必修四三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)講義

1、1.41.5 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)一、正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)1、利用描點(diǎn)法作函數(shù)圖象 (列表、描點(diǎn)、連線)自變量函數(shù)值注意：（1）由于sin(2k)sin，因此作正弦函數(shù)圖象時(shí)，我們經(jīng)常采用“五點(diǎn)法”：(0，0)，(，1)，(，0)，(，1)，(2，0)；再通過(guò)向左、右平移(每次2個(gè)單位)，即可得正弦函數(shù)圖象；（2）正弦函數(shù)自變量一般采用弧度制。二、余弦函數(shù)的圖象1、余弦函數(shù)的圖象：ycosxsin(x)可將正弦函數(shù)ysinx向左平移個(gè)單位得到。2、“五點(diǎn)作圖法”： (0，1)，(，0)， (，1)，(，0)， (2，1)三、正、余弦函數(shù)的性質(zhì)f(x)sinx h(x)cosxf(x)sinxh

2、(x)cosx定義域RR值域1，1當(dāng)x2k時(shí)，f(x)max1當(dāng)x2k時(shí)，f(x)min11，1當(dāng)x2k時(shí)，f(x)max1當(dāng)x2k時(shí)，f(x)min1單調(diào)區(qū)間2 k，2 k 單增2 k，2 k 單減2 k，2 k 單減2 k，2 k2 單增對(duì)稱軸xkxk對(duì)稱中心(k，0)(k，0)周期性sin(2 k)sin cos(2 k)cos 最小正周期為2奇偶性sin()sin 奇函數(shù)cos()cos例1：求下列函數(shù)的定義域。（1）f(x) （2）f(x)變式練習(xí)1：求下列函數(shù)的定義域（1）f(x)lg(sinx) （2）f(x) （3）f(x)變式練習(xí)2：已知cos x，且x0，2，則角x等于()

3、A：或B：或 C： 或D：或【解析】A變式練習(xí)3：當(dāng)x時(shí)0，2，滿足sin(x)的x的取值范圍是()A： 0，B： ，2 C：0，2 D：，【解析】C例2：下列函數(shù)圖象相同的是()A：ysin x與ysin(x) B：ycos x與ysin(x)C：ysin x與ysin(x) D：ysin(2x)與ysin x【解析】B變式練習(xí)1：y1sin x，x0，2的圖象與直線y2交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()A：0B：1C：2D：3解析 B變式練習(xí)2：函數(shù)ysin(x)，x0，2 的簡(jiǎn)圖是()【解析】B變式練習(xí)3：.函數(shù)y2sin x與函數(shù)yx圖象的交點(diǎn)_個(gè)?！窘馕觥吭谕蛔鴺?biāo)系中作出函數(shù)y2sin x與yx的圖

4、象可見(jiàn)有3個(gè)交點(diǎn)。3個(gè)變式練習(xí)4：.若函數(shù)y2cos x(0x2)的圖象和直線y2圍成一個(gè)封閉的平面圖形，則這個(gè)封閉圖形的面積為_(kāi)。【解析】：圖形S1與S2，S3與S4是兩個(gè)對(duì)稱圖形，有S1S2，S3S4，因此函數(shù)y2cos x的圖象與直線y2所圍成的圖形面積可以轉(zhuǎn)化為求矩形OABC的面積。因?yàn)閨OA|2，|OC|2，所以S矩形OABC224.故所求封閉圖形的面積為4.四、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)【三點(diǎn)兩線】定義域：xk kZ 值域：R周期性：最小正周期T 單調(diào)遞增區(qū)間：(k，k)奇偶性：tan(x)tanx 奇函數(shù) 對(duì)稱中心：(，0)例3：求函數(shù)f(x)tan(2x)的定義域，最小正周期、單調(diào)區(qū)

5、間以及對(duì)稱中心。例4：若直線過(guò)點(diǎn)M(2，2)且與以點(diǎn)P(2，3)、Q(1，0)為端點(diǎn)的線段恒相交，則直線的斜率的范圍是_?！窘馕觥浚簁2變式練習(xí)：若直線過(guò)點(diǎn)M(0，2)且與以點(diǎn)P(2，3)、Q(1，0)為端點(diǎn)的線段恒相交，則直線的斜率的范圍是_?！窘馕觥浚簁2，k五、函數(shù)ysin(x)的圖象與性質(zhì)（一）由ysinx的圖象通過(guò)變換法作yAsin(x)的圖象1、先平移后伸縮：ysinx ysin(x)ysin(x)yAsin(x)2、先伸縮后平移：ysinx ysinx ysin(x)yAsin(x)例5：把函數(shù)ysin(2x)的圖象向右平移個(gè)單位，再把所得圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，則所得圖

6、象的函數(shù)解析式為（ ）A：ysin(4x) B：ysin(4x) C：ysin4x D：ysin2x 【解析】：D變式練習(xí)1：將函數(shù)ysin(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，所得圖象的函數(shù)解析式是()A：ycos2xB：ysin(2x) C：ysin(x)D：ysin(x)【解析】：選D變式練習(xí)2：已知函數(shù)f(x)sin(x)（0）的最小正周期為，則函數(shù)f(x)的圖象可以由函數(shù)ysin2x的圖象()A：向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B：向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C：向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D：向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度【解析】選A變式練習(xí)3：要得到函數(shù)y2cos(2x)的圖象，只要將函數(shù)y2cos

7、2x的圖象()A：向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度 B：向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度C：向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度 D：向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度【解析】選D變式練習(xí)4：要得到函數(shù)ysin(2x)的圖象，只需將函數(shù)ycos(2x)的圖象()A：向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B：向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D：向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度【解析】選C.由于ycos(2x)cos2xsinsin2，ysinsin2sin2.故只需將函數(shù)ycos(2x)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)ysin的圖象.五、有關(guān)函數(shù)yAsin(x)的性質(zhì)1、定義域?yàn)镽 2、值域?yàn)锳，A 3、最小正周期T 4、當(dāng)k時(shí)，函數(shù)yAsin(x)為奇函數(shù)；當(dāng)

8、k函數(shù)是偶函數(shù)。5、對(duì)于函數(shù)yAsin(x)(A0，0)的單調(diào)區(qū)間，把x看成整體2kx2k，解出x的范圍為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間2kx2k，解出x的范圍為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間6、函數(shù)yAsin(x)的對(duì)稱軸xk，解出x求得；對(duì)稱中心xk，解出x求得。例6：指出函數(shù)y3sin(2x) 的定義域、值域、最小正周期、單調(diào)區(qū)間、對(duì)稱軸以及對(duì)稱中心。變式練習(xí)1：函數(shù)f(x)3sin(x)在下列區(qū)間內(nèi)遞減的是()A：， B：0，C：， D：，【解析】:令2kx2k，kZ可得2kx2k，kZ，函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間為，kZ.從而可判斷， 答案:D變式練習(xí)2：設(shè)函數(shù)f(x)sin(2x)，xR，則f(x)是()A：

9、最小正周期為的奇函數(shù) B：最小正周期為的偶函數(shù)C：最小正周期為的奇函數(shù) D：最小正周期為的偶函數(shù)【解析】:因?yàn)閒(x)sin-cos 2x，所以f(-x)-cos 2(-x)-cos 2xf(x)，所以f(x)是最小正周期為的偶函數(shù).答案:B例7：若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，那么的最小值為（ ）A： B： C： D：【解析】：B例8：函數(shù)f(x)Asin(x) （A0， 0，）的部分圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的解析式為（）A：f(x)2sin(x)B：f(x)2sin(2x)C：f(x)2sin(x)D：f(x)2sin(2x)【解析】：B變式練習(xí)1：已知cos，且(，)，函數(shù)f(x)sin(

10、x)（0）的圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離等于，則f()的值為（ ）。A： B： C： D：【解析】：B變式練習(xí)2：已知函數(shù)f(x)sin(x) （0，）的部分圖象如圖，則_?！窘馕觥浚鹤兪骄毩?xí)3：已知函數(shù)f(x)sin(x)（0）的圖象如右圖如示，則f(4)_。【解析】： 變式練習(xí)4：函數(shù)f(x)sin(x)，（）的部分圖象如圖所示，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A：（14k，14k），kZ B：（38k，18k），kZC：（14k，14k），kZD：（38k，18k），kZ【解析】：【解答】解：根據(jù)函數(shù)f（x）sin（x），（|）的部分圖象，可得312，求得，再根據(jù)五點(diǎn)法作圖可得1，f（x

11、）sin（x）令2kx2k，求得8k3x8k1，故函數(shù)的增區(qū)間為38k，18k，kZ，故選：D例9：已知函數(shù)f(x)sin(2x)（1）求函數(shù)f(x)的最小正周期。（2）求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間以及對(duì)稱中心。（3）求函數(shù)f(x)在區(qū)間 ，上的最大值和最小值。變式練習(xí)1：已知函數(shù)f(x)sin(x)（其中0，|），若函數(shù)yf(x)的圖象與x軸的任意兩個(gè)相鄰交點(diǎn)間的距離為，且直線x是函數(shù)yf(x)圖象的一條對(duì)稱軸.（1）求的值； （2）求yf(x)的單調(diào)遞增區(qū)間； （3）若x，求yf(x)的值域?！窘馕觥浚?1)因?yàn)楹瘮?shù)yf(x)的圖象與x軸的任意兩個(gè)相鄰交點(diǎn)間的距離為，所以函數(shù)的周期T，所以2.(2)因?yàn)橹本€x是函數(shù)yf(x)圖象的一條對(duì)稱軸，所以2k，kZ，k，kZ.又|，所以.所以函數(shù)的解析式是ysin.令2x，kZ，解得x，kZ.所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，kZ.(3)因?yàn)閤，所以2x.所以sin，即函數(shù)的值域?yàn)?變式練習(xí)2：設(shè)函數(shù)f(x)sin(2x)（0），已知它的一條對(duì)稱軸是直線x。（1）求；（2）求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；（3）求函數(shù)的對(duì)稱中心；（4）當(dāng)x，函數(shù)f(x)的取值范圍?！窘馕觥?1)函數(shù)的一條對(duì)稱軸是直線x，2k，kZ