x12-3條件極值拉格朗日乘數(shù)法ppt課件

1、12-312-3例：從斜邊長為例：從斜邊長為L直角三角形中求最大周長直角三角形。直角三角形中求最大周長直角三角形。解解:設(shè)兩直角邊長為設(shè)兩直角邊長為x,y，則周長，則周長z=L+x+y在條件在條件 L2=x2+y2 下求二元函數(shù)下求二元函數(shù)z=L+x+y的極值。的極值。 自變量附加條件的極值問題稱為條件極值。自變量附加條件的極值問題稱為條件極值?？偨Y(jié)：總結(jié)： (1) 求二元函數(shù)求二元函數(shù)f(x,y)在條件在條件,F(x,y)=0曲線求極值時。曲線求極值時。1可從可從Fx,y）=0中解出中解出y=y(x)，代入，代入z= f(x, y(x)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的無條件極值。化為一元函數(shù)的無條件極值。

2、2若從若從Fx,y）=0中解不出中解不出y=y(x)？(2)求二元函數(shù)f(x,y,z)在條件,F(x,y,z)=0(曲面)求極值時。1可從Fx,y,z）=0中解出z=z(x,y)代入z= f(x, y,z(x,y)轉(zhuǎn)化為二元函數(shù)的無條件極值。2若從Fx,y,z）=0中解不出z=z(x，y)？若可從若可從Fx,y）=0中解出中解出y=y(x)，代入，代入z= f(x, y(x)的可能極值的可能極值點(diǎn)為駐點(diǎn)。即點(diǎn)為駐點(diǎn)。即( , ( )( , ( )0 xydzdyfx y xfx y xdxdxxyFdydxF 00(,)( , ( )( , ( )()0 xxyxyyFfx y xfx y x

3、F00000000(,)(,)(,)0(,)xxyyF xyfxyfxyF xy00000000(,)(,)(,)0(,)yxxyfxyfxyF xyF xy0000(,)(,)yyfxyF xy 令0000(,)(,)0 xxfxyF xy0000(,)(,)0yyfxyF xy00(,)0F xy定定理理 1 12 2- -8 8（必必要要條條件件）： 若若 f f( (x x, ,y y, ,z z) ), ,F F( (x x, ,y y, ,z z) )在在點(diǎn)點(diǎn)（a a, ,b b, ,c c）的的某某個個鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)具具有有連連續(xù)續(xù)的的一一階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)且且 F Fz z（a a

4、, ,b b, ,c c） 0，則則函函數(shù)數(shù) f f( (x x, ,y y, ,z z) ), ,在在約約束束條條件件 F F( (x x, ,y y, ,z z) )= =0 0 下下于于點(diǎn)點(diǎn)（a a, ,b b, ,c c）取取到到極極值值的的必必要要條條件件是是： ),(),(zyxfzyxLF F( (x x, ,y y, ,z z) ) 0),(, 0),(, 0),(, 0),(zyxFLzyxLzyxLzyxLzyx求解方程組求解方程組解出解出 x, y, z 即得即得可能極值點(diǎn)的坐標(biāo)可能極值點(diǎn)的坐標(biāo).若可從若可從Fx,y,z）=0中解出中解出z=z(x,y)， f(x, y,

5、z(x,y)的可能的可能極值點(diǎn)為駐點(diǎn)。令極值點(diǎn)為駐點(diǎn)。令g(x,y)= f(x, y,z(x,y)000000000000000000000000(,)(,)(,)(,)0(,)(,)(,)(,)0 xxzxyyzygxyzfxyzfxyzzxyzgxyzfxyzfxyzzxyzyxzzFFzzxFyF 000000000000000000000000(,)(,)(,)0(,)(,)(,)(,)0(,)xxzzyyzzF xyzfxyzfxyzF xyzF xyzfxyzfxyzF xyz000000000000000000000000(,)(,)(,)()0(,)(,)(,)(,)()0(,

6、)zxxzzyyzfxyzfxyzF xyzF xyzfxyzfxyzfxyzF xyz000000(,)(,)zzfxyzF xyz 令格朗日乘數(shù)法可推廣到自變量多于兩個，條件多于一個的情況格朗日乘數(shù)法可推廣到自變量多于兩個，條件多于一個的情況： . 0),(, 0),(, 0),(, 0),(, 0),(, 0),(2121212121tzyxLtzyxLtzyxLtzyxLtzyxLtzyxLtzyx求解方程組求解方程組解出解出 x, y, z, t 即得即得可能極值點(diǎn)的坐標(biāo)可能極值點(diǎn)的坐標(biāo).解解02220)22(0)22(0)22(2azxyzxyLxyxyLzxxzLzyyzLzyx

7、那那么么例例1 求表面積為求表面積為 a2 而體積為最大的長方體的體積而體積為最大的長方體的體積. 設(shè)長方體的長、寬、高為設(shè)長方體的長、寬、高為 x , y，z. 體積為體積為 V .則問題就是條件則問題就是條件求函數(shù)求函數(shù)的最大值的最大值.)0, 0, 0( zyxxyzV令令),222(),(2axzyzxyxyzzyxL02222 axzyzxy下，下，即即 )4( 0222)3( )(2)2( )(2)1( )(22axzyzxyyxxyzxxzzyyz , 0 , 0 , 0 zyx因因由由(2), (1)及及(3), (2)得得,zyzxyx ,zxyxzy 02220)22(0)

8、22(0)22(2azxyzxyLxyxyLzxxzLzyyzLzyx, 0 , 0 , 0 zyx因因由由(2), (1)及及(3), (2)得得,zyzxyx ,zxyxzy 于是，于是，. zyx 代入條件，得代入條件，得. 02222 axxxxxx解得解得,66ax ,66ay .66az .3666666663maxaaaaV 這是唯一可能的極值點(diǎn)。這是唯一可能的極值點(diǎn)。 因?yàn)橛蓡栴}本身可知，因?yàn)橛蓡栴}本身可知，所以，所以， 最大值就在此點(diǎn)處取得。最大值就在此點(diǎn)處取得。故，最大值故，最大值最大值一定存在，最大值一定存在，例例 2 2 將正數(shù)將正數(shù) 1212 分成三個正數(shù)分成三個正數(shù)

9、zyx , ,之和之和 使得使得 zyxu23 為最大為最大. . 解解令令 )12(),(23zyxzyxzyxL, , 12 0 020323322zyxLyxLyzxLzyxLzyx那那么么 )4( ,12)3( ,)2( ,2)1( ,323322zyxyxyzxzyx 由由 (1)，(2) 得得(5) ,32xy 由由 (1)，(3) 得得(6) ,31xz 即即，得得唯唯一一駐駐點(diǎn)點(diǎn))2 , 4 , 6(， .691224623max u將將 (5)，(6) 代入代入 (4)： 123132 xxx于是，得于是，得, 6 x, 4 y. 2 z這是唯一可能的極值點(diǎn)。這是唯一可能的極

10、值點(diǎn)。因?yàn)橛蓡栴}本身可知，最大值一定存在，因?yàn)橛蓡栴}本身可知，最大值一定存在，所以，所以，最大值就在這個可能的極值點(diǎn)處取得。最大值就在這個可能的極值點(diǎn)處取得。故，最大值故，最大值例例3 3P149P149）. .證明點(diǎn)證明點(diǎn)x0,y0,z0)x0,y0,z0)到平面到平面ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0的最短距離為的最短距離為0002221.daxbyczdabc目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)222000( , )()()()f x yxxyyzz222000( , , , )()()()()L x y zxxyyzzaxbyczd0002()02()02()00 xyzLxxaLyybLz

11、zcLaxbyczd0002222()axbyczdabc的的最最短短距距離離之之間間與與平平面面求求旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)拋拋物物面面2222 zyxyxz例例4.解解,),(22上任一點(diǎn)上任一點(diǎn)為拋物面為拋物面設(shè)設(shè)yxzzyxP ,022dzyxP的的距距離離為為到到平平面面 那那么么.2261 zyxd設(shè)設(shè).)22(61),(2 zyxzyxu則問題就是在條件則問題就是在條件022 yxz下，下，求求2)22(61),( zyxzyxu的最小值。的最小值。構(gòu)造函數(shù)構(gòu)造函數(shù)),()22(61),(222yxzzyxzyxL)4( , 0) 3( , 0)2)(22(31)2( , 02)22(31) 1

12、 (, 02)22(31 22yxzLzyxLyzyxLxzyxLzyx令.81 z由由 (1), (3) 得得,41 x由由 (2), (3) 得得,41 y代入代入 (4) 得得),81 ,41 ,41(即得唯一可能的極值點(diǎn)即得唯一可能的極值點(diǎn)例例5 設(shè)設(shè)n個正數(shù)個正數(shù)x1 x2 . . xn的和等于常數(shù)的和等于常數(shù)a時求它時求它們的乘積的最大值，并證明們的乘積的最大值，并證明n個正數(shù)個正數(shù)a1 a2 . . an的幾何平均值小于算術(shù)平均值即：的幾何平均值小于算術(shù)平均值即：naaaaaannn2121解解：設(shè)解解：設(shè)u=f(x1 x2 . . xn)在條件在條件x1 +x2 . . +xn

13、=a L (x1 x2 . xn )= x1 x2 .xn+ x1 +x2 . +xn-a ）000021121313221axxxLxxxLxxxLxxxLnnxnxnxnnaxxxn21nnnnnaaanaaaa)()(2121naaaaaannn2121解解設(shè)設(shè)),(000zyxP為為橢橢球球面面上上一一點(diǎn)點(diǎn),令令1),(222222 czbyaxzyxF,則則202|axFPx ， 202|byFPy ， 202|czFPz 過過),(000zyxP的的切切平平面面方方程程為為 )(020 xxax )(020yyby0)(020 zzcz,化化簡簡為為 1202020 czzbyya

14、xx,該該切切平平面面在在三三個個軸軸上上的的截截距距各各為為 02xax ，02yby ，02zcz ,所所圍圍四四面面體體的的體體積積 000222661zyxcbaxyzV ,在條件在條件1220220220 czbyax下求下求 V 的最小值的最小值,在條件在條件1220220220 czbyax下求下求 V 的最小值的最小值,令令 ,lnlnln000zyxu ),(000zyxG 000lnlnlnzyx)1(220220220 czbyax ,由由,010, 0, 0220220220000 cybyaxGGGzyx所所圍圍四四面面體體的的體體積積 000222661zyxcba

15、xyzV ,當(dāng)當(dāng)切切點(diǎn)點(diǎn)坐坐標(biāo)標(biāo)為為(3a，3b，3c)時時,四四面面體體的的體體積積最最小小abcV23min . 01021021021220220220200200200czbyaxczzbyyaxx 可得可得即即30ax 30by ，30cz 例例7. 在橢圓在橢圓 上求一點(diǎn)，使其到直線上求一點(diǎn)，使其到直線4422 yx0632 yx的距離最短。的距離最短。解解 設(shè)設(shè)P(x，y)為橢圓為橢圓 上任意一點(diǎn)，則上任意一點(diǎn)，則P到直線到直線4422 yx0632 yx的距離為的距離為13|632| yxd),44()632(131),(222 yxyxyxF 求求d 的最小值點(diǎn)即求的最小值點(diǎn)即求 的最小值點(diǎn)。作的最小值點(diǎn)。作2d由由lagrange乘數(shù)法，令乘數(shù)法，令0, 0, 0 FyFxF得方程組得方程組 . 044, 08)632(136, 02)632(13422yxyyxxyx 解此方程組得解此方程組得53,58;53,582211 yxyx于是于是.131