初中數(shù)學(xué)九年級(jí)（上冊(cè)）《一元二次方程》熱門應(yīng)用題

1、 .wd.一元二次方程的熱門應(yīng)用題一、面積問題例1張大叔從市場(chǎng)上買回一塊矩形鐵皮，他將此矩形鐵皮的四個(gè)角各剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為1米的正方形后，剩下的局部剛好能圍成一個(gè)容積為15米3的無蓋長(zhǎng)方體運(yùn)輸箱，且此長(zhǎng)方體運(yùn)輸箱底面的長(zhǎng)比寬多2米現(xiàn)購(gòu)置這種鐵皮每平方米需20元錢，問張大叔購(gòu)回這張矩形鐵皮共花了多少元錢？解：設(shè)這種運(yùn)輸箱底部寬為x米，那么長(zhǎng)為x+2米依題意，得xx+2×1=15化簡(jiǎn)，得x2+2x-15=0解之，得x1=3，x2=-5不合題意，舍去所以這種運(yùn)輸箱底部長(zhǎng)為5米，寬為3米由長(zhǎng)方體展開圖知，購(gòu)置的矩形鐵皮面積為5+2×3+2=35米2故購(gòu)回這張矩形鐵皮要花35×

2、;20700元錢點(diǎn)評(píng)：此題要深刻理解題意中的條件，弄清各數(shù)據(jù)的相互關(guān)系，布列方程，并正確決定一元二次方程根的取舍問題解決此類問題要善于運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想方法，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題二、數(shù)字問題兩個(gè)數(shù)的和等于6,積等于8,求這兩個(gè)數(shù).三、銷售利潤(rùn)問題例2某種新產(chǎn)品進(jìn)價(jià)是120元，在試銷階段發(fā)現(xiàn)每件售價(jià)元與產(chǎn)品的日銷量件始終存在下表中的數(shù)量關(guān)系：1請(qǐng)你根據(jù)上表所給數(shù)據(jù)表述出每件售價(jià)提高的數(shù)量元與日銷量減少的數(shù)量件之間的關(guān)系2在不改變上述關(guān)系的情況下，請(qǐng)你幫助商場(chǎng)經(jīng)理籌劃每件商品定價(jià)為多少元時(shí)，每日盈利可到達(dá)1 600元？解：1由表格中數(shù)量關(guān)系可知：該產(chǎn)品每件售價(jià)上漲1元，其日銷量就減少1件2設(shè)每件產(chǎn)

3、品漲價(jià)x元，那么銷售價(jià)為130+x元，日銷量為70-x件由題意，得130+x-12070-x=1 600，解得x1=x2=30，130+30=160元答：每件商品定價(jià)為160元時(shí)，每日盈利到達(dá)1 600元點(diǎn)評(píng)：隨著市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的日益繁榮，市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)更是劇烈因此，“銷售問題還將是人們關(guān)注的焦點(diǎn)，還會(huì)被搬上中考試卷這不僅較好地鍛煉了學(xué)生分析問題、解決問題的能力，而且讓同學(xué)們真正體會(huì)到數(shù)學(xué)的珍貴價(jià)值值得說明的是，第2小題還可以用表格中其它兩組數(shù)據(jù)列出方程，結(jié)果一樣，同學(xué)們不妨試一試四、旅游消費(fèi)問題例3南通市據(jù)2005年5月8日?南通日?qǐng)?bào)?報(bào)道：今年“五一黃金周期間，我市實(shí)現(xiàn)旅游收入再創(chuàng)歷史新高，旅游消費(fèi)呈

4、現(xiàn)多樣化，各項(xiàng)消費(fèi)所占比例如以下圖所示，其中住宿消費(fèi)為3 438.24萬元1求我市今年“五一黃金周期間旅游消費(fèi)共多少億元？旅游消費(fèi)中各項(xiàng)消費(fèi)的中位數(shù)是多少萬元？2對(duì)于“五一黃金周期間的旅游消費(fèi)，如果我市2007年要到達(dá)3.42億元的目標(biāo)，那么，2005年到2007年的平均增長(zhǎng)率是多少？解：1由圖知，住宿消費(fèi)為3 438.24萬元，占旅游消費(fèi)的22.62，所以消費(fèi)共3 438.24÷22.6215 200萬元=1.52億元所以交通消費(fèi)為15 200×17.562 669.12萬元所以我市今年“五一黃金周期間旅游消費(fèi)中各項(xiàng)消費(fèi)的中位數(shù)是3 438.242 669.12÷

5、;23 053.68萬元2設(shè)2005年到2007年旅游消費(fèi)的年均增長(zhǎng)率為x，那么1.521+x2=3.42得x1=0.5=50，x2=-2.5舍去所以2005年到2007年旅游消費(fèi)的平均增長(zhǎng)率為50點(diǎn)評(píng)：此題考察通過統(tǒng)計(jì)圖獲取信息的能力及用方程的思想解決實(shí)際問題的能力第2小題求年平均增長(zhǎng)率，因此屬增長(zhǎng)率問題在解答這類題時(shí)應(yīng)該掌握其根本關(guān)系式：結(jié)果量增長(zhǎng)率n×根底量；結(jié)果量1-降低率n×根底量其中n為增長(zhǎng)或降低次數(shù)五、節(jié)約與環(huán)保問題例4宜昌課改實(shí)驗(yàn)區(qū)我國(guó)人均用紙為28公斤，每個(gè)初中畢業(yè)生離校時(shí)大約有10公斤廢紙；用1噸廢紙?jiān)斐鰜淼脑偕眉?，所能?jié)約的造紙木材相當(dāng)于18棵大樹，

6、而平均每畝森林只有50至80棵這樣的大樹1假設(shè)我市2005年初中畢業(yè)生中環(huán)保意識(shí)較強(qiáng)的5萬人，能把自己離校時(shí)的全部廢紙送到回收站使之制造為再生好紙，那么最少可使多少畝森林免遭砍伐？2宜昌市從2001年初開場(chǎng)實(shí)施天然林保護(hù)工程，到2003年初成效顯著，森林面積大約由1 374.094萬畝增加到1 500.545萬畝假設(shè)該地區(qū)年用紙量的15%可以作為廢紙回收利用，并且森林面積年均增長(zhǎng)率保持不變，請(qǐng)你按宜昌市總?cè)丝跒?15萬人計(jì)算：在從2005年初到2006年初這一年度內(nèi)，我市新增加的森林面積與因廢紙回收利用所能保護(hù)的森林面積之和最多可能到達(dá)多少畝準(zhǔn)確到1畝？解：15萬名初中畢業(yè)生廢紙回收使森林免遭

7、砍伐的最少畝數(shù)為5×104×10÷1 000×18÷80=112.5畝2設(shè)2001年到2003年初我市森林面積年均增長(zhǎng)率為x，那么1 374.0941+x2=1 500.45故x1=0.045=4.5%，x2=-2.045舍去所以2005年初到2006年初全年新增森林面積：1500.545×104×1+4.52×4.5737 385畝又全市回收廢紙所能保護(hù)的森林面積最多為415×104×28×5÷1 000×18÷506 275畝新增森林面積和保護(hù)森林面積

8、之和為：737 385+6 275=743 660畝A北東B點(diǎn)評(píng)：此例不僅考察了同學(xué)們解答實(shí)際應(yīng)用問題的能力，還對(duì)同學(xué)們發(fā)揚(yáng)節(jié)約精神、增強(qiáng)環(huán)保意識(shí)起到潛移默化的作用六、航海問題某軍艦以20節(jié)的速度由西向東航行,一艘電子偵察船以30節(jié)的速度由南向北航行,它能偵察出周圍50海里(包括50海里)范圍內(nèi)的目標(biāo).如圖,當(dāng)該軍艦行至A處時(shí),電子偵察船正位于A處的正南方向的B處,瓶AB=90海里.如果軍艦和偵察船仍按原來速度沿原方向繼續(xù)航行,那么航行途中偵察船能否偵察到這艘軍艦 ?如果能,最早何時(shí)能偵察到?如果不能,請(qǐng)說明理由.七、圖表信息應(yīng)用問題單一圖象信息的應(yīng)用問題：例1美化城市，改善人們的居住環(huán)境已成

9、為城市建立的一項(xiàng)重要內(nèi)容，某市城區(qū)近幾年來通過拆舊房，植草、栽樹，修建公園等措施，使城區(qū)綠地面積不斷增加，如圖1，1根據(jù)圖中提供的信息，答復(fù)以下問題：2005年底的綠地面積為公頃；比2004年底增加了公頃；在2003年、2004年、2005年這三年中綠地面各增加最多的一年是。2為了滿足城市開展的需要，方案在2007年底使綠地面積到達(dá)72.6公頃，試求2006年、2007年兩年綠地面積的年平均增長(zhǎng)率。解析：環(huán)境保護(hù)是當(dāng)今社會(huì)的一個(gè)熱點(diǎn)點(diǎn)問題。此題主要考察在閱讀、理解、讀圖的根底上用一元二次方程解決實(shí)際問題的能力。認(rèn)真觀察圖象從中獲取有用的信息是解題的關(guān)鍵。解：160，4，2004；2設(shè)平均增長(zhǎng)率

10、為，由題意得，即。不合題意舍去。答：略。多個(gè)圖象信息的應(yīng)用問題：例2某開發(fā)區(qū)為改善居民的住房條件，第年都新建一批住房，人均住房面積逐年增加人均住房面積=，該開發(fā)區(qū)2003年至2005年，每年年底人口總數(shù)和人均住房面積統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖21，2請(qǐng)根據(jù)上面兩圖所提供的信息解答下面問題：1該區(qū)2004和2005兩年中哪一年比上年增加的住房面積多？多增加了多少？2由于經(jīng)濟(jì)開展的需要，預(yù)計(jì)2007年底，該區(qū)居民將增加2萬人，住房面積要到達(dá)13平方米/人，試求2006和2007這兩年該區(qū)住房總面積的年平均增長(zhǎng)率應(yīng)到達(dá)百分之幾？解析：由于此題是兩個(gè)圖象的組合，所以應(yīng)把兩個(gè)圖形結(jié)合起來獲取獲取信息。解：12005年

11、比2004年增加住房面積20×10-18×9.6=27.2；2004年比2005增加住房面積18×9.6-17×9=19.8；多增加了：27.2-19.8=7.4萬平方米。2設(shè)住房總面積的年平均增長(zhǎng)率應(yīng)到達(dá)x,由題意得：，即，解得：，不合題意舍去。所以2006和2007這兩年該區(qū)住房總面積的年平均增長(zhǎng)率應(yīng)到達(dá)。一元二次方程應(yīng)用新題型一、條件探求型例1要建一個(gè)面積為150m2的長(zhǎng)方形養(yǎng)雞場(chǎng)，為了節(jié)約材料，雞場(chǎng)的一邊靠著原有的一面墻，墻長(zhǎng)為am，另三邊用竹籬笆圍成，如果籬笆的長(zhǎng)為35m1求雞場(chǎng)的長(zhǎng)與寬各是多少？2題中，墻的長(zhǎng)度a對(duì)題目的解起著怎樣的作用？分析

12、：第2小題著眼于作為條件出現(xiàn)的常數(shù)a，探索這一條件對(duì)題目的解有何影響，需根據(jù)第1小題的結(jié)果進(jìn)展研究 解：1設(shè)平行于墻的一邊長(zhǎng)為xm，那么另一邊的長(zhǎng)為，根據(jù)題意，得，解得x1=15，x2=20當(dāng)x=15時(shí)，；當(dāng)x=20時(shí)，答：略2由題意可知：當(dāng)a<15時(shí)，此題無解；當(dāng)15a<20時(shí)，此題只有一個(gè)解；當(dāng)a20時(shí)，此題有兩解二、方案設(shè)計(jì)型例2某中學(xué)有一塊長(zhǎng)為am，寬為bm的矩形場(chǎng)地，方案在該場(chǎng)地上修筑寬都為2米的兩條互相垂直的道路，余下的四塊矩形小場(chǎng)地建成草坪1如圖1，請(qǐng)分別寫出每條道路的面積用含a或含b的代數(shù)式表示；2ab=21，并且四塊草坪的面積之和為312m2，試求原來矩形場(chǎng)地的長(zhǎng)

13、與寬各為多少米？3在2的條件下，為進(jìn)一步美化校園，根據(jù)實(shí)際情況，學(xué)校決定對(duì)整個(gè)矩形場(chǎng)地作如下設(shè)計(jì)要求同時(shí)符合下述兩個(gè)條件：條件：在每塊草坪上各修建一個(gè)面積盡可能大的菱形花圃花圃各邊必須分別與所在草坪的對(duì)角線平行，并且其中有兩個(gè)花圃的面積之差為13m2；條件：整個(gè)矩形場(chǎng)地包括道路、草坪、花圃為軸對(duì)稱圖形請(qǐng)你畫出符合上述設(shè)計(jì)方案的一種草圖不必說明畫法與根據(jù)，并求出每個(gè)菱形花圃的面積解：1這兩條道路的面積分別為2am2與2bm22設(shè)b=xm，那么a=2xm，依題意，得x·2x-2x+4x-4312整理，得x2-3x-154=0，解得x1=14，x2=-11舍去所以b=14，a=2x=28即

14、矩形的長(zhǎng)為28m，寬為14m3符合設(shè)計(jì)方案的一種草圖如圖2所示，其中四個(gè)菱形花圃中，第1個(gè)與第2個(gè)，第3個(gè)與第4個(gè)花圃的面積分別相等設(shè)AEx，那么FB=14-2-x=12-xm，m依題意，得解得x=7m所以大菱形花圃的面積為m2，小菱形花圃的面積為m2注：其他符合設(shè)計(jì)方案的三種花圃見圖3，圖4，圖5，同上法仍可求得大、小花圃的面積分別為45.5m2與32.5m2三、創(chuàng)意自編型例3編一道關(guān)于增長(zhǎng)率的一元二次方程應(yīng)用題，并解答編題要求：1題目完整，題意清楚；2題意與方程的解都要符合實(shí)際；分析：題目只給出大致的編題要求，可視為一種情境，除此以外的內(nèi)容，諸如條件、解法、結(jié)果等均未確定，需要自行設(shè)置，屬

15、于綜合開放題的范疇 因?yàn)槭蔷庮}，我們可以先根據(jù)要求列出方程，為了使應(yīng)用題好編并且便于計(jì)算，盡量使題目中的數(shù)據(jù)和結(jié)果都是整數(shù)，比方預(yù)定方程為：1001+x2=144據(jù)此編一道應(yīng)用題為：某鋼廠7月份產(chǎn)值為100萬元，方案9月份產(chǎn)值可達(dá)144萬元 那么，這兩個(gè)月的產(chǎn)值平均每月的增長(zhǎng)率是多少？一元二次方程解法的綜合應(yīng)用一、與不等式知識(shí)的綜合應(yīng)用例1證明關(guān)于x的方程m2-8m+17x2+2mx+1=0不管m為何值時(shí)，都是一元二次方程分析：方程含二次項(xiàng)系數(shù)，要證明“不管m為何值時(shí)，方程都是一元二次方程，只需證明二次項(xiàng)系數(shù)m2-8m+17的值不等于0證明：因?yàn)槎雾?xiàng)系數(shù)m2-8m+17m2-8m+16+1=

16、m-42+1，又因?yàn)閙-420，所以m-4210，即m2-8m+170所以不管m為何值時(shí)，原方程都是一元二次方程二、與題目中隱含條件的綜合應(yīng)用例2假設(shè)關(guān)于x的一元二次方程m-1x2+3m2x+m+3m-1=0有一個(gè)根是0，那么m的值為-3或13或-1-31分析：由題意知，0是方程的根，故由根的定義知：x=0滿足方程，所以把x=0代入原方程，得m+3m-1=0，故m=-3或m=1，但題設(shè)明確指出是關(guān)于x的一元二次方程，因此隱含了條件m-10，即m1，故正確答案為C三、與三角形三邊關(guān)系定理的綜合應(yīng)用例3請(qǐng)根據(jù)下面的解題過程答復(fù)以下問題一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3cm和7cm，第三邊長(zhǎng)是整數(shù)acm，且a滿足a2-10a+21=0，求三角形的周長(zhǎng)解：由可得4a10，即a為5，6，7，8，9，第一步當(dāng)a=5時(shí)，代入a2-10a+21=52-10×5+210，故a=5不是方程的根，同理可知a=6，a=8，a=9都不是方程的根，a=7是方程的根第二步，所以ABC的周長(zhǎng)為3+7+7=17cm上述過程中，第一步是根據(jù)_，第二步應(yīng)用了_的數(shù)學(xué)思想，確定a的大小是根據(jù)_答案：依次為：三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊；分類討論；方程根的定義說明：上述解題過程中