二次微分方程的通解---物理競賽有用

1、 二階常系數(shù)齊次線性微分方程 一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程 二階常系數(shù)齊次線性微分方程: 方程 y¢¢+py¢+qy=0稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程, 其中p、q均為常數(shù). 如果y1、y2是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個(gè)線性無關(guān)解, 那么y=C1y1+C2y2就是它的通解. 我們看看, 能否適當(dāng)選取r, 使y=erx 滿足二階常系數(shù)齊次線性微分方程, 為此將y=erx代入方程 y¢¢+py¢+qy=0得 (r 2+pr+q)erx =0. 由此可見, 只要r滿足代數(shù)方程r2+pr+q=0, 函數(shù)y=erx就是微分方程的解. 特征

2、方程: 方程r2+pr+q=0叫做微分方程y¢¢+py¢+qy=0的特征方程. 特征方程的兩個(gè)根r1、r2可用公式 求出. 特征方程的根與通解的關(guān)系: (1)特征方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根r1、r2時(shí), 函數(shù)、是方程的兩個(gè)線性無關(guān)的解. 這是因?yàn)? 函數(shù)、是方程的解, 又不是常數(shù). 因此方程的通解為 . (2)特征方程有兩個(gè)相等的實(shí)根r1=r2時(shí), 函數(shù)、是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個(gè)線性無關(guān)的解. 這是因?yàn)? 是方程的解, 又 , 所以也是方程的解, 且不是常數(shù). 因此方程的通解為 . (3)特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根r1, 2=a±ib時(shí), 函數(shù)y=e(

3、a+ib)x、y=e(a-ib)x是微分方程的兩個(gè)線性無關(guān)的復(fù)數(shù)形式的解. 函數(shù)y=eaxcosbx、y=eaxsinbx是微分方程的兩個(gè)線性無關(guān)的實(shí)數(shù)形式的解. 函數(shù)y1=e(a+ib)x和y2=e(a-ib)x都是方程的解, 而由歐拉公式, 得 y1=e(a+ib)x=eax(cosbx+isinbx), y2=e(a-ib)x=eax(cosbx-isinbx), y1+y2=2eaxcosbx, , y1-y2=2ieaxsinbx, . 故eaxcosbx、y2=eaxsinbx也是方程解. 可以驗(yàn)證, y1=eaxcosbx、y2=eaxsinbx是方程的線性無關(guān)解. 因此方程的通

4、解為 y=eax(C1cosbx+C2sinbx ). 求二階常系數(shù)齊次線性微分方程y¢¢+py¢+qy=0的通解的步驟為: 第一步 寫出微分方程的特征方程 r2+pr+q=0第二步 求出特征方程的兩個(gè)根r1、r2. 第三步 根據(jù)特征方程的兩個(gè)根的不同情況, 寫出微分方程的通解. 例1 求微分方程y¢¢-2y¢-3y=0的通解. 解 所給微分方程的特征方程為 r2-2r-3=0, 即(r+1)(r-3)=0. 其根r1=-1, r2=3是兩個(gè)不相等的實(shí)根, 因此所求通解為 y=C1e-x+C2e3x. 例2 求方程y¢

5、62;+2y¢+y=0滿足初始條件y|x=0=4、y¢| x=0=-2的特解. 解 所給方程的特征方程為 r2+2r+1=0, 即(r+1)2=0. 其根r1=r2=-1是兩個(gè)相等的實(shí)根, 因此所給微分方程的通解為 y=(C1+C2x)e-x. 將條件y|x=0=4代入通解, 得C1=4, 從而 y=(4+C2x)e-x. 將上式對(duì)x求導(dǎo), 得 y¢=(C2-4-C2x)e-x. 再把條件y¢|x=0=-2代入上式, 得C2=2. 于是所求特解為 x=(4+2x)e-x. 例 3 求微分方程y¢¢-2y¢+5y= 0的通解.

6、 解 所給方程的特征方程為 r2-2r+5=0. 特征方程的根為r1=1+2i, r2=1-2i, 是一對(duì)共軛復(fù)根, 因此所求通解為 y=ex(C1cos2x+C2sin2x). n 階常系數(shù)齊次線性微分方程: 方程 y(n) +p1y(n-1)+p2 y(n-2) + × × × + pn-1y¢+pny=0, 稱為n 階常系數(shù)齊次線性微分方程, 其中 p1, p2 , × × × , pn-1, pn都是常數(shù). 二階常系數(shù)齊次線性微分方程所用的方法以及方程的通解形式, 可推廣到n 階常系數(shù)齊次線性微分方程上去. 引入微分

7、算子D, 及微分算子的n次多項(xiàng)式: L(D)=Dn +p1Dn-1+p2 Dn-2 + × × × + pn-1D+pn,則n階常系數(shù)齊次線性微分方程可記作 (Dn +p1Dn-1+p2 Dn-2 + × × × + pn-1D+pn)y=0或L(D)y=0.注: D叫做微分算子D0y=y, Dy=y¢, D2y=y¢¢, D3y=y¢¢¢, × × ×,Dny=y(n). 分析: 令y=erx, 則 L(D)y=L(D)erx=(rn +p1r

8、n-1+p2 rn-2 + × × × + pn-1r+pn)erx=L(r)erx. 因此如果r是多項(xiàng)式L(r)的根, 則y=erx是微分方程L(D)y=0的解. n 階常系數(shù)齊次線性微分方程的特征方程: L(r)=rn +p1rn-1+p2 rn-2 + × × × + pn-1r+pn=0稱為微分方程L(D)y=0的特征方程. 特征方程的根與通解中項(xiàng)的對(duì)應(yīng): 單實(shí)根r 對(duì)應(yīng)于一項(xiàng): Cerx ; 一對(duì)單復(fù)根r1, 2=a ±ib 對(duì)應(yīng)于兩項(xiàng): eax(C1cosbx+C2sinbx); k重實(shí)根r對(duì)應(yīng)于k項(xiàng): erx(

9、C1+C2x+ × × × +Ck xk-1); 一對(duì)k 重復(fù)根r1, 2=a ±ib 對(duì)應(yīng)于2k項(xiàng): eax(C1+C2x+ × × × +Ck xk-1)cosbx+( D1+D2x+ × × × +Dk xk-1)sinbx. 例4 求方程y(4)-2y¢¢¢+5y¢¢=0 的通解. 解 這里的特征方程為 r4-2r3+5r2=0, 即r2(r2-2r+5)=0, 它的根是r1=r2=0和r3, 4=1±2i. 因此所給微分方程的

10、通解為 y=C1+C2x+ex(C3cos2x+C4sin2x). 例5 求方程y(4)+b 4y=0的通解, 其中b>0. 解 這里的特征方程為 r4+b 4=0. 它的根為, . 因此所給微分方程的通解為 . 二、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程簡介 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程: 方程 y¢¢+py¢+qy=f(x)稱為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程, 其中p、q是常數(shù). 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的通解是對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解y=Y(x)與非齊次方程本身的一個(gè)特解y=y*(x)之和: y=Y(x)+ y*(x). 當(dāng)f(x)為兩種特殊形式時(shí), 方程的特解的

11、求法: 一、 f(x)=Pm(x)elx 型 當(dāng)f(x)=Pm(x)elx時(shí), 可以猜想, 方程的特解也應(yīng)具有這種形式. 因此, 設(shè)特解形式為y*=Q(x)elx, 將其代入方程, 得等式 Q¢¢(x)+(2l+p)Q¢(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x). (1)如果l不是特征方程r2+pr+q=0 的根, 則l2+pl+q¹0. 要使上式成立, Q(x)應(yīng)設(shè)為m 次多項(xiàng)式: Qm(x)=b0xm+b1xm-1+ × × × +bm-1x+bm , 通過比較等式兩邊同次項(xiàng)系數(shù), 可確定b0, b1, ×

12、 × × , bm, 并得所求特解 y*=Qm(x)elx. (2)如果l是特征方程 r2+pr+q=0 的單根, 則l2+pl+q=0, 但2l+p¹0, 要使等式 Q¢¢(x)+(2l+p)Q¢(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x). 成立, Q(x)應(yīng)設(shè)為m+1 次多項(xiàng)式: Q(x)=xQm(x), Qm(x)=b0xm +b1xm-1+ × × × +bm-1x+bm , 通過比較等式兩邊同次項(xiàng)系數(shù), 可確定b0, b1, × × × , bm, 并得所求特解

13、 y*=xQm(x)elx. (3)如果l是特征方程 r2+pr+q=0的二重根, 則l2+pl+q=0, 2l+p=0, 要使等式 Q¢¢(x)+(2l+p)Q¢(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x). 成立, Q(x)應(yīng)設(shè)為m+2次多項(xiàng)式: Q(x)=x2Qm(x), Qm(x)=b0xm+b1xm-1+ × × × +bm-1x+bm , 通過比較等式兩邊同次項(xiàng)系數(shù), 可確定b0, b1, × × × , bm , 并得所求特解 y*=x2Qm(x)elx. 綜上所述, 我們有如下結(jié)論: 如

14、果f(x)=Pm(x)elx, 則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y¢¢+py¢+qy =f(x)有形如 y*=xk Qm(x)elx的特解, 其中Qm(x)是與Pm(x)同次的多項(xiàng)式, 而k 按l不是特征方程的根、是特征方程的單根或是特征方程的的重根依次取為0、1或2. 例1 求微分方程y¢¢-2y¢-3y=3x+1的一個(gè)特解. 解 這是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程, 且函數(shù)f(x)是Pm(x)elx型(其中Pm(x)=3x+1, l=0). 與所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為 y¢¢-2y¢-3y=0, 它的特征

15、方程為 r2-2r-3=0. 由于這里l=0不是特征方程的根, 所以應(yīng)設(shè)特解為 y*=b0x+b1. 把它代入所給方程, 得 -3b0x-2b0-3b1=3x+1, 比較兩端x同次冪的系數(shù), 得 , -3b0=3, -2b0-3b1=1. 由此求得b0=-1, . 于是求得所給方程的一個(gè)特解為 . 例2 求微分方程y¢¢-5y¢+6y=xe2x的通解. 解 所給方程是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程, 且f(x)是Pm(x)elx型(其中Pm(x)=x, l=2). 與所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為 y¢¢-5y¢+6y=0, 它的特征方程為

16、r2-5r +6=0. 特征方程有兩個(gè)實(shí)根r1=2, r2=3. 于是所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為 Y=C1e2x+C2e3x . 由于l=2是特征方程的單根, 所以應(yīng)設(shè)方程的特解為 y*=x(b0x+b1)e2x. 把它代入所給方程, 得 -2b0x+2b0-b1=x. 比較兩端x同次冪的系數(shù), 得 , -2b0=1, 2b0-b1=0. 由此求得, b1=-1. 于是求得所給方程的一個(gè)特解為 . 從而所給方程的通解為 . 提示:y*=x(b0x+b1)e2x=(b0x2+b1x)e2x, (b0x2+b1x)e2x¢=(2b0x+b1)+(b0x2+b1x)×2e2x

17、, (b0x2+b1x)e2x¢¢=2b0+2(2b0x+b1)×2+(b0x2+b1x)×22e2x. y*¢¢-5y*¢+6y*=(b0x2+b1x)e2x¢¢-5(b0x2+b1x)e2x¢+6(b0x2+b1x)e2x=2b0+2(2b0x+b1)×2+(b0x2+b1x)×22e2x-5(2b0x+b1)+(b0x2+b1x)×2e2x+6(b0x2+b1x)e2x=2b0+4(2b0x+b1)-5(2b0x+b1)e2x=-2b0x+2b0-b1e2x.

18、 方程y¢¢+py¢+qy=elxPl (x)coswx+Pn(x)sinwx的特解形式 應(yīng)用歐拉公式可得 elxPl(x)coswx+Pn(x)sinwx , 其中, . 而m=maxl, n. 設(shè)方程y¢¢+py¢+qy=P(x)e(l+iw)x的特解為y1*=xkQm(x)e(l+iw)x, 則必是方程的特解, 其中k按l±iw不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1. 于是方程y¢¢+py¢+qy=elxPl(x)coswx+Pn(x)sinwx的特解為 =xk elxR(1)m(x)coswx+R(2)m(x)sinwx. 綜上所述, 我們有如下結(jié)論: 如果f(x)=elx Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx, 則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 y¢¢+py¢+qy=f(x)的特解可設(shè)為 y*=xk elxR(1)m(x)coswx+R(2)m(x)sinwx, 其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多項(xiàng)式, m=maxl, n, 而k 按l+iw (或l-iw)不是特征方程的根或是特征方程的單根依