小升初數(shù)學(xué)最易錯(cuò)基礎(chǔ)概念題

1、小升初數(shù)學(xué)最易錯(cuò)基礎(chǔ)概念題1. 最小的一位數(shù)是0 還是 1？這個(gè)問題在很長(zhǎng)一段時(shí)間存在爭(zhēng)論。 先來看看 九年義務(wù)教育六年制小學(xué)數(shù)學(xué)第八冊(cè)教師教學(xué)用書第 98 頁(yè)“關(guān)于幾位數(shù)”的敘述： “通常在自然數(shù)里，含有幾個(gè)數(shù)位的數(shù)，叫做幾位數(shù)。例如“2”是含有一個(gè)數(shù)位的數(shù)，叫做一位數(shù)；“ 30”是含有兩個(gè)數(shù)位的數(shù)，叫做兩位數(shù)；“405”是含有三個(gè)數(shù)位的數(shù)，叫做三位數(shù)但是要注意：一般不說0 是幾位數(shù)。再來聽聽專家的說明：在自然數(shù)的理論中，對(duì)“幾位數(shù)”是這樣定義的， “只用一個(gè)有效數(shù)字表示的數(shù)，叫做一位數(shù)；只用兩個(gè)數(shù)字（其中左邊第一個(gè)數(shù)字為有效數(shù)字）表示的數(shù)，叫做兩位數(shù)所以，在一個(gè)數(shù)中，數(shù)字的個(gè)數(shù)是幾（其中最

2、左邊第一個(gè)數(shù)字為有效數(shù)字） ，這個(gè)數(shù)就叫幾位數(shù)。于此，所謂最大的幾位數(shù)， 最小的幾位數(shù)，通常是在非零自然數(shù)的范圍研究。所以一位數(shù)共有九個(gè)，即：1、2、3、4、5、6、7、8、9。0 不是最小的一位數(shù)。2. 為什么 0 也是自然數(shù)?課標(biāo)教材對(duì)“ 0 也是自然數(shù)”的規(guī)定，顛覆了人們對(duì)自然數(shù)的傳統(tǒng)認(rèn)識(shí)。于此， 中央教科所教材編寫組主編陳昌鑄如是說： 國(guó)際上對(duì)自然數(shù)的定義一直都有不同的說法， 以法國(guó)為代表的多數(shù)國(guó)家都認(rèn)為自然數(shù)從0 開始，我國(guó)教材以前一直都是遵循前蘇聯(lián)的說法，認(rèn)為 0 不是自然數(shù)。 2000 年教育部主持召開教材改編會(huì)議時(shí)，已明確提出將0 歸為自然數(shù)。這次改版也是與國(guó)際慣例接軌。從教學(xué)

3、實(shí)踐層面來說，將“0”規(guī)定為“自然數(shù)”也有著積極的現(xiàn)實(shí)意義。2.1 “0”作為自然數(shù)的“好處”眾所周知， 數(shù)學(xué)中的集合被分為有限集合和無限集合兩類。 有限集合是含有有限個(gè)元素的集合， 像某班學(xué)生的集合。 無限集合是含有的元素個(gè)數(shù)是非有限的集合，如分?jǐn)?shù)的集合。因?yàn)樽匀粩?shù)具有“基數(shù)”的性質(zhì)，因此用自然數(shù)來描述有限集合中元素的個(gè)數(shù)是很自然的。但在有限集合中，有一個(gè)最主要也是最基本的集合，叫空集 ，元素個(gè)數(shù)為0。如果不把0 作為自然數(shù)，那么空集的元素的個(gè)數(shù)就無法用自然數(shù)來表示了。如果把“ 0”作為一個(gè)自然數(shù)，那么自然數(shù)就可以完成刻畫“有限集合元素個(gè)數(shù)”的任務(wù)了。于此，從“自然數(shù)的基數(shù)性”這個(gè)角度，我們

4、看到了把“ 0 ”作為自然數(shù)的好處。2.2 把“0”作為自然數(shù)，不會(huì)影響自然數(shù)的 “運(yùn)算功能”“ 0”加入傳統(tǒng)的自然數(shù)集合，所有的“運(yùn)算規(guī)則”依舊保持，如新自然數(shù)集合0,1,2j,n ,中的任何兩個(gè)自然數(shù)都可以進(jìn)行加法和乘法運(yùn)算，而運(yùn)算結(jié)果仍然是自然數(shù)。同時(shí)，加法、乘法運(yùn)算的結(jié)合律和交換律，以及乘法的分配律也不會(huì)受到影響。所以， “ 0 ”加盟到自然數(shù)集合實(shí)屬理所當(dāng)然，而不僅僅是人為的“規(guī)定” 。它讓我們更好地理解自然數(shù)和它的功能，同時(shí)也讓我們意識(shí)到教學(xué)時(shí)不僅要知道和記住數(shù)學(xué)的 “定義”和 “規(guī)定”， 還應(yīng)該思考 “規(guī)定”背后的數(shù)學(xué)涵義。3 .什么是有效數(shù)字一無效數(shù)字？有效數(shù)字是對(duì)一個(gè)數(shù)的近似

5、值的精確程度而提出的。 同一個(gè)近似數(shù)如果在取舍時(shí)，保留的有效數(shù)字多，就比保留的有效數(shù)字少更精確。一般說， 一個(gè)近似數(shù)四舍五入到哪一位， 就說這個(gè)近似數(shù)精確到哪一位。這時(shí)，從左邊第一個(gè)非零的數(shù)字起，到那一位上的所有數(shù)字都叫做這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字。如近似數(shù)0. 0 0 3 0 9有三個(gè)有效數(shù)字：3、0、9 ; 0 . 5 2 0 也有三個(gè)有效字：5、2、0。而0 . 0 0 3 0 9中左邊的三個(gè)零，0.5 2 0中左邊的一個(gè)零，者B叫做無效數(shù)字。4 .加法與減法、乘法與除法是否互為逆運(yùn)算？“加法與減法互為逆運(yùn)算、 乘法與除法互為逆運(yùn)算” 這似乎成了許多老師的口頭禪，這其實(shí)是一種誤解。例如：加法 “

6、2 + 3 = 5 "，其逆算為 “5 2 = 3" ，“5 3 = 2”。故此，加法的逆運(yùn)算只有減法；減法 “52 = 3"，其逆算有“5 3 = 2"，“2 + 3 = 5”。故此，減法的逆運(yùn)算有減法和加法兩種運(yùn)算。綜上可知， 只能說減法是加法的逆運(yùn)算， 而不能說加法與減法互為逆運(yùn)算。也只能說除法是乘法的逆運(yùn)算， 而不能說乘法與除法互為逆運(yùn)算。5 .為什么不寫“倍”？在學(xué)習(xí)“求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍”應(yīng)用題時(shí)，很多小朋友會(huì)自然提出這樣的疑問，如： “飼養(yǎng)小組養(yǎng)了 12 只小雞， 3 只小鴨，小雞的只數(shù)是小鴨的幾倍？ ”為什么“12+3=4”的后面不寫

7、“倍”呢？我們首先應(yīng)該肯定學(xué)生的質(zhì)疑（學(xué)生有較強(qiáng)的解題規(guī)范意識(shí)） 。但同時(shí)又該對(duì)學(xué)生說明： 在解答應(yīng)用題時(shí)， 得數(shù)后面一般要寫上的是數(shù)的單位名稱如： 12 只的“只” ； 8 克的“克” 。一個(gè)數(shù)只有帶上單位名稱，才能準(zhǔn)確地表示出一個(gè)物體的多少、大小、長(zhǎng)短、輕重等等。但是， “倍”不是單位名稱，它表示兩個(gè)數(shù)量之間的一種關(guān)系。例如，上面的計(jì)算結(jié)果“4” ， 表示 12里面有 4個(gè) 3， 就是 12只小雞是 3只小鴨的 4 倍。所以，在算式里不寫“倍” ，以免“倍”與單位名稱發(fā)生混淆。6 .“倍”和“倍數(shù)”的區(qū)別在第一學(xué)段我們學(xué)習(xí)了“倍的初步認(rèn)識(shí)” ，認(rèn)識(shí)了概念“倍” ，而在第二學(xué)段,我們又學(xué)習(xí)到

8、“倍數(shù)”這個(gè)概念。那么， “倍”和“倍數(shù)”這兩個(gè)詞到底是不是一回事呢？這兩個(gè)詞之間有什么區(qū)別呢？“倍”指的是數(shù)量關(guān)系，它建立在乘除法概念的基礎(chǔ)上。例如：男生有10人，女生有30人，因?yàn)椤?10X 3=30”或者“30+10=3"，我們就說，女生人數(shù)（30）是男生人數(shù)（10）的3 倍，也可以說，男生人數(shù)（ 10 ）的 3 倍等于女生人數(shù)（ 30） 。勿寧說， “倍”其實(shí)表示的是兩個(gè)數(shù)的商（這個(gè)商可以是整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)等各種表現(xiàn)形式） ?！氨稊?shù)”指的是數(shù)與數(shù)之間的聯(lián)系，它建立在整除概念的基礎(chǔ)上。例如， 30 能被 6 整除， 30 就是 6 的倍數(shù)?？梢姡?“倍數(shù)”是不能獨(dú)立存在的（具有

9、特定的指向性） ，而且對(duì)數(shù)的形式有特別的要求（必須為整數(shù)） 。同時(shí)我們又看到，30也是6的5倍，因?yàn)?X5=30, “6X5”表示6的 5 倍。所以從這個(gè)角度來說， “倍”的涵義應(yīng)寬泛于“倍數(shù)” ，后者可以視為前者在特定情形下的一種表現(xiàn)。7 .“時(shí)”和“小時(shí)”有什么不同？怎樣使用“時(shí)”和“小時(shí)”？首先應(yīng)該明確的是， 小 時(shí)并非國(guó)際時(shí)間單位。 在 1984 年國(guó)務(wù)院發(fā)布的關(guān)于我國(guó)統(tǒng)一法定計(jì)量單位的命令中，把秒作為時(shí)間的基本單位，把非國(guó)際單位制的時(shí)間單位天（日） 、 小時(shí)、分作為輔助單位。（注： 里的字，在不致混淆的情況下，可以省略） 。這樣，在我國(guó)范圍內(nèi)使用的法定時(shí)間單位就有：天（日） 、 小時(shí)

10、、分、秒。由此， “時(shí)”既可以表示時(shí)間，又可以表示時(shí)刻。由于“時(shí)間”和“時(shí)刻” 這兩個(gè)不同的概念容易產(chǎn)生混淆， 在實(shí)際應(yīng)用時(shí)間單位 “時(shí)” 時(shí)，現(xiàn)行教材作了如下處理：8 1 當(dāng)列式計(jì)算出時(shí)間的長(zhǎng)短時(shí)，在得數(shù)的括號(hào)里寫上時(shí)間的單位“時(shí)” 。 例如： 超市營(yíng)業(yè)時(shí)間：21-9=12（時(shí)）。（此處可省略 “小” 字）9 2 在用語(yǔ)言表述時(shí)間的長(zhǎng)短時(shí)，為避免“時(shí)間”和“時(shí)刻”這兩個(gè)概念產(chǎn)生混淆，則在“時(shí)”的前面加上一個(gè)“小”字。例如：超市 營(yíng)業(yè)時(shí)間 12 小時(shí)。7 3 在用語(yǔ)言表示時(shí)刻時(shí)，一律不得出現(xiàn)“小時(shí)”字樣。例如：公園每天早上7 時(shí) 30 分開園（而非7 小時(shí) 30 分） 。8 .“改寫”和“省略

11、”是一樣的嗎？從形式上看，此例將“改寫”與“省略”兩種對(duì)數(shù)的變化置于了同一個(gè)要求之下（即改寫成用“億”作單位的數(shù)） 。我們真希望編者不是有意而為之，因?yàn)椤案膶憽迸c“省略”其本質(zhì)是完全不同的。表現(xiàn)在：8.1 目的不同。“改寫” 的目的是方便對(duì)大數(shù)的讀寫， 而“省略” 則是取數(shù)的近似值。8.2 方法不同。此處的“改寫”是去掉“億”位后面的0，再寫上一個(gè)“億”字，而“省略” 除了要找準(zhǔn) “億” 位， 還要考慮被省略的尾數(shù)的最高位是幾，然后用四舍五入法求出近似數(shù)。8.3 符號(hào)不同?！案膶憽敝桓淖兞藬?shù)的表現(xiàn)形式，大小并未改變，所以用“=”號(hào)連接；而“省略”既改變了數(shù)的形式，又改變的數(shù)的大小，所以用“Q”

12、連接。9 .“路程”就是“距離”嗎？這兩個(gè)詞在許多老師的教學(xué)語(yǔ)言中是替代使用的，其實(shí)不然?！奥烦獭?是指從一個(gè)地點(diǎn)到另一個(gè)地點(diǎn)所經(jīng)過路線的長(zhǎng)度； 而“距離”則指連接兩個(gè)地點(diǎn)而成的直線段的長(zhǎng)度?！奥烦獭彼?jīng)過的路線可以是曲形線，也可以是直形線，還可能是折形線。一般情況下，兩個(gè)地點(diǎn)之間的“路程”要大于它們之間的“距離” ，只有當(dāng)兩個(gè)地點(diǎn)之間的路線為直線時(shí)，路程和距離才相等。雖然老師們都知道這個(gè)等式是成立的 ,但我們的學(xué)生卻沒有相應(yīng)的知識(shí)儲(chǔ)備,怎樣繞開”極限” 尋找能為小學(xué)生所理解和接受的證明途徑。10 .最大的分?jǐn)?shù)單位是1/2 還是 1/1 ？先看看分?jǐn)?shù)單位的含義：把單位“ 1 ”平均分成若干份，

13、表示這樣一份的數(shù)。顯然，在分?jǐn)?shù)意義中，關(guān)鍵是“分” ，沒有“分” ，就沒有“份” 。因?yàn)榘褑挝弧?1”平均分成的最少份數(shù)是2 份（如果是1 份，也就無所謂“分” ） ，由此得到的分?jǐn)?shù)單位是1/2 ，所以 1/2 是最大的分?jǐn)?shù)單位。盡管就廣義的分?jǐn)?shù)來說， 1/1 也可視作分?jǐn)?shù)，但它已不是我們通常意義上認(rèn)識(shí)的與整數(shù)對(duì)立的那種分?jǐn)?shù)（在平均分的基礎(chǔ)上所產(chǎn)生） ，故此，最大的分?jǐn)?shù)單位應(yīng)以 1/2 為宜。11 .像 0/3、 0.2/3、 3/0.2 這樣的數(shù)是不是分?jǐn)?shù)?分?jǐn)?shù)的定義明確告訴我們:把單位“1”平均分成若干份，表示這樣一份或幾份的數(shù),叫分?jǐn)?shù)。其中，分成的份數(shù)叫做分?jǐn)?shù)的分母，要表示的份數(shù)叫做分子

14、。由此可知， 分?jǐn)?shù)的分子和分母都應(yīng)該是非零自然數(shù)。 從這個(gè)意義來說，而不具分?jǐn)?shù)的實(shí)質(zhì)， 因此都不應(yīng)該視為分?jǐn)?shù)。進(jìn)而，在考查學(xué)生對(duì)“分?jǐn)?shù)”涵義的理解時(shí)，應(yīng)著眼于通常意義上的分?jǐn)?shù)， 將上述這些變異形式納入思考的范圍， 其本身對(duì)訓(xùn)練學(xué)生的思維并無多大實(shí)際意義，而且會(huì)令諸如“分?jǐn)?shù)都大于0”等命題的真與假陷入尷尬。12 .比 6多 1/2 的數(shù)”應(yīng)該是“ 6+1/2”還是“ 6+（1+1/2）”要弄清這個(gè)問題，先得弄清“6”的性質(zhì)。顯然，此處的“6 ”其實(shí)質(zhì)是一個(gè)“數(shù)” ，而非一個(gè)“量” ，求“比 6 多 1/2 的數(shù)”應(yīng)屬于“求比一個(gè)數(shù)多幾的數(shù)”的范疇，問題中的“多幾”都是確定的具體數(shù)，這里的 “幾”

15、 既可以是整數(shù)， 也可以是小數(shù)或分?jǐn)?shù)。 所以， 這里的 “ 1/2 ”是指在 6 的基礎(chǔ)上 “多 1/2” 這個(gè) “1/2” 數(shù)的本身， 而非“6 的 1/2”。所以， “比 6 多 1/2 的數(shù)”應(yīng)該是“ 6+1/2”。當(dāng)然， 如果題目確定為 “比 6 多它的 1/2 的數(shù)” ， 那答案則屬于后者。13 .計(jì)算出勤率可不可以不乘100%？先來看看新人教版、 北師大版和蘇教版三個(gè)不同版本的教材對(duì)類似問題的理解。同一課程標(biāo)準(zhǔn)下， 不同的教材給出了不同的理解， 這給執(zhí)教者帶來了困惑：到底可不可以不乘100%呢？筆者以為，求“XX率”其結(jié)果必定為百分率。 以出勤率為例， 就是求實(shí)際出勤人數(shù)占應(yīng)出勤人

16、數(shù)的百分之幾。如果公式只寫成：出勤率=實(shí)際出勤人數(shù)應(yīng)出勤人數(shù)，我們說這只是分?jǐn)?shù)形式（也即是求實(shí)際出勤人數(shù)占應(yīng)出勤人數(shù)的“幾分之幾” ） ，并不是百分?jǐn)?shù)。因此，在公式后面乘上“10 0%”，既可以使計(jì)算數(shù)值大小不變，又能保證結(jié)果形式滿足百分?jǐn)?shù)的要求。因此，計(jì)算出勤率、發(fā)芽率、出粉率、合格率的公式中，都應(yīng)乘“100%”。同時(shí)建議各版本教材的編委統(tǒng)一思想， 以免給一線教師造成認(rèn)識(shí)上的混亂。14 .小于9 0度的角都是銳角嗎？根據(jù)課標(biāo)教材定義：小于9 0度的角叫做銳角。答案似乎是肯定的，但由此又產(chǎn)生一個(gè)新的問題：0度的角是什么角，也是銳角嗎？事實(shí)是， 銳角定義有一個(gè)隱含的前提， 就是小學(xué)數(shù)學(xué)中所討論的角都是正角。 習(xí)慣上， 我們把射線按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)而得到的角叫做正角，射線按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)而得到的角叫做負(fù)角， 當(dāng)一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn)時(shí)，就把它看成零角。 如果將角的概念推廣到任意大小的角，就應(yīng)分為正角、負(fù)角、和零角。由此，嚴(yán)格意義上的銳角定義應(yīng)是：大于0度而小于9 0度的角叫做銳角。15 .足球比賽記分牌上的“3 ： 2”是數(shù)學(xué)中的“比”嗎？我們至少可以從兩