二次根式的運(yùn)算基礎(chǔ)知識(shí)講解

1、二次根式的運(yùn)算(基礎(chǔ))知識(shí)講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、理解并掌握二次根式的加減法法則，會(huì)合并同類二次根式，進(jìn)行簡單的二次根 式加減運(yùn)算；2、 掌握二次根式的乘除法法則和化簡二次根式的常用方法，熟練進(jìn)行二次根式的乘 除運(yùn)算；3、會(huì)利用運(yùn)算律和運(yùn)算法則進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、二次根式的加減二次根式的加減實(shí)質(zhì)就是合并同類二次根式， 即先把各個(gè)二次根式化成最簡二次 根式，再把其中的同類二次根式進(jìn)行合并 .對(duì)于沒有合并的二次根式，仍要寫到 結(jié)果中.要點(diǎn)詮釋：(1 )在進(jìn)行二次根式的加減運(yùn)算時(shí)，整式加減運(yùn)算中的交換律、結(jié)合律及去括號(hào)、添 括號(hào)法則仍然適用.(2)二次根式加減運(yùn)算的步驟：1) 將每

2、個(gè)二次根式都化簡成為最簡二次根式；2) 判斷哪些二次根式是同類二次根式，把同類的二次根式結(jié)合為一組； 要點(diǎn)二、二次根式的乘法及積的算術(shù)平方根1. 乘法法則： 屆=(a o, b 0),即兩個(gè)二次根式相乘，根指數(shù)不變， 只把被開方數(shù)相乘.要點(diǎn)詮釋：(1) .在運(yùn)用二次根式的乘法法則進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，一定要注意：公式中a、b都必須是非負(fù)數(shù)；(在本章中， 如果沒有特別說明，所有字母都表示非負(fù)數(shù)).(2) .該法則可以推廣到多個(gè)二次根式相乘的運(yùn)算：-阻 兩 込、aj,包乏 0,色 no,比二 )禹込五 風(fēng)二-時(shí)(3).若二次根式相乘的結(jié)果能寫成H的形式，則應(yīng)化簡，如 I .2. 積的算術(shù)平方根：乙 二 T

3、( a o, b 0),即積的算術(shù)平方根等于積中各因式的算術(shù)平方根的積.要點(diǎn)詮釋：(1)在這個(gè)性質(zhì)中，a、b可以是數(shù)，也可以是代數(shù)式，無論是數(shù)，還是代數(shù)式，都 必須滿足a o, b 0,才能用此式進(jìn)行計(jì)算或化簡，如果不滿足這個(gè)條件，等式右邊就沒有意義，等式也就不能成立了；(2)二次根式的化簡關(guān)鍵是將被開方數(shù)分解因數(shù)，把含有形式的a移到根號(hào)外面要點(diǎn)三、二次根式的除法及商的算術(shù)平方根1. 除法法則： 血二 叵(a 0, b0),即兩個(gè)二次根式相除，根指數(shù)不變，把被 開方數(shù)相除.。要點(diǎn)詮釋：(1) 在進(jìn)行二次根式的除法運(yùn)算時(shí)，對(duì)于公式中被開方數(shù)a、b的取值范圍應(yīng)特別注意，a 0, b0，因?yàn)閎在分母

4、上，故b不能為0.(2) 運(yùn)用二次根式的除法法則，可將分母中的根號(hào)去掉，二次根式的運(yùn)算結(jié)果要盡量化簡，最后結(jié)果中分母不能帶根號(hào).2. 商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：叵二也(a 0, b0),即商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除U 4b式的算術(shù)平方根.要點(diǎn)詮釋：運(yùn)用此性質(zhì)也可以進(jìn)行二次根式的化簡，運(yùn)用時(shí)仍要注意符號(hào)問題要點(diǎn)四、二次根式的混合運(yùn)算二次根式的混合運(yùn)算是對(duì)二次根式的乘除及加減運(yùn)算法則的綜合運(yùn)用要點(diǎn)詮釋：(1) 二次根式的混合運(yùn)算順序與實(shí)數(shù)中的運(yùn)算順序一樣，先乘方，后乘除，最后算加減，有括號(hào)要先算括號(hào)里面的；(2) 在實(shí)數(shù)運(yùn)算和整式運(yùn)算中的運(yùn)算律和乘法公式在二次根式的運(yùn)算中仍然適用；(3

5、) 二次根式混合運(yùn)算的結(jié)果要寫成最簡形式.【典型例題】類型一、二次根式的加減運(yùn)算 J +丿3 a 2a【答案與解析】 J +JI =2、2 3遷 (2 3)、25遼、屆a.11 -了1肓丄3Ya 2a32(3 117,a3 26【總結(jié)升華】一定要注意二次根式的加減要做到先化簡，再合并.舉一反三：【變式】計(jì)算：(1)0 (?) 1 5厲| 2罷【答案】(1) (1)1 5 727| 2 731 25 3屈2品 3 3巧5 2巧 73 2類型二、二次根式的乘除法02. X J ,；【總結(jié)升華】直接利用,；-，；計(jì)算即可.舉一反三【變式】各式是否正確，不正確的請(qǐng)予以改正:(1).I I 二-J X

6、；【答案】(2).X ： :- =4XX / :- =4J| =8.(1).不正確.改正：. F m I = / I X 7. =2X 3=6;(2).不正確.【答案與解析】(1)原式=(3)9)(2)原式=31111【答案與解析】十x y,-,；【總結(jié)升華】掌握乘除運(yùn)算的法則，并能靈活運(yùn)用類型三、二次根式的混合運(yùn)算C4.下列各式計(jì)算正確的是()A. 二 +B. 4. 3.二=1C. 2.一；=6 ； D. -； =3【答案】D.【解析】解：A.： - ；，無法計(jì)算，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，B. 4:3. -;=.;，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，C. 2二;X3 ：=6X 3=18,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選D.【總結(jié)升華】此題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式基本運(yùn)算是解 題關(guān)鍵.5、計(jì)算：已知 a 5 26,b 5 2島，則 ab=, a b =【答案】1； 10.【解析】Qa 5+2,6, b 5 2.6, ab 52 (2 . 6)2 1a b 10【總結(jié)升華】數(shù)學(xué)運(yùn)算包含著很多技巧性的東西，技巧運(yùn)用得好計(jì)算就很簡便而且舉一反三：【變式】已知x=1 -二，y=1+待，則x2+y2- xy - 2x - 2y的值為【答案與解析】解： x=1-, y=1+.：,2 2