有關(guān)對稱問題的求法小結(jié)

1、有關(guān)對稱問題的求法小結(jié)河南省周口市淮陽縣第一高級中學(xué)數(shù)學(xué)組張明選摘要：對稱問題是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要知識點(diǎn)，部分題目還會(huì)涉及光線反射等一些實(shí)際的應(yīng)用，有關(guān)對稱問題的求解，除了初中時(shí)期學(xué)習(xí)的數(shù)形結(jié)合的方法外，高中學(xué)習(xí)過直線方程后，更明了了其理論基礎(chǔ)，本文，我從對稱的理論原理出發(fā)探討對稱問題的具體求解方法。 關(guān)鍵詞：中點(diǎn)坐標(biāo)；斜率；交點(diǎn)坐標(biāo)；對稱 對稱問題是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要知識點(diǎn)，是學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)，也是不少教師的教學(xué)難點(diǎn)。高中數(shù)學(xué)中所涉及到的對稱問題主要包括：點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱，直線關(guān)于直線的對稱。這里我就這三種對稱關(guān)系的求法給以總結(jié)，以便我們能夠系統(tǒng)理解有關(guān)對稱

2、問題的具體求法。一、點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱大家應(yīng)該很熟悉平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)寫法，即將點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)都變?yōu)樗麄兊南喾磾?shù)即可。這種做法在初中的時(shí)候很多老師就要求學(xué)生記憶過，但是其理論基礎(chǔ)是高中學(xué)習(xí)的中點(diǎn)坐標(biāo)公式，我們也正是利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式來解決任意兩點(diǎn)（不單單是關(guān)于原點(diǎn)）的對稱問題。例1設(shè)點(diǎn)，求點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo). 分析：當(dāng)點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，我們可以直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)為，但是對于任意的點(diǎn)我們就不能直接寫出對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，而必須利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式.解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，由于與關(guān)于點(diǎn)對稱，因此點(diǎn)是與兩點(diǎn)的中點(diǎn)，所以有解得對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是.二、點(diǎn)關(guān)于直線的對稱根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想，我們知

3、道點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的求法，甚至我們知道一個(gè)點(diǎn)關(guān)于一特殊的直線的對稱的點(diǎn)坐標(biāo)的寫法，給定一個(gè)點(diǎn)，則它關(guān)于直線對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是.但是當(dāng)這一特殊的直線（坐標(biāo)軸和直線）變?yōu)橐话愕闹本€時(shí)，點(diǎn)關(guān)于直線的坐標(biāo)的求法就要利用高中階段學(xué)習(xí)的兩直線垂直時(shí)的斜率關(guān)系式，以及點(diǎn)與直線的位置關(guān)系方程.其實(shí)這也正是點(diǎn)關(guān)于特殊直線對稱的理論基礎(chǔ).我們假設(shè)已知點(diǎn)的坐標(biāo)是，已知直線方程（非坐標(biāo)軸直線）是，求點(diǎn)關(guān)于已知直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo). 設(shè)對稱點(diǎn)，我們只需求出和的值即可.點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，那么直線必垂直平分線段，所以有以下兩點(diǎn)：線段的中點(diǎn)在直線上；所在的直線與直線相互垂直。根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式線段的中點(diǎn)在直線上，點(diǎn)就要滿足直線方

4、程，即.所在的直線的斜率，根據(jù)兩直線垂直的關(guān)系：斜率的乘積等于，有.綜上我們有以下方程組：上述方程組中只有未知量，解此方程組可得點(diǎn)關(guān)于已知直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo).例2已知點(diǎn)，求點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo). 分析：這是一個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線對稱的求解問題，針對這類問題，我們只需利用上文分析的中點(diǎn)與直線的關(guān)系和兩直線的斜率關(guān)系即可.求解上述方程組就可以得到對稱點(diǎn)的坐標(biāo). 解：設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，則我們有即解得，.所以點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)是.三、直線關(guān)于直線的對稱直線關(guān)于直線的對稱是以點(diǎn)關(guān)于直線的對稱為基礎(chǔ)的，其求解方法及求解的理論基礎(chǔ)相同。但是直線關(guān)于直線的對稱根據(jù)兩直線的位置

5、關(guān)系涉及到了兩種不同的情況：當(dāng)兩直線平行時(shí)，對稱直線的求法；當(dāng)兩直線相交時(shí)對稱直線的求法。并且直線關(guān)于坐標(biāo)軸的對稱直線的求法也可以歸結(jié)到一般方法之中.已知直線與直線的方程，求直線關(guān)于直線對稱的直線的方程.1.當(dāng)兩直線平行時(shí)直線與直線平行，他們的斜率一定相等，設(shè)：，：.（）直線與直線關(guān)于直線對稱，此時(shí)兩直線一定分布于直線的兩側(cè)，且直線的斜率也是，所以我們設(shè)：，我們只需求出截距即可得對稱直線的方程.此時(shí)可以在已知直線上任取一點(diǎn)（為計(jì)算方便，我們一般取上的特殊點(diǎn)，例如與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)），計(jì)算點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)（利用上文中點(diǎn)關(guān)于直線對稱的求法），那么點(diǎn)一定在直線：上，將求出的點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程

6、即可得到截距的值，同時(shí)也就求得了對稱直線的方程.例3已知直線：，直線：，求直線關(guān)于直線對稱的直線的方程.分析：此題即是兩平行直線的對稱問題，求解思路是根據(jù)斜率直接設(shè)出對稱直線的方程是，再根據(jù)上述分析求得值即可. 解：設(shè)：，任取直線上一點(diǎn)，（即取直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)），設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，則有解得點(diǎn)的坐標(biāo)是，而點(diǎn)滿足直線：，所以有解得，所以對稱直線的方程是.特點(diǎn)總結(jié)：直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)與其對稱直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)的中點(diǎn)坐標(biāo)恰是直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，這是巧合嗎？不是。當(dāng)遇兩平行直線的對稱問題時(shí)可以此方法驗(yàn)證解答的正確性。對做選擇題、填空題尤其方便快速。2.當(dāng)兩直線相交時(shí) 直線與直線是兩相交的

7、直線，則他們必定有交點(diǎn)，求直線關(guān)于直線的對稱直線的方程的方法：先求兩直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)，那么直線的對稱直線必定經(jīng)過交點(diǎn)；再在已知直線上任取一點(diǎn)（為計(jì)算方便，我們一般取上的特殊點(diǎn)，例如與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)），利用上文點(diǎn)關(guān)于直線對稱的方法求點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，則點(diǎn)必滿足直線的方程，即點(diǎn)在直線上，這樣直線上就有兩個(gè)確定的點(diǎn)坐標(biāo)點(diǎn)和點(diǎn)；最后根據(jù)直線的兩點(diǎn)式可以寫出對稱直線的直線方程.這里不再舉例說明，其計(jì)算方法與上文類似，主要過程在于點(diǎn)關(guān)于直線對稱的求法.綜合直線關(guān)于直線對稱的兩種情況，我們知道，直線間的對稱問題都是以點(diǎn)關(guān)于直線的對稱問題的基礎(chǔ)的，所以我們學(xué)習(xí)的重點(diǎn)應(yīng)該是點(diǎn)關(guān)于直線的對稱的求解方法，結(jié)合高中階段直線部分的一些知識點(diǎn)熟練掌握對稱關(guān)系的求解方法。 本文主要介紹了高中階段