復化辛卜生公式在公路中線坐標計算中的應用

1、公式(1)n-1藝 cosa k+cosai)k=1n-1藝 sina k+sina i)k=1【摘 要】在現有公路中線坐標計算的公式中，對于直線、圓曲線、緩和曲線（或卵形曲線）等中樁坐標的計算需用切線支距公式等不同的公式。而用復化辛卜生公式不僅能解決不同線形的坐標計算所需多個公式問 題，而且計算的方向完全是可逆的，其計算精度也可根據需要自行判斷決定。【關鍵詞】辛卜生公式中線坐標計算應用在公路中線坐標計算中，我們通常采用切線支距公式等不同公式來計算直線或曲線上各點的坐標。但當 計算不同的線形時就需用不同的計算公式，這就為計算帶來不便。尤其是在設有較小圓曲線半徑（即相對于 半徑越小而緩和曲線越長

2、時）的緩和曲線（或卵形曲線）上的坐標計算時，如公式選用不當或切線支距公式 所帶項數較少時就會出現較大的計算誤差，即便是能對切線支距公式進行多項展開，也會增加計算的難度。 而用復化辛卜生公式不僅能解決不同曲線線型和直線上的坐標計算問題，而且用復化辛卜生公式計算完全是可逆的（即：可順前進方向也可逆向計算），尤其在計算第二緩和曲線和卵形曲線時顯得尤為方便。用辛卜生公式計算坐標的精度可由人為或程序自行判斷，其計算結果也完全能保證施工放樣時坐標計算的精度要求。因此，可以說復化辛卜生公式是一個計算公路中線各種線形坐標的通用公式。下面筆者就該公 式在公路中線坐標計算中的具體應用進行實例解析（本文以卵形曲線坐

3、標的計算為例）、復化辛卜生公式n-1HX=XA+ 6 (cosa a+4 藝 cosa k+ 26k=0n-1Y=W+ H (sina a+4 藝 sina k+2 26k=0Ya 曲線元線元起點y坐標a a曲線曲線元起方點切線方位角a 村-mBmes角 玄卜曲線曲線元等分點求點處方位角方位角a i曲線元上待求點處切線方位角，可用如下3種方法計算:1 利用公式（3）求得曲率代入公式（2）計算2利用曲線元上已知推算起點和終點曲率用內插法求得曲率代入公式（2）計算3利用切線角公式計算 注1: 3a為推算起點的切線方位角，以實際推算方向為前進方向，而不是指路線設計的前進方向。 式中：H= Zi- Z

4、a 詡ai=aA 均0（ p + p）（Zi- Za） n（公式 2）注2:當樁號順推算曲線元前進方向遞增且為左轉時取 -當樁號順推算曲線元前進方向遞增且為右轉時取 +當樁號順推算曲線元前進方向遞減且為左轉時取 +當樁號順推算曲線元前進方向遞減且為右轉時取 -p= pA + （ pB- pa） （ZlZa） Zb-Za）（ 公式 3）Z i 待求點樁號Z a 曲線兀推算起點樁號Z b 曲線元終點樁號Pi 曲線元上待求點曲率PA 曲線兀推算起點曲率PB 曲線兀終點曲率二、算例例：已知雅（安）攀（枝花）高速公路西昌西寧立交A匝道一卵形曲線（相關參數見圖一、圖二、圖三,其計算略。），相關設計數據見表

5、一?，F用辛卜生公式來計算卵形曲線中樁坐標：00HZ AK0+444.032200 .Ao -C30554/ 02+&3342圖一表一：卵形曲線相關設計數據主點坐標切線方位角樁號XYOZHAK0+0909987.40310059.378921726.2HY1AK0+1609968.98110125.3411322351.6YH1AK0+223.7159910.60310136.7912052433.6HY2AK0+271.8819880.43810100.9042512418.5YH2AK0+384.0329922.31610007.9093370454.2HZAK0+444.03299

6、81.36310000.0000000012'o1584%Hxz +彳耳 舊 QRI-7三圖-（一）由+271.881推算Zi=+223.715的坐標（逆向），n取2等分用公式、公式（2）計算+247.798處曲線曲率及切線方位角p +247.798=1 75+(1 P0-1 T5) X (247.798-271.881)- (223.715-271.881)=0.016666667a+247.798=71 ° 24' 18.5 ” +90 X (0.016666667+1 - 75) X (247.798-271.881)- n=50° 42' 2

7、6.37 ”其它各點依次代入公式計算，結果見表二:O25O(25IIZ.R葛5)(3.6 )、屛50° 42'2S 37"71°"61° 37' 52.22"J4' 18 匚5"38' 0. 96"表二：曲率及切線方位角計算表樁號n等分點處曲線曲率n等分點處 切線方位角O)?2n等分點處曲線曲率2n等分點處 切線方位角O)?公式(3)計算內插法 計算公式(3)計算內插法 計算+271.8810.013333333=1/75712418.5+259.8400.0150.0156137

8、52.2+247.7980.0166666670.016666667504226.4+235.7570.0183333330.01833333333838 0.96+223.7150.02=1/50252436切線方位角圖示1將表中計算出的數據代入公式(1)求得+223.715中樁坐標如下:X=9880.438+(271.881-223.715)2 心(cos71 24' 18.5” +4(cos61 37'52.22” +COS38 38' 0.96” )+2cos50 42' 26.37” + cos25 24' 35.99 ” )=9910.597

9、5(設計值：9910.603)Y=10100.904+(271.881-223.715) 2 書興(sin71 2°' 18.5” +4(sin61 37' 52.22” +sin38 38' 0.96” )+2sin50 42' 26.37” + sin25 2°' 35.99” )=10136.7945 (設計值：10136.791)注2:圖示中括號內方位角為設計給定值(二)由+223.715推算Zi=+271.881的坐標(順向)，n取2等分用公式計算+247.798處曲線曲率及方位角：p +247.798=1 0-(1 叼5-

10、1 為0) X (247.798-223.715)十271.881-223.715)=0.0166666667a+247.798=205° 24' 33.6” +90 X (0.016666667+1 越0) X (247.798-223.715)玄=230 °42' 23.98”勺71524' 18其它各點依次代入公式計算，結果見表三：樁號n等分點處曲線曲率n等分點處 切線方位角O)?2n等分點處曲線曲率2 n等分點處 切線方位角O)?公式(3)計算內插法 計算公式(3)計算內插法 計算+223.7150.02=1/5020524 33.6+235

11、.7570.0183333330.01833333332183758.6+247.7980.0166666660.01666666623042 24.0+259.8400.0150.0152413749.8+271.8810.013333333=1/752512418.5表三：曲率及切線方位角計算表24'16. 111(37'4 9. 83"0*(251 °6"才251 °° 24'33' 23 0 ° 4% 23.98"205-57"241 °。37' 58. 5

12、7218 37切線方位角圖示2X=9910.603+(271.881-223.715)2 書興(cos205 24' 33.6”+4(cos218 37' 58.87” +cos241 37' 49.83 ” )+2cos230 42' 23.98” + cos251 24' 16.11” )=9880.4431(設計值：9880.438)Y=10136.791+(271.881-223.715) 2書興(sin205 24 33.6” +4(sin218 37' 58.87” +sin241 37' 49.83”)+2sin230 42

13、' 23.98” + sin251 24' 16.11” )=10100.9008 (設計值：10100.904)由上可知，利用復化辛卜生公式計算路線坐標時可順向或逆向計算。(三)前面正、反向的計算均是從卵形曲線部分推算的，現在我們以卵形曲線所在完整緩和曲線的推算起點HZ '=+368.213點來推算終點+223.715和中間點+271.881的坐標緩和曲線切線角計算公式：p=90L2玄tRLs)公式則有方位角：ai=aA ±3= aA ±0L2 + tRLs)其中：R=50Ls=368.213-223.715=144.498注3 :公式(4)中&#

14、177;號判斷法則見注21.計算Zi=+223.715中樁坐標7187.092"°24'16”旳 01' 44.0230' 09.97"99 ° 00' 05.6 "'93° 49'38.4 2"103°0105°01'34. 58'54' 02.9702.1表四：曲線元上等分點曲率及切線方位角計算表(n取4等分)n 等分點處n等分點處 切線方位角2n等分點處曲線2n等分點處 切線方位角樁號曲線曲率O曲率O公式(3)計算內插法 計算公

15、式(2)計算公式(4)計算公式(3)計算內插法 計算公式(2)計算公式(4)計算+368.2130 (直線上)108 12 02.1+350.1510.00250.0025106 54 25.16106 54 25.22+332.0890.0050.005103 01 34.33103 01 34.58+314.0260.00750.007596 33 28.8396 33 28.64+295.9640.010.0187 30 09.9787 30 9.97+277.9020.01250.012575 51 37.2275 51 37.54+259.8400.0150.01561 37 50.

16、5861 37 51.35+241.7770.01750.017544 48 48.2544 48 47.8+223.7150.02=1/5025 24 33.5825 24 33.58益"5切線方位角圖示3X=9890.293+(368.213-223.715)4 書興(cos108 12' 02.1 ” +4 X (cos106 54' 25.22” +cos96 33' 28.64”+ COS75 51' 37.54” + cos44 48' 47.8” )+2 X (cos103 01' 34.58” + cos87 30

17、9; 9.97” +cos61 37' 51.35” )+ COS25 24' 33.58 ”)=9910.5963(設計值：9910.603)丫=10006.838+ (368.213-223.715) 4為冷(sin108 1°' 02.1 ” +4 X (sin 106 54' 25.22” +sin96 33' 28.64”+ sin75 51' 37.54” + sin44 48' 47.8" )+2 X (sin103 01' 34.58” + sin87 30' 9.97" +s

18、in61 37' 51.35”) + sin25 24' 33.58” )=10136.7925(設計值：10136.791)2.計算zi=+271.881中樁坐標表五：曲線元上等分點曲率及切線方位角計算表(n取4等分)樁號n 等分點處 曲線 曲率n等分點處 切線方位角O)?2n等分點處曲線 曲率2n等分點處 切線方位角O)?內插法 計算公式(2)計算公式(4)計算內插法 計算公式(2)計算公式(4)計算+368.2130108 12 02.1+356.1720.001666667107 37 32.49+344.1300.003333333105 54 02.97+332.0

19、890.005103 01 34.58+320.0470.00666666799 00 05.6+308.0060.00833333393 49 38.42+295.9640.0187 30 09.97+283.9230.01166666780 01 44.02+271.8810.013333333=1/7571 24 16.09+223.7150.02=1/5025 24 33.5825 24 33.58” 30' 09. 97"99° 00' 05.6 "87 3殳.1 .93° 49' 38.42 "44.0210

20、5 ° 54'103° 01'34. 58": 02.97"1O7° 37'32. 49"108° 12'切線方位角圖示4X=9890.293+(368.213-271.881)4 書興(cos108 12' 2.1” +4(cos107 37' 32.49” +cos103 01' 34.58”+ cos93 49' 38.42” + cos80 01' 44.02” )+2(cos105 54' 02.97” + cos99 00' 05.6" +cos87 30&#