221橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

1、2.2.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程雙城市兆麟中學(xué)數(shù)學(xué)組雙城市兆麟中學(xué)數(shù)學(xué)組 闞振力闞振力教學(xué)目標(biāo)：教學(xué)目標(biāo)：1掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，能根據(jù)已知條件求掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，能根據(jù)已知條件求 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。2能用標(biāo)準(zhǔn)方程判定曲線是否是橢圓。能用標(biāo)準(zhǔn)方程判定曲線是否是橢圓。壓扁壓扁平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F F1 1、F F2 2的距離的和等于常數(shù)的距離的和等于常數(shù)（大于大于F F1 1F F2 2）的點(diǎn)的軌跡叫橢圓）的點(diǎn)的軌跡叫橢圓定點(diǎn)定點(diǎn)F F1 1、F F2 2叫做橢圓的焦點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)F1F2P橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和記為橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和記

2、為2a 2a ；兩焦點(diǎn)之間的距離：焦距，記為兩焦點(diǎn)之間的距離：焦距，記為2c,2c,即即:F:F1 1F F2 22c.2c.說(shuō)明說(shuō)明注意注意a c 0橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)：建立直角坐標(biāo)系建立直角坐標(biāo)系 列等式列等式求橢圓的方程可分為哪幾步？求橢圓的方程可分為哪幾步？設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)代入坐標(biāo)代入坐標(biāo)化簡(jiǎn)方程化簡(jiǎn)方程如何建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系？如何建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系？原則：盡可能使方程的形式簡(jiǎn)單、運(yùn)算簡(jiǎn)單；原則：盡可能使方程的形式簡(jiǎn)單、運(yùn)算簡(jiǎn)單； ( (一般利用對(duì)稱(chēng)軸或已有的互相垂直的線段所在的直線一般利用對(duì)稱(chēng)軸或已有的互相垂直的線段所在的直線 作為坐標(biāo)軸。作為坐標(biāo)軸。) )y

3、xoF1F2P建立直角坐標(biāo)系建立直角坐標(biāo)系aPFPF221 yxoF1F2P以直線以直線F1F2為為x軸，線段軸，線段F1F2的垂直平分線為的垂直平分線為y軸，軸，建立如圖坐標(biāo)系。建立如圖坐標(biāo)系?；?jiǎn)方程化簡(jiǎn)方程建立直角坐標(biāo)系建立直角坐標(biāo)系設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)代入坐標(biāo)代入坐標(biāo)列等式列等式F1F2 2caycxycx2)()(2222 aPFPF221 yxoF1F2P設(shè)設(shè)P(x,yP(x,y) )為橢圓上的任意一點(diǎn)，為橢圓上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)F1 1F F2 22c(c0),2c(c0),則：則：F F1 1(-c,0)(-c,0)、F F2 2(c,0)(c,0)以直線以直線F1F2為為x軸，線段軸

4、，線段F1F2的垂直平分線為的垂直平分線為y軸，軸，建立如圖坐標(biāo)系。建立如圖坐標(biāo)系。化簡(jiǎn)方程化簡(jiǎn)方程建立直角坐標(biāo)系建立直角坐標(biāo)系設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)代入坐標(biāo)代入坐標(biāo)列等式列等式2222)(2)(ycxaycx )ca(ayax)ca(22222222 22242222xccxa2a)yccx2x(a cx4a4y) cx(a4222 ,bca222 0b 0 ca0ca22 222222bayaxb 1byax2222 化簡(jiǎn)方程化簡(jiǎn)方程建立直角坐標(biāo)系建立直角坐標(biāo)系設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)代入坐標(biāo)代入坐標(biāo)列等式列等式方程的推導(dǎo)PF2F1以直線以直線F F1 1F F2 2為為y y軸，線段軸，線段F F1

5、1F F2 2的垂直平分線為的垂直平分線為x x軸，軸，建立坐標(biāo)系建立坐標(biāo)系。方程的推導(dǎo)PF2F1。aPFPF221 a2x) cy(x) cy(2222 a2y) cx(y) cx(2222 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程xOyF1F2P)0(12222 babxayF1(0 ,-c)、F2(0, c)下的分母大下的分母大2x下的分母大下的分母大2yxOyF1F2PF1(-c,0)、F2(c,0)0(12222 babyax222cab 最大最大中中、acba1 1、已知橢圓的方程為：、已知橢圓的方程為：則則a_，b_，c_， 焦點(diǎn)焦點(diǎn)坐標(biāo)為：坐標(biāo)為：_ ，焦距等，焦距等于于_。該橢圓上一點(diǎn)。該橢圓上一點(diǎn)P

6、到焦點(diǎn)到焦點(diǎn)F1的距的距離為離為8，則點(diǎn)，則點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)F2的距離的距離等于等于_。11003622 yx2 2、若橢圓滿足、若橢圓滿足: : a5 , c3 , , 求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。1162522 yx1251622 yx焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在x x軸上軸上x(chóng)Oy例例1 1、已知一個(gè)運(yùn)油車(chē)上的貯油罐橫截面的外輪廓線、已知一個(gè)運(yùn)油車(chē)上的貯油罐橫截面的外輪廓線是一個(gè)橢圓，它的焦距為是一個(gè)橢圓，它的焦距為2.4 m2.4 m，外輪廓線上的點(diǎn)到兩，外輪廓線上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離和為個(gè)焦點(diǎn)的距離和為3 m3 m，求這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程F1F2P解：以兩個(gè)焦點(diǎn)解

7、：以兩個(gè)焦點(diǎn)F F1 1，F(xiàn) F2 2所在的直線為所在的直線為x x軸，以軸，以線段線段F F1 1F F2 2的垂直平分線為的垂直平分線為y y軸，建立直角坐標(biāo)軸，建立直角坐標(biāo)系，則這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為系，則這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為)0( 12222 babyax根據(jù)題意知，根據(jù)題意知，2a=32a=3，2c=2.42c=2.4，即，即a=1.5a=1.5，c=1.2c=1.2。所以。所以b b2 2=a=a2 2-c -c2 2=1.5=1.52 2-1.2-1.22 2=0.81=0.81，因此，因此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為181. 025. 222 yx例例2 2、將圓、將圓x x

8、2 2+y+y2 2=4=4上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的一保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的一半，求所得曲線的方程，并說(shuō)明半，求所得曲線的方程，并說(shuō)明它是什么曲線它是什么曲線因?yàn)橐驗(yàn)閤x2 2+y+y2 2=4,=4,所以所以x x2 2+4y+4y2 2=4,=4,即即1422 yx yyxx2這就是變換后所得曲線的方程這就是變換后所得曲線的方程, ,它表示一個(gè)橢圓它表示一個(gè)橢圓oxy解：設(shè)所得曲線上任一點(diǎn)解：設(shè)所得曲線上任一點(diǎn)P坐標(biāo)為（坐標(biāo)為（x x，y y），圓），圓x x2 2+y+y2 2=4=4上上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)PP的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（x,yx,y),),由題意可得由題意可得PP小 結(jié) 0ba 1byax2222 0ba 1bxay2222 定定 義義方方 程程焦焦 點(diǎn)點(diǎn)F(c，0)a,b,ca,b,c的關(guān)系的關(guān)系222cab P|PF1+PF2=2a,2aF1F21