概率論教學(xué)大綱概念公式總結(jié)

1、概率論基礎(chǔ)教學(xué)大綱山西財經(jīng)大學(xué)本科生應(yīng)用數(shù)學(xué)系課程教學(xué)大綱 課程名稱：概率論基礎(chǔ) 課程英文名稱：Probability Theory base學(xué)時數(shù)： 64 學(xué)時(課堂講授54學(xué)時，習(xí)題課10學(xué)時) 學(xué)分?jǐn)?shù)：4學(xué)分 適用專業(yè)：應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè) 開課學(xué)期：第或第IV學(xué)期 第一部分  大綱說明一、課程的性質(zhì)與任務(wù)概率論基礎(chǔ)是研究大量隨機(jī)現(xiàn)象客觀規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)課程。隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展，概率論也得到了蓬勃的發(fā)展。它不僅形成了結(jié)構(gòu)宏大的理論體系，而且在很多科學(xué)研究、工程技術(shù)和經(jīng)濟(jì)管理等領(lǐng)域里有愈來愈多的應(yīng)用。同時概率論基礎(chǔ)也是數(shù)理統(tǒng)計和統(tǒng)計學(xué)的學(xué)習(xí)前提。由于其應(yīng)用的廣泛性和理論的重要性，

2、概率論基礎(chǔ)被列為我校應(yīng)用數(shù)學(xué)系的一門重要的必修課。概率論有其獨特的思維方式，通過各個教學(xué)環(huán)節(jié)，逐步培養(yǎng)學(xué)生處理隨機(jī)現(xiàn)象的能力和綜合運用所學(xué)思維方法和知識分析問題、解決有關(guān)實際問題的能力。為學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)課程和進(jìn)一步獲得近代科學(xué)技術(shù)和管理技術(shù)知識奠定必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。二、課程的教學(xué)基本要求1、概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象客觀規(guī)律的一門科學(xué)。通過本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生對概率的概念和方法有全面、深入的理解，掌握概率常用方法的基本思想；使學(xué)生建立隨機(jī)的思想，認(rèn)識到隨機(jī)現(xiàn)象存在的普遍性、概率應(yīng)用的廣泛性和學(xué)好這門課的重要性。2、通過概率論的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握概率論的基礎(chǔ)知識，了解概率論公理化體系，為后續(xù)課程-數(shù)理統(tǒng)計的

3、學(xué)習(xí)打下必要的基礎(chǔ)。3、通過概率論的學(xué)習(xí)，使學(xué)生初步掌握概率方法在實際中的應(yīng)用，并能用一些方法處理較簡單的實際問題。三、學(xué)時分配：因本課程涉及數(shù)學(xué)分析等預(yù)備知識，故建議放在第三學(xué)期或第四學(xué)期。本課程共64學(xué)時（講授54課時，習(xí)題課10課時），4學(xué)分。教材建議選用復(fù)旦大學(xué)李賢平編著的概率論論基礎(chǔ)。序號內(nèi)容學(xué)時1第一章  隨機(jī)事件與概率8+22第二章  條件概率與統(tǒng)計獨立性6+23第三章 隨機(jī)變量及其分布10+24第四章  隨機(jī)向量及其分布 10+25第五章  數(shù)字特征及特征函數(shù)12+26第六章  極限定理8  四、參考書目：1、概率論與

4、數(shù)理統(tǒng)計（第三版）浙江大學(xué)盛驟等編，高等教育出版社。 2、概率統(tǒng)計教程高文森 張魁元編，東北師范大學(xué)出版社。 3、概率論與數(shù)理統(tǒng)計中山大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系編 人民教育出版社4、概率論與數(shù)理統(tǒng)計 陳希孺 編著 中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社5、概率統(tǒng)計復(fù)習(xí)和解題指導(dǎo)同濟(jì)大學(xué)工程數(shù)學(xué)教研室編著6、概率論與數(shù)理統(tǒng)計龍永紅主編 高等教育出版社五、關(guān)于本大綱的說明 1本大綱系依據(jù)教育部考試中心頒發(fā)的07年碩士數(shù)學(xué)一考試大綱的要求，按照山西財經(jīng)大學(xué)本科課程教學(xué)大綱管理條例，結(jié)合我校相關(guān)數(shù)學(xué)專業(yè)需求的具體情況制定的，適合于對數(shù)學(xué)知識需求較多的專業(yè)使用。 2任課教師可根據(jù)教學(xué)實際情況適當(dāng)處理，亦可根據(jù)教學(xué)對象適當(dāng)增加少量大

5、綱規(guī)定之外的內(nèi)容。 3帶*號的部分可根據(jù)具體情況選講。第二部分  教學(xué)內(nèi)容及其要求 第一章       隨機(jī)事件與概率（8+2學(xué)時）考試內(nèi)容隨機(jī)試驗與樣本空間 隨機(jī)事件 事件的關(guān)系與運算 完備事件組 頻率與概率 古典概率 幾何概率 概率的公理化定義 概率的基本性質(zhì) 考試要求1了解樣本樣本點、樣本空間（基本事件空間）概念，理解隨機(jī)事件的概念，掌握隨機(jī)事件的關(guān)系和運算及運算規(guī)律。2 了解概率概念的發(fā)展背景，掌握古典概率、幾何概率的基本計算方法。3理解概率的公理化定義、掌握概率的基本性質(zhì)及其推論，并能熟練應(yīng)用。掌握概率的

6、加法公式，減法公式。§1預(yù)備知識.一、 兩個基本原理1 加法原理2 乘法原理二、排列1線性排列2 環(huán)形排列三、組合1 不允許重復(fù)的組合2 允許重復(fù)的組合§2隨機(jī)試驗與樣本空間一、隨機(jī)試驗二、樣本空間§3隨機(jī)事件. 一、事件二、事件間的關(guān)系及運算三、事件間運算規(guī)律§4概率的統(tǒng)計學(xué)定義一、頻率及其性質(zhì)二、概率統(tǒng)計學(xué)定義§5概率的古典定義 一、 古典試驗二、 典例 .§6古典概率的性質(zhì)一、 性質(zhì)1、非負(fù)性：2、規(guī)范性：=1；3、有限可加性：互不相容，則二、 應(yīng)用§7摸球問題的演繹一、超幾何概率模型二、貝努利概型三、幾何概率模型&#

7、167;8概率的幾何定義一、 問題的提出二、 定義及性質(zhì)1、非負(fù)性：2、規(guī)范性：3、可列可加性：，其中互不相容.三、 典例四、 幾何概率的特例§9概率的公理化定義一、 定義稱集合實函數(shù)P(.)為概率，若P(.)滿足下列公理（1）對任一事件A,有（2）(3)對任一互不相容的可數(shù)事件列，有二、性質(zhì)三、性質(zhì)的應(yīng)用§10概率的進(jìn)一步性質(zhì)一、事件域二、兩個特殊的域三、關(guān)于測度四、概率的單調(diào)性，上連續(xù)性，下連續(xù)性五、有限可加性與可列可加性第二章 條件概率與統(tǒng)計獨立性（6+2學(xué)時）考試內(nèi)容條件概率及其性質(zhì) 乘法公式 貝葉斯（Bayes）公式 全概率公式 兩個事件的獨立性、多個事件的獨立性

8、及其結(jié)論 獨立試驗及獨立試驗序列 貝努利試驗及其n重貝努利試驗 *貝努利試驗的推廣考試要求1 理解條件概率的概念，掌握其基本性質(zhì)，會計算一些有條件事件的概率。 2 掌握乘法公式、全概率公式、貝葉斯公式。 3 準(zhǔn)確理解獨立事件的概念，并會用其性質(zhì)計算一些復(fù)雜事件的概率。 4 掌握貝努利試驗概型。理解獨立重復(fù)試驗的概念，掌握計算有關(guān)事件概率的方法。§1條件概率一、條件概率的引入二、條件概率的定義三、條件概率的性質(zhì)1非負(fù)性 2規(guī)范性 3可列可加性 其中互斥. 45有限可加性 其中互斥. 6 推掄1 推掄2 7 8 §2乘法定理一、 乘法定理其中 二、乘法公式的應(yīng)用§3兩

9、個重要公式一、 全概率公式定理1設(shè)是一隨機(jī)試驗的完備事件組，B為某隨機(jī)事件，則二、 貝葉斯公式定理2設(shè)是一隨機(jī)試驗的完備事件組，B為某隨機(jī)事件，若，P(B)>0,則 §4隨機(jī)事件的獨立性一、 兩個事件的獨立性1 定義2 結(jié)論二、多個事件的獨立性1 定義2 結(jié)論三、事件的獨立性在概率計算中的應(yīng)用§5試驗的獨立性與貝努利試驗概型一、獨立實驗二、貝努利試驗概型三、貝努利試驗中的一些重要分布*§6貝努利試驗的應(yīng)用一、分賭問題二、有吸收壁的點隨機(jī)游動問題*§7貝努利試驗的進(jìn)一步討論一、貝努利試驗成功r次而終止二、無限次的貝努利試驗三、貝努利試驗的推廣第三章

10、隨機(jī)變量的分布（10+2學(xué)時） 考試內(nèi)容隨機(jī)變量及其概率分布隨機(jī)變量的分布函數(shù)的概念及其性質(zhì)離散型隨機(jī)變量的概率分布（分布列）及其性質(zhì) 常見離散型分布列 連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度及其性質(zhì) 常見連續(xù)型分布 隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布考試要求1 理解隨機(jī)變量及其概率分布的概念；理解分布函數(shù)的概念及性質(zhì)。2 會計算與隨機(jī)變量相關(guān)的事件的概率。3 理解離散型隨機(jī)變量及其概率分布的概念，掌握0-1分布 二項分布、幾何分布、超幾何分布、泊松分布（Posisson）及其應(yīng)用。4 理解二項分布的泊松近似，并會用泊松分布近似表示二項分布。5 理解連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度的概念；掌握概率密度與分布函數(shù)之間的關(guān)系。6

11、掌握均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布及其應(yīng)用。7 掌握求隨機(jī)變量函數(shù)分布的一般方法。§1 隨機(jī)變量一、隨機(jī)變量的引入二、隨機(jī)變量的定義§2分布函數(shù)一、隨機(jī)變量的分布函數(shù)二、 分布函數(shù)的性質(zhì) 1單調(diào)不減性：任取有 2規(guī)范性： 3右連續(xù)性： §3 離散型隨機(jī)變量的分布列一、 分布列 1非負(fù)性： 2規(guī)范性： 二、分布列與分布函數(shù)的關(guān)系1 2 3 §4 幾種常見的離散型分布一、.退化分布二、0-1分布三、n個點上的均勻分布四、二項分布三、 幾何分布性質(zhì)對任意整數(shù)有六、超幾何分布 七、泊松分布八、 帕斯卡分布§5 連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度一、 概率密度 性質(zhì)

12、10 (-<<+) 性質(zhì)2 二、 概率密度的應(yīng)用§6 常見的連續(xù)型分布一、 均勻分布概率密度： 三、 指數(shù)分布概率密度：其中定理1 隨機(jī)變量取非負(fù)數(shù)，服從指數(shù)分布的充要條件是：對任意非負(fù)數(shù)有四、 韋布分布概率密度：其中，為形狀參數(shù)，為位置參數(shù)，為尺度參數(shù)。五、 正態(tài)分布概率密度： 定理若，則。 §7 隨機(jī)變量函數(shù)的分布一、 離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布列二、 連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布定理 設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)，則隨機(jī)變量的密度函數(shù)為 其中，。第四章 隨機(jī)向量及其分布（10+2學(xué)時）考試內(nèi)容隨機(jī)向量的（聯(lián)合）分布函數(shù)、邊緣分布函數(shù)、條件分布函數(shù) 離

13、散型隨機(jī)向量的（聯(lián)合）概率分布（分布列）、邊緣分布列和條件分布列 連續(xù)型隨機(jī)向變量的（聯(lián)合）概率密度、邊緣概率密度和條件概率密度隨機(jī)變量的獨立性和相關(guān)性常見二維隨機(jī)向量的（聯(lián)合）分布列、（聯(lián)合）概率密度（二維均勻分布與二維正態(tài)分布） 兩個及兩個以上隨機(jī)變量的函數(shù)的概率分布（分布函數(shù)、分布列、概率密度），隨機(jī)變量的獨立性，隨機(jī)向量簡單函數(shù)的概率分布，n維隨機(jī)向量。 考試要求1了解二維隨機(jī)向量的概念，理解二維隨機(jī)向量分布函數(shù)的概念與性質(zhì)。 2 理解二維離散型隨機(jī)向量及其概率分布的概念與性質(zhì)，了解其邊緣分布及條件分布的概念。 3 理解二維連續(xù)型隨機(jī)向量及其概率密度的概念與性質(zhì)，了解其邊緣概率密度及條

14、件概率密度的概念。 4 掌握二維均勻分布，了解二維正態(tài)分布。 5理解隨機(jī)向量相互獨立的概念，掌握離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量獨立的充要條件。 6 會求兩個隨機(jī)變量簡單函數(shù)的概率分布。 7 了解n維隨機(jī)向量§1 隨機(jī)向量的分布函數(shù)一、隨機(jī)向量二、（聯(lián)合）分布函數(shù)定義：性質(zhì)：1單調(diào)不減性：任取有4 設(shè)是一個二維隨機(jī)向量（X，Y）的分布函數(shù)，任取<，< 則：+0三、邊緣分布函數(shù)四、條件分布函數(shù)§2 離散型隨機(jī)向量的（聯(lián)合）分布列一、（聯(lián)合）分布列 1 定義 2 性質(zhì)：二、邊緣分布列三、條件分布列§3 連續(xù)型隨機(jī)向量的概率密度一、（聯(lián)合）概率密度1 定義 2 性質(zhì)（

15、1）（2）二 兩個重要分布1多維均勻分布 聯(lián)合密度函數(shù) 2多維正態(tài)分布 聯(lián)合密度函數(shù) 其中:三、 邊緣概率密度四、 條件概率密度§4隨機(jī)變量的獨立性一、 隨機(jī)變量的獨立性 = 二、 離散型隨機(jī)變量的獨立性 結(jié)論：隨機(jī)變量X與Y相互獨立的充要條件是：三、連續(xù)型隨機(jī)變量的獨立性結(jié)論：X，Y獨立的充要條件為§5 隨機(jī)向量函數(shù)的分布一、 離散型隨機(jī)向量函數(shù)的分布列二、 連續(xù)型隨機(jī)向量函數(shù)的概率分布（1） 的分布（2）的分布（3）的分布（4）的分布（5）的分布（6）的分布第四章 數(shù)字特征與特征函數(shù)（12+2學(xué)時）教學(xué)內(nèi)容數(shù)學(xué)期望 條件數(shù)學(xué)期望 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 隨機(jī)向量函數(shù)的數(shù)

16、學(xué)期望 k階原點矩 方差 均方差（標(biāo)準(zhǔn)差） k階中心矩 協(xié)方差 協(xié)方差矩陣 相關(guān)系數(shù) 熵 特征函數(shù)教學(xué)要求1理解隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望和方差的概念，掌握數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)，會用這些性質(zhì)進(jìn)行計算。 2理解隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望公式并能正確運用。3 理解數(shù)字特征的直觀意義，了解矩的概念。4 掌握二項分布、泊松分布、均勻分布、指數(shù)分布和正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望和方差。 5理解隨機(jī)變量協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的概念和性質(zhì)，了解隨機(jī)變量的矩和協(xié)方差矩陣的概念。 6 了解熵的含義，理解特征函數(shù)的定義。§4.1數(shù)學(xué)期望一、 定義1 離散型 2 連續(xù)型 3 一般型 二、重要分布的數(shù)學(xué)期望1 （0-1）分布 2 二項分

17、布 3 泊松分布 4 幾何分布 5 超幾何分布 6 均勻分布 7 指數(shù)分布 8 正態(tài)分布 §4.2數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)一、隨機(jī)變量函數(shù)的期望1 離散型 2 連續(xù)型 3 一般型 二、隨機(jī)向量函數(shù)的期望1 離散型 2 連續(xù)型 三、期望的性質(zhì)12 3 4 四、應(yīng)用§4.3條件期望一、 條件期望的概念1 離散型 2 連續(xù)型 ， 二、最佳線性預(yù)測 §4.4方差一、 方差的定義 二、常用分布的方差1 （0-1）分布 2 二項分布 3 泊松分布 4 幾何分布 5 超幾何分布 6 均勻分布 7 指數(shù)分布 8 正態(tài)分布 三、 性質(zhì)1 2 3 4 四、  §4.5 協(xié)方

18、差與相關(guān)系數(shù)一、 協(xié)方差1、 定義2、 性質(zhì)1cov(X,X)=DX；2=；3=ab，a，b為任意常數(shù)；4=0；C為任意常數(shù)；5=+；6 如果X、Y相互獨立，則=0；7 如果X,Y方差存在，則協(xié)方差一定存在，并且滿足不等式| E|(XEX)(YEY) 8 如果X，Y為任意兩個隨機(jī)變量，并且其方差分別都存在，則X+Y，X-Y的方差也存在，且D(X+Y)=DX+DY+2D(X-Y)=DX+DY-2特別地，如果X,Y相互獨立，有D(XY)=DX+DY 9如果隨機(jī)變量的方差存在，則有 這就是著名的柯西-許瓦斯不等式。二、相關(guān)系數(shù)1、 定義2、 性質(zhì)3、 常用公式*§4.6 熵一、不確定性二、試驗的熵三、基本性質(zhì)*§4.特征函數(shù)一、定義二、常用分布的特征函數(shù)三、性質(zhì)1 ，2 在一致連續(xù)連續(xù)3 非負(fù)定性 ，為任意實數(shù)，為任意復(fù)數(shù)。4 第五章 大數(shù)定律與中心極限定理（8學(xué)時）教學(xué)內(nèi)容切比雪夫不等式，依概率收斂，依分布收斂，切比雪夫大數(shù)定律，伯努利 大數(shù)定律，鋅欽大數(shù)定律，德莫弗拉普拉斯定理，列維林德伯格定理，李雅普諾夫定理。 教學(xué)要求1了解切比雪夫不等式。 2了解依概率收斂的概念。 3了解依分布收斂的概念。 4了解切比雪夫大數(shù)定律，伯努利大數(shù)定律和鋅欽大數(shù)定律。 5了解德莫弗拉普拉斯定理，列維林德伯格定理和李雅普諾夫定理。 6 掌握大數(shù)定律和中心極限定理的使用。