第一章--基本概念

1、第一章基本概念§ 1 微分方程及其解的定義一. 內(nèi)容簡(jiǎn)介本節(jié)結(jié)合常微分方程的實(shí)例，講解與常微分方程有關(guān)的一些基本概念和術(shù)語二. 關(guān)鍵詞常微分方程，微分方程的通解，初始條件，特解三目的與要求1 正確理解微分方程、常微分方程及其階、線性微分方程與非線性微分方程、解、通解、初始條件、 初始值問題和特解等基本概念 2 了解常微分方程與生產(chǎn)實(shí)際和科學(xué)技術(shù)的緊密聯(lián)系，了解常微分方程討論的基本問題四教學(xué)過程§ 1 微分方程及其解的定義一.何謂微分方程這是首先要解決的一個(gè)問題，為此我們先從代數(shù)方程說起在代數(shù)中我們研究過求解高次代數(shù)方程xna/a。0.有：，乘方,代數(shù)方程一一含有一個(gè)變?cè)年P(guān)

2、系式，即由已知數(shù)a0,a1, ,an 1,an與未知數(shù)x組成的等式，運(yùn)算，它的解是數(shù)由代數(shù)基本定理知道，它的解只有有限個(gè)在數(shù)學(xué)分析中也研究過由隱式F(x,y) 0確定的隱函數(shù) y (x)的問題函數(shù)方程一一至少含有兩個(gè)變?cè)年P(guān)系式，即由自變量x和函數(shù)y組成的等式運(yùn)算有，函數(shù)運(yùn)算，它的解是函數(shù)由隱函數(shù)存在唯一性定理知,解為有限定義1所謂微分方程,就是一個(gè)或幾個(gè)包含自變量、未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些微商的方程式例如，dx2t ,(1.1)dtdy0 ,(1.2)dy1yx3(x 0),(1.3)dxxdy12y，(1.4)dxIIy1yyx ,(1.5)x ax0,(1.6)u xyuu ,(1.7

3、)xy以上這些都是微分方程只含一個(gè)自變量的微分方程稱為常微分方程，自變量多于一個(gè)的微分方程稱為偏微分方程例如，上叫做方例(1,1) (1,6)都是常微分方程，(1.7)是偏微分方程方程中所含未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，程的階例如，(1.1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,7)是一階方程,(1,5)和(1.6)是二階方程一般n階常微分方程具有形式F(x,y,y', ,y(n)0(1.8)或者是顯式(n)'(n 1)、y f (x, y, y , y )(1.9)由代數(shù)方程引出微分方程，問題是出現(xiàn)了什么新東西？二.微分方程的有關(guān)概念1 微分方程的線性與非

4、線性i) 線性微分方程如果(1.8)式的左端關(guān)于未知函數(shù)和它的各階導(dǎo)數(shù)都是一次的有理整式，則稱(1.8)為n階線性常微分方程ii) 非線性微分方程不是線性微分方程的，稱為非線性微分方程n階線性常微分方程的一般形式是ao(x)y(n) a1(x)y(n1)an(x)y g(x) ,(1.10)其中a0 (x), a1 (x), an (x), g(x)都是已知的實(shí)值連續(xù)函數(shù).在上例中，(1.1) , (1.2) , (1.3) , (1.6) , (1.7)是線性的，(1.4) , (1.5)是非線性的.2微分方程的解微分方程的解是一個(gè)函數(shù)，函數(shù)就有定義域，設(shè)為區(qū)間I 定義2設(shè)函數(shù)y (x)在區(qū)

5、間I上連續(xù)，且有直到 n階導(dǎo)數(shù) 若用(x), '(x),(n)(x)分別代替方程(1.8)中的y,y', y(n)后，使(1.8)在I內(nèi)為關(guān)于x的恒等式，即F x, (x), '(x), (n)(x)0 ,則稱函數(shù)y (x)為方程(1.8)在區(qū)間I上的一個(gè)解.以后我們討論的函數(shù)都是實(shí)的單值函數(shù)，解y (x)的直到n階的導(dǎo)數(shù)不僅存在而且連續(xù) 為了方便，當(dāng)函數(shù)(x)在區(qū)間I內(nèi)具有直到n階連續(xù)微商時(shí)，常簡(jiǎn)記為 (x) Cn(I)，或者(x) Cn. C 表示(x)在區(qū)間|內(nèi)連續(xù).例1求微分方程 業(yè) f(x)的解，其中f (x) C.dx解 在數(shù)學(xué)分析中就是求函數(shù)f(x)的原函

6、數(shù)y(x)，故只需要在上式兩端關(guān)于自變量x積分，便得到y(tǒng)(x) f (x)dx C這里C是任意常數(shù)，顯然不論 C取任何值，上式都是方程的解從這里可以看出：一個(gè)常微分方程可以有無窮多個(gè)解給C一個(gè)確定的值，就得到方程的一個(gè)解3.通解和特解因?yàn)榉匠蘢yf(x)的任一確定的解，必有(1.11)的形式(但其中的 C取特定的值)，故(1.11)稱為dx此方程的通解，當(dāng) C取確定數(shù)值時(shí)所得到的解稱為此方程的一個(gè)特解一般地，我們有：定義3設(shè)n階微分方程(1.8)的解y(x,C|,C2，,cn)包含n個(gè)獨(dú)立的常數(shù)c1, c2,cn，則稱它為n階微分方程(1.8)的通解；若(1.8)的解y(x)不包含任意常數(shù)，則

7、稱它為特解從通解的定義可以看出，通解包含了方程的無窮多個(gè)解，它是解的一般表達(dá)式，但有例子可以說明, 通解不一定是方程的全部解 .這里稱n個(gè)任意常數(shù)C1, C2 ,cn是獨(dú)立的，其含意是(n 1關(guān)于C1,C2,Cn的雅可比(Tacobi)行列式C1C2CnD ,D C1 ,C2,(n 1)C1C2Cn0.(n 1)(n 1)(n 1)C1C2cn顯然，當(dāng)任意常數(shù)一旦確定以后，通解就變成了特解如例2 中，當(dāng) x Xo 時(shí)，y(x)x Xoyo 這里取C y，則有特解y(x)xof (t)dt .我們把 y(x) x x0y0稱為附加條件可見確定一個(gè)特定的解一般是要附加條件的.4.初值條件、初值問題

8、例3在只有重力的作用下，求落體在鉛直方向的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.設(shè)落體的運(yùn)動(dòng)只在重力作用下進(jìn)行，不考慮空氣阻力等其他外力的作用，此時(shí)落體作垂直于地面的 自由落體運(yùn)動(dòng)如圖1.1.取坐標(biāo)軸y從地面垂直向上，問題是：落體B的位置坐標(biāo)yy(t)如何隨時(shí)間t變化?在運(yùn)動(dòng)過程中，落體只受重力F的作用，設(shè)落體的質(zhì)量是 m ,則F mg ,其中g(shù)是重力加速度,這里出現(xiàn)負(fù)號(hào)是因?yàn)橹亓Φ姆较蚴窍蛳碌?，與y軸的正方向相反.因?yàn)閥 y(t)表示B的位置坐標(biāo)，所以它對(duì)t的一階導(dǎo)數(shù)yy (t)表示B的瞬時(shí)速度v v(t)；而二階導(dǎo) 數(shù)y''y"(t)則表 示B的瞬時(shí)加 速度a a(t).由牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律，

9、有 F ma，故得my (t) mg ,這樣可得一個(gè)微分方程為了得出落體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，需要求解這個(gè)微分方程在(1.12)兩側(cè)對(duì)t積分一次，得(1.13)y'(t) gt Ci其中G是一個(gè)任意常數(shù)，再把(1.13)對(duì)t積分一次，就得1 2y(t) -gt c,C2( 1.14)2其中C2是另一個(gè)任意常數(shù)可知(1.14)是微分方程(1.12)的通解.通解(1.14)就表示自由落體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，在(1.14)中含有兩個(gè)任意常數(shù)這說明微分方程(1.12)有無窮多個(gè)解.為了要得到特定的物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律，還必須考慮當(dāng)運(yùn)動(dòng)開始時(shí)落體是在什么地方，且以什么樣的速度 運(yùn)動(dòng)的，即下面的初值條件：(1.15)C2

10、y0， C1 V0 .y(0) yo，y'(0) v將條件(1.15)分別代入(1.13)和(1.14)，可得這樣，在初值條件(1.15 )下，從微分方程(1.12)唯一地確定了一個(gè)解1 2y(t) - gtvotyo( 1.16)2它就描述了具有初始高度yo和初始速度Vo的自由落體運(yùn)動(dòng).稱(1.16)是初值問題(1.17)y gIy(o) y°,y(o) Vo的解，初值問題又叫柯西問題.由以上簡(jiǎn)單實(shí)例可以看出：1.微分方程的求解，與一定的積分運(yùn)算相聯(lián)系，因此也常把求解微分方程的過程稱為積分一個(gè)微 分方程，而把微分方程的解稱為這個(gè)微分方程的一個(gè)積分.由于每進(jìn)行一次不定積分運(yùn)算

11、，會(huì)產(chǎn)生一個(gè)任意常數(shù)，因此僅從微分方程本身求求解(不考慮定解條件)，則n階微分方程的解應(yīng)該包含 n個(gè)任意常數(shù)2 微分方程所描述的是物體運(yùn)動(dòng)變化的瞬時(shí)規(guī)律，求解微分方程，就是從這種瞬時(shí)規(guī)律出發(fā)，去獲得運(yùn)動(dòng)的全過程.為此，需要給定這一運(yùn)動(dòng)的一個(gè)初始狀態(tài)(即初始條件)，并以此為基點(diǎn)去推斷這一運(yùn)動(dòng)的未來，同時(shí)也可以追朔它的過去.3 一般對(duì)n階微分方程(1.8)的初值問題的提法是：/、' /、'(n 1) /、(n 1),、y(xo) y°,y(xo)y°, ,y(x°) yo(1.18)于是n階微分方程的初值問題可以提成如下形式：F(x,y,y',

12、 ,y(n) o()'()'(n 1) () (n 1)( 1.19)y(xo) yo,y (xo) yo, ,y(xo) yo求初值問題的辦法一般是，先由方程解出通解，再利用初值條件定出通解中的任意常數(shù)，從而得出 要求的特解.微分方程是數(shù)學(xué)理論聯(lián)系實(shí)際問題的重要渠道.大家知道，微積分是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，用微積分解決實(shí)際問題的重要途徑就是使用微分方程.在二十世紀(jì)以前，微分方程問題主要來源于幾何學(xué)、力學(xué)和物理學(xué)，而現(xiàn)在則幾乎在自然科學(xué)和工程技術(shù)的每一個(gè)部門都有或多或少的微分方程問題，甚至在生物、農(nóng)業(yè)以至經(jīng)濟(jì)學(xué)等方面也獲得了越來越多的應(yīng)用為了解決這些問題，就有必要建立微分方程

13、本身的基礎(chǔ)理論，而這又需要用到數(shù)學(xué)其它分支學(xué)科的知識(shí)，并往往推動(dòng)這些分支學(xué)科的發(fā)展，反過來，這些 學(xué)科的發(fā)展也常常通過微分方程進(jìn)一步更好地解決生產(chǎn)實(shí)際和工程技術(shù)中的問題本課程的任務(wù)就是要介紹常微分方程理論中的一些最主要的問題，以及求解常微分方程的一些最基 本方法至于偏微分方程，我們只在第十一章涉及到一點(diǎn)，不去專門研究它關(guān)于本課程所要研究的幾個(gè)主要問題首先，自然是求通解的各種方法，即所謂初等積分法，這是第二章的主要內(nèi)容其次是：對(duì)于一般的微分方程，研究它的解是否存在和唯一，以及解對(duì)初值或參數(shù)的依 賴關(guān)系這是第三章和第五章§ 3、§ 4的內(nèi)容再次，對(duì)于在實(shí)用上經(jīng)常遇到而在理論上發(fā)

14、展得比較完善的 線性微分方程組和高階線性微分方程的理論和求解方法，這是第五章§1、§ 2和第六章的內(nèi)容最后在第八章中介紹用定性方法研究非線性方程的最基本的知識(shí)，關(guān)于這方面的知識(shí)近幾十年來有很大的發(fā)展， 同學(xué)們應(yīng)該對(duì)它有所了解最后我們指出：一個(gè) n階微分方程的通解應(yīng)該包含n個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)；反之，對(duì)于一個(gè)包含n個(gè)獨(dú)立的參數(shù)Ci,C2, , Cn的n次可微的函數(shù)族，存在一個(gè)形如(1.8)的n階微分方程，使得該函數(shù)族恰好是 它的通解.例4求雙參數(shù)函數(shù)族y Ci ex cos x C2exsi nx(1.20)所滿足的微分方程.解 依題意，要找雙參數(shù)函數(shù)族所滿足的微分方程(更確切地

15、說，即使要找由(1.20)式所確定的隱可以將(1.20)式對(duì)x求導(dǎo)函數(shù) y(x, C1, C2)所滿足的，以x為自變量，并且不包含 C1 ,C2的微分方程)兩次，得yC1ex(cosx sin x) C2ex(sin xcosx)，(1.21)IIyGex( 2sin x) C2ex(2cosx)，(1.22)從以上兩式可知雅可比(Tacobi)行列式d y,y'xe cosxx e sinx2x小e0,D C1, C2ex (cosx sinx) ex(sinx cosx)這說明(1.20)中包含的兩個(gè)任意常數(shù) C1,C2是獨(dú)立的.從上面(1.20)和(1.21)兩個(gè)式子中解出X&#

16、39;C1e y(si nxcosx)ysi n x,x'C2ey(sinxcosx)ycosx.然后把它們代入(1.22)式，得到一個(gè)二階微分方程這就是函數(shù)族(1.20)所滿足的微分方程習(xí)題111 指出下列微分方程的階數(shù)，并說明哪些方程是線性的:(1)(3)(4)(5)答案:(x2dydx.3d y73-d x2y2)dx (3x2 4y2)dy2yy xsiny 0 ;e 辱 x2y d2xcosx.(1)二階線性方程;(2)一階非線性方程;(3) 階非線性方程;二階非線性方程;(5)三階線性方程;2 驗(yàn)證下列函數(shù)是右側(cè)相應(yīng)微分方程的解或通解:(1) yCOSX ;sinx,xy

17、y x，故sin x , ，口 e 對(duì)x求導(dǎo)得x cosx sin x2xxyxcosx sin x2xsin xcosx ,xsin x所以y是方程xxycosx的解.a4(2) y 0,C1)2xC1,C1x C2 ,y' y;2(x C2)C2x Ci 時(shí)，y(x Ci)2(x Ci)2 lx Ci4|2 |0 ,所以；yx Ci2x Ci2故y'心|y，即y(x Ci)2x Ci)是方程y . y的解.同理可證：y2(x C2)(C2)是方程y 一寸y的解.顯然，當(dāng)C1x C2 時(shí),0是方程y'. y的解.2(x Ci)4所以y 0,xCiCixC2是方程y&#

18、39;. y的解.2(x C2)C23 .求下列初值問題的解:(i)翌 f(x)，y(0) dx(這里f (x)是一個(gè)已知的連續(xù)函數(shù))；解方程兩邊從0到x積分，得xy(x) o f(t)dt c .由初始條件y(0)0 ,可得C0，故初值問題的解為 ydR(2)aR，R(0) i，dt(這里a 0是一個(gè)常數(shù))解顯然R 0是方程的解，但R 0不滿足初始條件R(0)1，故當(dāng)R 0時(shí)，將方程改寫為dRdR adt，方程兩邊從0到t積分得In Rat I nC， 即 R Ce at4.求出：(1)曲線族y Ciex C2xex所滿足的微分方程;解 將y Ciex C2xex對(duì)x先后求導(dǎo)兩次，得'xxy (C1 C2)eC2xe ，''y(C1 2C2)eCzxe，從以上兩式可知雅可比(Tacobi)行列式'xxD y,y e xe 尹 ° DGGex ex(1 x)這說明y C1ex C2xex中包含的兩個(gè)任意常數(shù) G,C2是