數(shù)學(xué)中的變形技巧及其應(yīng)用

1、學(xué) 號(hào)2009211218分類號(hào)O12本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）題目： 數(shù)學(xué)中的變形技巧及其應(yīng)用院 （系） 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)系 專 業(yè) 班 級(jí) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)XX級(jí)X班 學(xué) 生 姓 名 XXX 指導(dǎo)教師（職稱） XXX 提 交 時(shí) 間 二一三年五月 數(shù)學(xué)中的變形技巧及其應(yīng)用XXX（安康學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)系，陜西安康，725000） 摘 要 許多數(shù)學(xué)問(wèn)題都有一定難度，解決他們往往需要一定的技巧.為了在有限的時(shí)間內(nèi)快速而準(zhǔn)確地解決數(shù)學(xué)題，我們就必須采取一些方法與技巧.這就要求我們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中細(xì)心觀察、認(rèn)真積累一些經(jīng)驗(yàn)與方法.本文主要介紹數(shù)學(xué)中一些常用的變形技巧，給出了這些技巧在解數(shù)學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用. 關(guān)鍵詞

2、 數(shù)學(xué) 變形 技巧 應(yīng)用Deformation technique and its application in mathematicsXxx xxx WANG （Department of mathematics and statistics, Ankang University, Ankang Shaanxi, 725000) Abstract Many mathematical problems are difficult to solve, they often need certain skills. In order to solve math problems in the li

3、mited time quickly and accurately, we must adopt some methods and skills. Then we must observe carefully and accumulate some experience and methods in the usual learning process. This paper mainly introduces some deformation techniques commonly used in mathematics.Keywords mathematics deformation te

4、chnique application目 錄摘 要 IAbstractII前 言11.數(shù)學(xué)中的一般變形技巧21.1 一元二次方程的變形技巧21.2 三角函數(shù)的變形技巧41.3 “0”的變形技巧71.4 “1”的變形技巧92.最值問(wèn)題的常用變形技巧112.1配方法122.2換元法132.3判別式法132.4不等式法143.運(yùn)用均值不等式解題的變形技巧153.1拆項(xiàng)153.2拆冪153.3升冪163.4整體代換163.5平衡系數(shù)173.6分離取倒數(shù)17結(jié)束語(yǔ)19參考文獻(xiàn)20致 謝21前 言數(shù)學(xué)是一個(gè)有機(jī)整體，各個(gè)部分之間相互聯(lián)系、相互依存、相互滲透，從而構(gòu)成了一個(gè)個(gè)相互交錯(cuò)的立體空間.因此為了培養(yǎng)

5、學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的運(yùn)算能力、邏輯能力、推理能力、空間想象能力以及綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析、解決實(shí)際問(wèn)題的能力，我們應(yīng)該對(duì)常用的數(shù)學(xué)方法和重要的數(shù)學(xué)思想引起重視，并且有意識(shí)地運(yùn)用一些數(shù)學(xué)方法去解決問(wèn)題，這樣才能夠使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提高到一個(gè)新的層次、新的高度 .數(shù)學(xué)方法，是針對(duì)不同的數(shù)學(xué)知識(shí)而定的一種策略.數(shù)學(xué)中的變形與數(shù)學(xué)知識(shí)一樣，是數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程中積累起來(lái)的寶貴精神財(cái)富.近幾年來(lái)，中學(xué)數(shù)學(xué)考試中的考題越來(lái)越新穎，尤其是在中考，高考的試題中，要使考生在短短的兩個(gè)小時(shí)之內(nèi)完成所有的試題，這對(duì)大部分考生來(lái)說(shuō)是非常困難的，而且有些試題的技巧性非常強(qiáng)，做起來(lái)有一定的難度，考生如果用常規(guī)的方法解決，這不僅會(huì)浪費(fèi)

6、很多時(shí)間，而且最后還可能得不到正確答案 .所以我們有必要針對(duì)一些題采取正確的解題技巧，即對(duì)它們作一些變形，這不僅能使試題變得簡(jiǎn)單明了，而且還能使我們做起題來(lái)得心應(yīng)手，同時(shí)增加了我們解題的信心，還提高了我們對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣.針對(duì)以上問(wèn)題，本文主要總結(jié)歸納了數(shù)學(xué)中的一些變形技巧，通過(guò)例題的方式給出這些變形技巧及具體應(yīng)用.1. 數(shù)學(xué)中的一般變形技巧在數(shù)學(xué)中什么是變形？它是為了達(dá)到某種目的或需要而采取的一種手段，是化歸、轉(zhuǎn)化和聯(lián)想的準(zhǔn)備階段.它屬于技能技巧性知識(shí)，既靈活又多變，一個(gè)公式，一個(gè)法則，它的表述形式是多種多樣的.也就是說(shuō)它存在著一定的技巧和方法，只有我們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的實(shí)踐中反復(fù)操作才能掌握，以

7、至于靈活運(yùn)用.如勾股定理可表述為也可表述等. ，這顯然是一個(gè)不屑回答的問(wèn)題， 就成了最富靈活性的問(wèn)題， 或.可見“變形”確實(shí)是一個(gè)內(nèi)涵十分豐富的概念，在一些著名的數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中，變形技巧的巧妙運(yùn)用也是非重要的一個(gè)環(huán)節(jié).有時(shí)我們?cè)跀?shù)學(xué)解題中，為了完成論證、求值、化簡(jiǎn)等任務(wù)，常常要對(duì)某些式子進(jìn)行恒等變形，但是恒等變形又無(wú)固定的模式或規(guī)則，一個(gè)式子常常有多種可能的變形，因題而異，技巧性非常強(qiáng).現(xiàn)在我們來(lái)看一下一元二次方程，三角函數(shù)，“0”，“1”等的變形應(yīng)用，希望這幾方面的變形應(yīng)用的介紹，對(duì)其他題的變形能起到拋磚引玉的作用.下面我們就來(lái)談?wù)勥@幾種變形技巧的應(yīng)用.1.1 一元二次方程的變形技巧對(duì)有些含

8、有（或可轉(zhuǎn)化）一元二次方程的代數(shù)問(wèn)題，如能對(duì)方程進(jìn)行適當(dāng)變形并施以代換，則常?？墒箚?wèn)題“化繁為簡(jiǎn)”.下面舉例說(shuō)明：例1 解： ，分析：如果，那么就很復(fù)雜，而且容易出錯(cuò)，在這里通過(guò)變形的技巧先從結(jié)論出發(fā)，這樣可以提高解題的效率，以至于節(jié)省時(shí)間.例2 解：由題意得：，分析：通過(guò)觀察要求的結(jié)論可知，只要對(duì)要求的結(jié)論作一下變形，則這道題目便可以輕易解決. 例3 設(shè)實(shí)數(shù)分別滿足并且， 解：由題設(shè)可得：.， 分析：通過(guò)仔細(xì)的觀察可知只要對(duì)已知條件進(jìn)行變形，再利用比例的基本性質(zhì)即可解決這道題.總結(jié)：在解決一元二次方程的代數(shù)問(wèn)題時(shí),首先要認(rèn)真仔細(xì)地觀察題目的已知條件和所求的式子，觀察他們之間有什么特點(diǎn)與聯(lián)系，

9、然后再充分利用已知條件來(lái)解決所求的問(wèn)題.特別是要靈活運(yùn)用韋達(dá)定理： 為一元二次方程，在解這類題目時(shí)，可以先從已知條件出發(fā)，也可以從結(jié)論入手，關(guān)鍵是要善于觀察所求式子的特點(diǎn)進(jìn)而合理適當(dāng)?shù)刈冃?，使所求?wèn)題得到解決.以上三道題都是由問(wèn)題入手，對(duì)已知條件做適當(dāng)?shù)淖冃?，進(jìn)而應(yīng)用韋達(dá)定理來(lái)解決所求問(wèn)題.1.2 三角函數(shù)的變形技巧三角函數(shù)是初等函數(shù)的重要組成部分，其與二次函數(shù)、初等幾何的關(guān)系十分密切.特別是“給出已知條件，求三角函數(shù)的值”的問(wèn)題，求三角函數(shù)的值的關(guān)鍵即合理地進(jìn)行三角恒等變形，其最基本的思路是“三看”，即一看角、二看函數(shù)名稱、三看結(jié)構(gòu)特征.除此之外，我們還常常應(yīng)用代數(shù)的變形技巧和構(gòu)造法，為三角

10、恒等變形創(chuàng)造條件.例4 分析：除了這里的，還有以下等式也經(jīng)常用到：靈活運(yùn)用這些等式，能使許多三角函數(shù)問(wèn)題得到簡(jiǎn)化.例5 .分析：本例題是正切公式變形的應(yīng)用.在歷年高考題中，曾多次出現(xiàn)兩角和與差的正切公式的變形應(yīng)用，希望讀者在學(xué)習(xí)中一定要總結(jié)、體會(huì)以至于靈活運(yùn)用.例6 ， 分析：對(duì)于正切和角可正用也可逆用.則其可變形.這里公式的變形應(yīng)用.例7 解： 注意到 可變形為 我們可以通過(guò)構(gòu)造對(duì)偶式，以減少三角變換的難度.再觀察所求三角函數(shù)式， 很容易發(fā)現(xiàn)它與余弦定理非常相似，所以我們還可以通過(guò)構(gòu)造三角形，使問(wèn)題得到解決.， 從而方法二：原式構(gòu)造，則由正玄定理得：.又由余弦定理得：，說(shuō)明：這里通過(guò)構(gòu)造對(duì)偶

11、式和三角形來(lái)求三角函數(shù)式的值是一種較高的變形技巧.總結(jié)：三角函數(shù)式的恒等變形是學(xué)習(xí)三角函數(shù)和其他數(shù)學(xué)知識(shí)不可缺少的知識(shí).它包括：化簡(jiǎn)三角函數(shù)式，求三角函數(shù)式的值，證明三角恒等式.三角函數(shù)式恒等變形的理論依據(jù)是代數(shù)恒等變形的一般方法和法則，三角函數(shù)的變形公式在變形中要注意三角函數(shù)的定義域和值域的要求，以及符號(hào)的變化.1.3 “0”的變形技巧曾有人指出：“零不只是一個(gè)非常確定的數(shù)，而且它本身比其他一切被所限定的數(shù)都更重要。事實(shí)上，零比其他一切數(shù)都有著更豐富的內(nèi)容：零乘以任何一個(gè)數(shù)，會(huì)把這個(gè)數(shù)變?yōu)榱?，零除以任何一個(gè)不等于零的數(shù)都得零”由于零具備許多特殊的性質(zhì).因此，在解題過(guò)程中我們?nèi)裟艹浞值乩眠@些

12、特性，那么我們將會(huì)很快地解出所求的題，下面我們看幾個(gè)關(guān)于“”的特性在解題中的應(yīng)用.例8 .（分子上加“”）再利用不等式和等差數(shù)列的有關(guān)知識(shí)即可.例9 . ,所以 也就是再利用不等式的性質(zhì)可方便解決此題.例 10 ，求解：（1）令為的前n項(xiàng)和，則是首相為5,公差為2的等差數(shù)列.因?yàn)槿缓笤倮玫炔顢?shù)列的知識(shí)便可解決這道題目. 一個(gè)很有用的數(shù)字，在數(shù)學(xué)解題中若能靈活應(yīng)用它，則會(huì)幫助我們順利地解題.如果有些題目可以借助的有關(guān)特性去解決.這樣可以很快確定解題方向，提高解題效率.1.4 “1”的變形技巧眾所周知“1”的變形表述形式是非常多的，在數(shù)學(xué)問(wèn)題的求解過(guò)程中，如果我們善于捕捉“1”，并且恰當(dāng)?shù)赜谩?

13、”來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，會(huì)使問(wèn)題顯得簡(jiǎn)潔明了.那么下面我們來(lái)看一看它的應(yīng)用.例11 . （1） 但任何數(shù)乘以1其值不變，因此，我們可以在求證式的左邊乘以， 將其視為例12 .使問(wèn)題巧妙解決.本題也可以用三角函數(shù)的知識(shí)來(lái)解答，但是比較麻煩.例13 說(shuō)明：這里巧妙的運(yùn)用1使問(wèn)題得以解決.即而這里.例14 .中至多有一個(gè)為負(fù).，均為非零時(shí)，說(shuō)明:這道題如果不認(rèn)真去思考，那么將很容易遺漏（1）和（2）這兩種情況. 這三個(gè)數(shù)的正負(fù)情況.而第三種情況用到了1和0的變形技巧， 用到了1的變形技巧，而變形技巧.然后再利用不等式的性質(zhì)便可解決這道題.總結(jié)：通過(guò)以上的例子可以看出，如果借助“1”來(lái)解決有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，則

14、效率非常高，因?yàn)椤?”的變形是多種多樣的，對(duì)不同的題目，“1”的變形是不同的.有些題目若能利用“1”來(lái)求解，那么我們應(yīng)該靈活應(yīng)用“1”去解決.2. 最值問(wèn)題的常用變形技巧最值問(wèn)題是在生產(chǎn)和日常生活中常會(huì)遇到的一類特殊的數(shù)學(xué)問(wèn)題，它涉及到初等數(shù)學(xué)知識(shí)的各個(gè)方面，解決這類問(wèn)題往往需要綜合運(yùn)用各種技巧，靈活選擇解題的途徑和方法.對(duì)學(xué)生考查的角度來(lái)看，求最值問(wèn)題是一個(gè)綜合能力的考查；從內(nèi)容來(lái)看它涉及到：不等式的性質(zhì)、參數(shù)方程、函數(shù)的單調(diào)性等等；從方法上來(lái)說(shuō)，它涉及到：代數(shù)式的變形與變換、數(shù)形結(jié)合、不等式法、換元法、導(dǎo)數(shù)法、分類討論、內(nèi)容與方法上的轉(zhuǎn)換等；從能力角度來(lái)說(shuō)，它要求學(xué)生有一定的分析能力、解決

15、問(wèn)題的能力.下面對(duì)求最值問(wèn)題的常用方法進(jìn)行總結(jié)并舉例說(shuō)明，利用各類型的典型例題，分析求最值問(wèn)題的解題思路，以揭示其中的特征和規(guī)律.2.1配方法利用配方法將二次函數(shù)的一般式化為頂點(diǎn)式，利用二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)解決問(wèn)題.它主要用于二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的函數(shù).在解題過(guò)程中要特別注意自變量的取值范圍.例15 取得最大值，并求出最大值. ，從而.說(shuō)明：此類題解法關(guān)鍵在于配方法，將二次函數(shù)一般式化為頂點(diǎn)式，同時(shí)要考慮頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值是否落在定義域內(nèi)，否則考慮函數(shù)的單調(diào)性.2.2換元法利用換元法解數(shù)學(xué)題的關(guān)鍵在于選擇適當(dāng)?shù)妮o助元，引入適當(dāng)?shù)拇鷵Q。這樣不僅容易找到解題思路，而且常使問(wèn)題簡(jiǎn)單化。用換元法時(shí)，一

16、定要注意相關(guān)變量的取值范圍.例 16 達(dá)到最大值，并求出最大值.代入已知等式得：，要使大，則值最小，即需取最大值. 說(shuō)明：本題通過(guò)換元變形為含正弦函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的值域來(lái)求最大值. 2.3判別式法它是利用根的判別式的意義，通過(guò)變形得到系數(shù)是常數(shù)關(guān)于一元二次方程后，得出系數(shù)取值范圍.主要適用于可化為關(guān)于二次方程的函數(shù)，當(dāng)時(shí)， 時(shí)，還需要結(jié)合圖像求最值.例17 求函數(shù)的最值。時(shí)等號(hào)成立， 說(shuō)明：這是無(wú)理函數(shù)的最值問(wèn)題，采用了平方法，通過(guò)自變量的范圍制約著最小值的求得。另外考慮到根號(hào)式子的特點(diǎn)，用換元法來(lái)解可有如下更簡(jiǎn)單的解法.所以， ， 2.4不等式法這一類型的基本不等式，在求一些函數(shù)

17、最值問(wèn)題時(shí)通常十分便捷，在解題時(shí)務(wù)必注意、考慮利用不等式求最值的三個(gè)條件限制時(shí)成立； .例18 則，說(shuō)明：表面上看本題不能使用基本不等式，但只要稍留心便能從兩個(gè)分母中發(fā)現(xiàn)“名堂”， ，兩數(shù)之積正好為定值“4”，于是巧乘得“4”便可利用基本不等式.3. 運(yùn)用均值不等式解題的變形技巧均值不等利用均值不等式解題的關(guān)鍵是湊 “定和”和“定積”，在解題過(guò)程中常常需要采用“拆項(xiàng)、補(bǔ)項(xiàng)、平衡系數(shù)”等變形技巧找到定值，再利用均值不等式來(lái)求解，使得復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，收到事半功倍的效果.3.1拆項(xiàng)例19 3.2拆冪 例20 如果圓柱軸截面的周長(zhǎng)為定值，那么圓柱體積的最大值是（ ）3.3升冪 例21 設(shè)3.4整體代換

18、例22 證明：.【注】在做題的過(guò)程中大家若細(xì)心觀察，可得此結(jié)論： 所以，3.5平衡系數(shù)平衡系數(shù)法就是想辦法使未知數(shù)前面的系數(shù)的代數(shù)和為0.以便于在運(yùn)用均值不等式時(shí)能得到定值.例23 用總長(zhǎng)14.8米的鋼條制作一個(gè)長(zhǎng)方體容器的框架，如果所制作容器的底面的一邊比另一邊長(zhǎng)0.5米，那么高為多少時(shí)容器的容積最大？并求出它的最大容積解：設(shè)容器底面短邊長(zhǎng)為，則另一邊長(zhǎng)為，并設(shè)容積為中容器的3.6分離取倒數(shù) “分離”就是通過(guò)湊補(bǔ)的方法把一個(gè)分?jǐn)?shù)式化成多項(xiàng)式.但是在解題過(guò)程中，有時(shí)我們把一個(gè)分?jǐn)?shù)式化成了多項(xiàng)式時(shí)問(wèn)題還得不到解決，此時(shí)我們還要取其倒數(shù).如下面的例題：例24 所以，即.總之，我們利用均值不等式求最

19、值時(shí)，一定要注意“一正二定三等”即 (當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取“=”號(hào))“一正”，“二定”定和或定積 “三等”時(shí)還要注意一些變形技巧，靈活運(yùn)用均值不等式.結(jié)束語(yǔ)由于中學(xué)數(shù)學(xué)的改革及社會(huì)發(fā)展的需求，以及提高我們的應(yīng)試能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力，數(shù)學(xué)變形技巧作為一種解題的手段越來(lái)越被人們所喜愛，但是它沒有固定的形式，所以這就需要我們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)中加以運(yùn)用和積累.本文對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)中的初等數(shù)學(xué)和代數(shù)中的一些變形技巧加以整理、歸類，利用大量的例子來(lái)闡述說(shuō)明.這將會(huì)對(duì)我未來(lái)的中學(xué)教師生活起著指導(dǎo)性的作用，在中學(xué)數(shù)學(xué)中熟練掌握了基本的變形技巧，這會(huì)使你在解題時(shí)得心應(yīng)手，甚至?xí)岣吣銓?duì)數(shù)學(xué)的興趣同時(shí)增強(qiáng)你對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心

20、.我們?cè)诮鈹?shù)學(xué)題的過(guò)程中難免會(huì)遇到這樣那樣的問(wèn)題，那么我們應(yīng)該如何去做才能使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單易懂呢？從波利亞的“怎樣解題”表中可知數(shù)學(xué)解題一般用四個(gè)步驟： 弄清問(wèn)題.即要知道未知數(shù)是什么？已知數(shù)據(jù)是什么？條件是什么？然后擬定計(jì)劃. 找出已知數(shù)和未知數(shù)之間的關(guān)系.如果找不出直接的關(guān)系你可能不得不考慮輔助問(wèn)題，最終得出一個(gè)求解計(jì)劃. 實(shí)行你的計(jì)劃. 驗(yàn)證所求的解.但是有時(shí)我們?cè)诮忸}的過(guò)程中應(yīng)該注意，如果能利用變形技巧的我們應(yīng)該利用使得問(wèn)題簡(jiǎn)單化.變形技巧是數(shù)學(xué)解題的一種方法，變形能力的強(qiáng)弱直接影響著解題能力的高低。再次強(qiáng)調(diào)，變形屬于技能技巧性的知識(shí)，它需要在實(shí)踐中反復(fù)操練才能把握，以至于靈活與綜合運(yùn)用.參考文獻(xiàn)1 何兵. 均值不等式解題的變形技巧. 高中數(shù)理化, 2012(14)：90-92.2 張振繼.利用基本不等式求最值十大變形技巧.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志（高中版）, 2010(3)：39-41.3 陳珠社. 深化變形巧解題. 數(shù)學(xué)教學(xué)研究, 2011,30(6): 61-64.4 徐德義.一元二次方程變形的應(yīng)用.初中數(shù)學(xué)教與學(xué)J，2002,10:14-15.5 汪江松.高中數(shù)學(xué)解題方法與技巧M.武漢：湖北教育出版社,2006:17-22.6 董開福.中學(xué)數(shù)學(xué)教材分析（第一版）M.昆明:云南教育出版社，1999,1:45-