標(biāo)的距離這樣的隨機(jī)變量,它的取值連續(xù)地充滿(mǎn)了一個(gè)區(qū)間,這稱(chēng)為連續(xù)型隨機(jī)變量。1、隨機(jī)變量的分布函數(shù)(1)離散型隨機(jī)變量的分布率設(shè)離散型隨機(jī)變量的可能取值為Xk(k=1,2,)且取各個(gè)值的概率,即事件(X=Xk)的概率為P(X=xk)=pk,k=1,2,
25、,則稱(chēng)上式為離散型隨機(jī)變量的概率分布或分布律。有時(shí)也用分布列的形式給出:。顯然分布律應(yīng)滿(mǎn)足下列條件:(1),(2)。例21:投骰子,出現(xiàn)偶數(shù)的概率?例22:4黑球,2白球,每次取一個(gè),不放回,直到取到黑為止,令X()為“取白球的數(shù)”,求X的分布律。例23:若干個(gè)容器,每個(gè)標(biāo)號(hào)13,取出某號(hào)容器的概率與該號(hào)碼成反比,令X()表示取出的號(hào)碼,求X的分布律。(2)分布函數(shù)對(duì)于非離散型隨機(jī)變量,通常有,不可能用分布率表達(dá)。例如日光燈管的壽命,。所以我們考慮用落在某個(gè)區(qū)間內(nèi)的概率表示。定義 設(shè)為隨機(jī)變量,是任意實(shí)數(shù),則函數(shù)稱(chēng)為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。 可以得到X落入?yún)^(qū)間的概率。也就是說(shuō),分布函數(shù)完整地描述
26、了隨機(jī)變量X隨機(jī)取值的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。分布函數(shù)是一個(gè)普通的函數(shù),它表示隨機(jī)變量落入?yún)^(qū)間( ,x內(nèi)的概率。的圖形是階梯圖形,是第一類(lèi)間斷點(diǎn),隨機(jī)變量在處的概率就是在處的躍度。分布函數(shù)具有如下性質(zhì):1° ;2° 是單調(diào)不減的函數(shù),即時(shí),有 ;3° , ;4° ,即是右連續(xù)的;5° 。例24:設(shè)離散隨機(jī)變量的分布列為,求的分布函數(shù),并求,。例25:設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為其中A是一個(gè)常數(shù),求(1) 常數(shù)A(2)P(1X2)(3)連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)定義 設(shè)是隨機(jī)變量的分布函數(shù),若存在非負(fù)函數(shù),對(duì)任意實(shí)數(shù),有, 則稱(chēng)為連續(xù)型隨機(jī)變量。稱(chēng)為的概率密度函數(shù)
27、或密度函數(shù),簡(jiǎn)稱(chēng)概率密度。的圖形是一條曲線(xiàn),稱(chēng)為密度(分布)曲線(xiàn)。由上式可知,連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。所以,密度函數(shù)具有下面4個(gè)性質(zhì):1° 。2° 。的幾何意義;在橫軸上面、密度曲線(xiàn)下面的全部面積等于1。如果一個(gè)函數(shù)滿(mǎn)足1°、2°,則它一定是某個(gè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)。3° 。4° 若在處連續(xù),則有。它在連續(xù)型隨機(jī)變量理論中所起的作用與在離散型隨機(jī)變量理論中所起的作用相類(lèi)似。對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量,雖然有,但事件并非是不可能事件Ø。令,則右端為零,而概率,故得。不可能事件(Ø)的概率為零,而概率為零的事件不一定
28、是不可能事件;同理,必然事件()的概率為1,而概率為1的事件也不一定是必然事件。例26:隨機(jī)變量X的概率密度為f(x),求A和F(x)。例27:隨機(jī)變量X的概率密度為求X的分布函數(shù)和2、常見(jiàn)分布01分布P(X=1)=p, P(X=0)=q例如樹(shù)葉落在地面的試驗(yàn),結(jié)果只能出現(xiàn)正面或反面。二項(xiàng)分布在重貝努里試驗(yàn)中,設(shè)事件發(fā)生的概率為。事件發(fā)生的次數(shù)是隨機(jī)變量,設(shè)為,則可能取值為。, 其中,則稱(chēng)隨機(jī)變量服從參數(shù)為,的二項(xiàng)分布。記為。容易驗(yàn)證,滿(mǎn)足離散型分布率的條件。當(dāng)時(shí),這就是(0-1)分布,所以(0-1)分布是二項(xiàng)分布的特例。例28:某人進(jìn)行射擊,設(shè)每次射擊的命中率為0.001,若獨(dú)立地射擊500
29、0次,試求射中的次數(shù)不少于兩次的概率。泊松分布設(shè)隨機(jī)變量的分布律為,則稱(chēng)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的泊松分布,記為或者P()。泊松分布為二項(xiàng)分布的極限分布(np=,n)。如飛機(jī)被擊中的子彈數(shù)、來(lái)到公共汽車(chē)站的乘客數(shù)、機(jī)床發(fā)生故障的次數(shù)、自動(dòng)控制系統(tǒng)中元件損壞的個(gè)數(shù)、某商店中來(lái)到的顧客人數(shù)等,均近似地服從泊松分布。例29:某人進(jìn)行射擊,設(shè)每次射擊的命中率為0.001,若獨(dú)立地射擊5000次,試求射中的次數(shù)不少于兩次的概率,用泊松分布來(lái)近似計(jì)算。超幾何分布隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,N,M的超幾何分布。例210:袋中裝有個(gè)白球及個(gè)黑球,從袋中任取a+b個(gè)球,試求其中含a個(gè)白球,b個(gè)黑球的概率(a,b)。(非重
30、復(fù)排列)例211:袋中裝有個(gè)白球及個(gè)黑球,從袋中連續(xù)地取a+b個(gè)球(不放回),試求其中含a個(gè)白球,b個(gè)黑球的概率(a,b)。(非重復(fù)排列)例212:袋中裝有個(gè)白球及個(gè)黑球,從袋中連續(xù)地取a+b個(gè)球(放回),試求其中含a個(gè)白球,b個(gè)黑球的概率(a,b)。(重復(fù)排列)幾何分布,其中p0,q=1-p。隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的幾何分布。例213:5把鑰匙,只有一把能打開(kāi),如果某次打不開(kāi)不扔掉,問(wèn)以下事件的概率?第一次打開(kāi);第二次打開(kāi);第三次打開(kāi)。均勻分布設(shè)隨機(jī)變量的值只落在a,b內(nèi),其密度函數(shù)在a,b上為常數(shù)k,即axb 其他,其中k=,則稱(chēng)隨機(jī)變量在a,b上服從均勻分布,記為XU(a,b
31、)。分布函數(shù)為 axb 0, x<a, 1, x>b。當(dāng)ax1<x2b時(shí),X落在區(qū)間()內(nèi)的概率為P(。例214:設(shè)電阻R是一個(gè)均勻在9001100的隨機(jī)變量,求R落在10001200之間的概率。指數(shù)分布設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為 ,0, , 其中,則稱(chēng)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。X的分布函數(shù)為 , x<0。 記住幾個(gè)積分:, 例215:一個(gè)電子元件的壽命是一個(gè)隨機(jī)變量。它的分布函數(shù)的含義是,該電子元件的壽命不超過(guò)的概率。通常我們都假定電子元件的壽命服從指數(shù)分布。試證明服從指數(shù)分布的隨機(jī)變量具有“無(wú)記憶性”:。正態(tài)分布設(shè)隨
32、機(jī)變量的密度函數(shù)為, ,其中、為常數(shù),則稱(chēng)隨機(jī)變量服從參數(shù)為、的正態(tài)分布或高斯(Gauss)分布,記為。具有如下性質(zhì):1° 的圖形是關(guān)于對(duì)稱(chēng)的;2° 當(dāng)時(shí),為最大值;3° 以軸為漸近線(xiàn)。特別當(dāng)固定、改變時(shí),的圖形形狀不變,只是集體沿軸平行移動(dòng),所以又稱(chēng)為位置參數(shù)。當(dāng)固定、改變時(shí),的圖形形狀要發(fā)生變化,隨變大,圖形的形狀變得平坦,所以又稱(chēng)為形狀參數(shù)。若,則的分布函數(shù)為。參數(shù)、時(shí)的正態(tài)分布稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,記為,其密度函數(shù)記為,分布函數(shù)為。是不可求積函數(shù),其函數(shù)值,已編制成表可供查用。(x)和(x)的性質(zhì)如下:1° (x)是偶函數(shù),(x)(-x);2
33、6; 當(dāng)x=0時(shí),(x)為最大值;3° (-x)1-(x)且(0)。如果,則。所以我們可以通過(guò)變換將的計(jì)算轉(zhuǎn)化為的計(jì)算,而的值是可以通過(guò)查表得到的。 分位數(shù)的定義。例216:設(shè),求,;求常數(shù)c,使P(X>c)=2P(Xc)。例217:某人需乘車(chē)到機(jī)場(chǎng)搭乘飛機(jī),現(xiàn)有兩條路線(xiàn)可供選擇。第一條路線(xiàn)較短,但交通比較擁擠,到達(dá)機(jī)場(chǎng)所需時(shí)間X(單位為分)服從正態(tài)分布N(50,100)。第二條路線(xiàn)較長(zhǎng),但出現(xiàn)意外的阻塞較少,所需時(shí)間X服從正態(tài)分布N(60,16)。(1)若有70分鐘可用,問(wèn)應(yīng)走哪一條路線(xiàn)?(2)若有65分鐘可用,又應(yīng)選擇哪一條路線(xiàn)?3、隨機(jī)變量函數(shù)的分布隨機(jī)變量是隨機(jī)變量的函
34、數(shù),若的分布函數(shù)或密度函數(shù)知道,則如何求出的分布函數(shù)或密度函數(shù)。(1)是離散型隨機(jī)變量已知的分布列為 ,顯然,的取值只可能是,若互不相等,則的分布列如下:,若有某些相等,則應(yīng)將對(duì)應(yīng)的相加作為的概率。例218:已知隨機(jī)變量的分布列為,求的分布列。(2)是連續(xù)型隨機(jī)變量先利用X的概率密度f(wàn)X(x)寫(xiě)出Y的分布函數(shù)FY(y),再利用變上下限積分的求導(dǎo)公式求出fY(y)。例219:已知隨機(jī)變量,求的密度函數(shù)。第二節(jié) 練習(xí)題1、常見(jiàn)分布例220:一個(gè)袋中有5只球,編號(hào)為1,2,3,4,5,在其中同時(shí)取3只,以X表示取出的3個(gè)球中的最大號(hào)碼,試求X的概率分布。例221:設(shè)非負(fù)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為
35、f(x)=A ,x>0,則A= 。例222: 是概率密度函數(shù)的充分條件是:(1)均為概率密度函數(shù)(2)例223:一個(gè)不懂英語(yǔ)的人參加GMAT機(jī)考,假設(shè)考試有5個(gè)選擇題,每題有5個(gè)選項(xiàng)(單選),試求:此人答對(duì)3題或者3題以上(至少獲得600分)的概率?例224:設(shè)隨機(jī)變量XU(0,5),求方程有實(shí)根的概率。例225:設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為其使得,則k的取值范圍是。例226:已知某種電子元件的壽命(單位:小時(shí))服從指數(shù)分布,若它工作了900小時(shí)而未損壞的概率是 ,則該種電子元件的平均壽命是A 990小時(shí) B 1000小時(shí) C 1010小時(shí) D 1020小時(shí)例227:設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為
36、:則其分布函數(shù)F(x)是(A)(B)(C)(D)例228:XN(1,4),YN(2,9),問(wèn)P(X-1)和P(Y5)誰(shuí)大?例229:XN(,2),0,>0,且P()=,則?2、函數(shù)分布例230:設(shè)隨機(jī)變量X具有連續(xù)的分布函數(shù)F(x),求Y=F(X)的分布函數(shù)F(y)。(或證明題:設(shè)X的分布函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù),證明隨機(jī)變量Y=F(X)在區(qū)間(0,1)上服從均勻分布。)例231:設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x),則Y=-2lnF(X)的概率分布密度函數(shù)fY(y)=.例232:設(shè)XU,并且y=tanx,求Y的分布密度函數(shù)f(y)。例233:設(shè)隨機(jī)變量X服從指數(shù)分布,則隨機(jī)變量Y=minX,
37、 2的分布函數(shù)(A)是連續(xù)函數(shù)(B)至少有兩個(gè)間斷點(diǎn)(C)是階梯函數(shù)(D)恰好有一個(gè)間斷點(diǎn)第三章 二維隨機(jī)變量及其分布第一節(jié) 基本概念1、二維隨機(jī)變量的基本概念(1)二維離散型隨機(jī)變量聯(lián)合概率分布及邊緣分布如果二維隨機(jī)向量(X,Y)的所有可能取值為至多可列個(gè)有序?qū)Γ▁,y)時(shí),則稱(chēng)為離散型隨機(jī)量。理解:(X=x,Y=y)(X=xY=y)設(shè)=(X,Y)的所有可能取值為,且事件=的概率為pij,稱(chēng)為=(X,Y)的分布律或稱(chēng)為X和Y的聯(lián)合分布律。聯(lián)合分布有時(shí)也用下面的概率分布表來(lái)表示: YXy1y2yjpi·x1p11p12p1jp1·x2p21p22p2jp2·xip
38、i1pi·p·jp·1p·2p·j1這里pij具有下面兩個(gè)性質(zhì):(1)pij0(i,j=1,2,);(2)對(duì)于隨機(jī)向量(X,Y),稱(chēng)其分量X(或Y)的分布為(X,Y)的關(guān)于X(或Y)的邊緣分布。上表中的最后一列(或行)給出了X為離散型,并且其聯(lián)合分布律為,則X的邊緣分布為 ;Y的邊緣分布為 。例31:二維隨機(jī)向量(X,Y)共有六個(gè)取正概率的點(diǎn),它們是:(1,-1),(2,-1),(2,0),2,2),(3,1),(3,2),并且(X,Y)取得它們的概率相同,則(X,Y)的聯(lián)合分布及邊緣分布為 YX-1012p1·100020300p&
39、#183;j1(2)二維連續(xù)型隨機(jī)向量聯(lián)合分布密度及邊緣分布對(duì)于二維隨機(jī)向量,如果存在非負(fù)函數(shù),使對(duì)任意一個(gè)其鄰邊分別平行于坐標(biāo)軸的矩形區(qū)域D,即D=(X,Y)|a<x<b,c<y<d有則稱(chēng)為連續(xù)型隨機(jī)向量;并稱(chēng)f(x,y)為=(X,Y)的分布密度或稱(chēng)為X和Y的聯(lián)合分布密度。分布密度f(wàn)(x,y)具有下面兩個(gè)性質(zhì):(1) f(x,y)0;一般來(lái)說(shuō),當(dāng)(X,Y)為連續(xù)型隨機(jī)向量,并且其聯(lián)合分布密度為f(x,y),則X和Y的邊緣分布密度為注意:聯(lián)合概率分布邊緣分布例32:設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布密度為試求:(1)常數(shù)C;(2)P0<X<1, 0<Y<2;
40、(3)X與Y的邊緣分布密度(3)條件分布當(dāng)(X,Y)為離散型,并且其聯(lián)合分布律為在已知X=xi的條件下,Y取值的條件分布為其中pi, pj分別為X,Y的邊緣分布。當(dāng)(X,Y)為連續(xù)型隨機(jī)向量,并且其聯(lián)合分布密度為f(x,y),則在已知Y=y的條件下,X的條件分布密度為在已知X=x的條件下,Y的條件分布密度為其中分別為X,Y的邊緣分布密度。例33: 設(shè)二維隨向量(X,Y)的聯(lián)合分布為X Y0.40.820.150.0550.300.1280.350.03求(1)X與Y的邊緣分布;(2)X關(guān)于Y取值y1=0.4的條件分布;(3)Y關(guān)于X取值x2=5的條件分布。(4)常見(jiàn)的二維分布均勻分布設(shè)隨機(jī)向量
41、(X,Y)的分布密度函數(shù)為其中SD為區(qū)域D的面積,則稱(chēng)(X,Y)服從D上的均勻分布,記為(X,Y)U(D)。例如圖3.1、圖3.2和圖3.3。y1 D1O 1 x圖3.1yD211O 2 x圖3.2yD3dcO a b x圖3.3例34: 設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)在區(qū)域D上服從均勻分布,其中求X的邊緣密度f(wàn)X(x)畫(huà)線(xiàn)觀察積分上下限。正態(tài)分布設(shè)隨機(jī)向量(X,Y)的分布密度函數(shù)為其中,共5個(gè)參數(shù),則稱(chēng)(X,Y)服從二維正態(tài)分布,記為(X,Y)N(由邊緣密度的計(jì)算公式,可以推出二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布仍為正態(tài)分布,反推則錯(cuò)。即XN(5)二維隨機(jī)向量聯(lián)合分布函數(shù)及其性質(zhì)設(shè)(X,Y)為二維隨機(jī)
42、變量,對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,y,二元函數(shù)稱(chēng)為二維隨機(jī)向量(X,Y)的分布函數(shù),或稱(chēng)為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)。分布函數(shù)是一個(gè)以全平面為其定義域,以事件的概率為函數(shù)值的一個(gè)實(shí)值函數(shù)。分布函數(shù)F(x,y)具有以下的基本性質(zhì):(1)(2)F(x,y)分別對(duì)x和y是非減的,即當(dāng)x2>x1時(shí),有F(x2,y)F(x1,y);當(dāng)y2>y1時(shí),有F(x,y2) F(x,y1);(3)F(x,y)分別對(duì)x和y是右連續(xù)的,即(4)2、隨機(jī)變量的獨(dú)立性(1)一般型隨機(jī)變量F(X,Y)=FX(x)FY(y)(2)離散型隨機(jī)變量例35:二維隨機(jī)向量(X,Y)共有六個(gè)取正概率的點(diǎn),它們是:(1,-1),(2,
43、-1),(2,0),2,2),(3,1),(3,2),并且(X,Y)取得它們的概率相同,則(X,Y)的聯(lián)合分布及邊緣分布為 YX-1012p1·100020300p·j1(3)連續(xù)型隨機(jī)變量f(x,y)=fX(x)fY(y)聯(lián)合分布邊緣分布f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判斷,充要條件:可分離變量正概率密度區(qū)間為矩形例36:如圖3.1,f(x,y)=8xy, fX(x)=4x3, fY(y)=4y-4y3,不獨(dú)立。例37:f(x,y)=(4)二維正態(tài)分布=0(5)隨機(jī)變量函數(shù)的獨(dú)立性若X與Y獨(dú)立,h,g為連續(xù)函數(shù),則:h(X)和g(Y)獨(dú)立。例如:若X與Y獨(dú)立,則:3
44、X+1和5Y-2獨(dú)立。3、簡(jiǎn)單函數(shù)的分布兩個(gè)隨機(jī)變量的和Z=X+Y離散型:例38:設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布為X Y01201求(i)Z1=X+Y; (ii)Z2=X-Y; (iii) Z3=XY的分布列。連續(xù)型fZ(z)兩個(gè)獨(dú)立的正態(tài)分布的和仍為正態(tài)分布()。例39:設(shè)X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,且XU(0,1),Ye(1),求Z=X+Y的分布密度函數(shù)fz(z)?;旌闲屠?10:設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立,其中X的概率分布為而Y的概率密度為f(y),求隨機(jī)變量U=X+Y的概率密度g(u)。第二節(jié) 練習(xí)題1、二維隨機(jī)變量聯(lián)合分布函數(shù)例311:如下四個(gè)二元函數(shù),哪個(gè)不能作為二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布
45、函數(shù)?(A)(B)(C)(D)例312:設(shè)某班車(chē)起點(diǎn)站上車(chē)人數(shù)X服從參數(shù)為的泊松分布,每位乘客在中途下車(chē)的概率為p(0<p<1),并且他們?cè)谥型鞠萝?chē)與否是相互獨(dú)立的,用Y表示在中途下車(chē)的人數(shù),求:(1) 在發(fā)車(chē)時(shí)有n個(gè)乘客的條件下,中途有m人下車(chē)的概率;(2) 二維隨機(jī)向量(X,Y)的概率分布。例313:一射手進(jìn)行射擊,擊中目標(biāo)的概率為p(0<p<1),射擊直到擊中目標(biāo)兩次為止。設(shè)以X表示首次擊中目標(biāo)所進(jìn)行的射擊次數(shù),以Y表示總共進(jìn)行的射擊次數(shù)。試求X與Y的聯(lián)合分布律及條件分布律。例314:設(shè)(X,Y)只在曲線(xiàn)y=x2與x=y2所圍成的區(qū)域D中不為零且服從均勻分布,試求
46、:(1)(X,Y)的聯(lián)合密度;(2)邊緣密度;(3)P(YX)例315:設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為試求:(1)條件概率密度;(2)例316:設(shè)隨機(jī)變量在區(qū)間上服從均勻分布,在的條件下,隨機(jī)變量在區(qū)間上服從均勻分布,求() 隨機(jī)變量和的聯(lián)合概率密度;() 的概率密度; () 概率2、隨機(jī)變量的獨(dú)立性例317:設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布密度為(1) 求C;(2) 求X,Y的邊緣分布;(3) 討論X與Y的獨(dú)立性;(4) 計(jì)算P(X+Y1)。例318:設(shè)(X,Y)的密度函數(shù)為試求:(1)X,Y的邊緣密度函數(shù),并判別其獨(dú)立性;(2)(X,Y)的條件分布密度;(3)P(X>2|Y<4)。3、
47、簡(jiǎn)單函數(shù)的分布例319:設(shè)兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量X與Y的分布律為 ,求隨機(jī)變量(1)Z=X+Y;(2)Z=XY;(3)Z=max(X,Y)的分布律。例320:設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X與Y分別服從N(0,1)和N(1,1),求P(X+Y1),(或選擇題為)(A)(B)(C)(D)例321:設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的分布密度為試求Z=X-Y的分布密度。例322:設(shè)X與Y相互獨(dú)立,且都服從(0,a)上的均勻分布,試求的分布密度與分布函數(shù)。第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征第一節(jié) 基本概念1、一維隨機(jī)變量的數(shù)字特征(1)一維隨機(jī)變量及其函數(shù)的期望設(shè)X是離散型隨機(jī)變量,其分布律為P()pk,k=1,2,n,期望就是平
48、均值。例41:100個(gè)考生,100分10人,90分20人,80分40人,70分20人,60分10人,求期望。例42:設(shè)某長(zhǎng)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品不合格率為10,假設(shè)生產(chǎn)一件不合格品要虧損2元;每生產(chǎn)一件合格品獲利10元。求每件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)。設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量,其概率密度為f(x),例43:設(shè)在某一規(guī)定的時(shí)間間隔里,某電氣設(shè)備用于最大負(fù)荷的時(shí)間X(以分鐘計(jì))是一個(gè)隨機(jī)變量,其概率密度為求EX。數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)(1) E(C)=C(2) E(CX)=CE(X)(3) E(X+Y)=E(X)+E(Y),(4) E(XY)=E(X) E(Y),充分條件:X和Y獨(dú)立; 充要條件:X和Y不相關(guān)。(5) Y=g(
49、X)離散: 連續(xù):例44:將一均勻骰子獨(dú)立地拋擲3次,求出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和的數(shù)學(xué)期望。例45:設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為X-202 P0.40.30.3試求:(1)EX2 (2)X2的分布律(2)方差D(X)=EX-E(X)2,方差,標(biāo)準(zhǔn)差離散型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量方差的性質(zhì)(1) D(C)=0;E(C)=C(2) D(aX)=a2D(X); E(aX)=aE(X)(3) D(aX+b)= a2D(X); E(aX+b)=aE(X)+b(4) D(X)=E(X2)-E2(X)(5) D(X+Y)=D(X)+D(Y),充分條件:X和Y獨(dú)立; 充要條件:X和Y不相關(guān)。 D(X±Y)=D(
50、X)+D(Y) ±2E(X-E(X)(Y-E(Y),無(wú)條件成立。E(X+Y)=E(X)+E(Y),無(wú)條件成立。例46:X服從,Y服從,且X,Y相互獨(dú)立,證明X+Y服從。類(lèi)似的,n個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)分布的線(xiàn)性組合,仍服從正態(tài)分布。, 例47:設(shè)X的均值、方差都存在,且D(X)0,求的均值與方差。例48:設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為求E(X)及D(X)。例49:設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為試求:D(2X-1)(3)常見(jiàn)分布的數(shù)學(xué)期望和方差分布名稱(chēng)符號(hào)均值方差0-1分布p二項(xiàng)分布np泊松分布幾何分布超幾何分布均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布01分布 X01qpE(X)=p,D(X)=pq二項(xiàng)分布 XB(n,
51、p),(k=0,1,2n)E(X)=np,D(X)=npq泊松分布 P() P(X=k)=,k=0,1,2E(X)= , D(X)= 超幾何分布 E(X)=幾何分布 ,k=0,1,2E(X)=, D(X)=均勻分布 XUa,b,f(x)=,a, b E(X)=, D(X)=指數(shù)分布 f(x)= ,(x>0)E(X)=, D(X)=正態(tài)分布 XN(,2),E(X)= , D(X)= 2例410:罐中有5顆圍棋子,其中2顆為白子,另3顆為黑子,如果有放回地每次取1子,共取3次,求3次中取到的白子次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望與方差。例411:在上例中,若將抽樣方式改為不放回抽樣,則結(jié)果又是如何?例412:
52、設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為0的泊松分布,且已知E(X-1)(X-2)=1,求。例413:設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布,求E(X-3e-2x)。例414:設(shè)(X,Y)服從區(qū)域D=(x,y)|0x1, 0y1上的均勻分布,求E(X+Y),E(X-Y),E(XY),D(X+Y),D(2X-3Y)。2、二維隨機(jī)變量的數(shù)字特征(1)協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)對(duì)于隨機(jī)變量X與Y,稱(chēng)它們的二階混合中心矩為X與Y的協(xié)方差或相關(guān)矩,記為,即與記號(hào)相對(duì)應(yīng),X與Y的方差D(X)與D(Y)也可分別記為與。協(xié)方差有下面幾個(gè)性質(zhì):(i) cov (X, Y)=cov (Y, X);(ii) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);(iii) cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y);(iv) cov(X,Y)=E(XY)-(E(X)(E(Y).對(duì)于隨機(jī)變量X與Y,如果D(X)>0, D(Y)>0,則稱(chēng)為X與Y的相關(guān)系數(shù),記作(有時(shí)可簡(jiǎn)記為)。|1,當(dāng)|=
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