石景山區(qū)2020屆高三一模數(shù)學試卷及答案

1、2020年石景山區(qū)高三統(tǒng)一測試本試卷共6頁，滿分為150分，考試時間為120分鐘.請務必將答案答在答題卡上,在試卷上作答無效，考試結束后上交答題卡.第一部分（選擇題共40分）、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.設集合 P 1,2,3,4 , Q x|x| 3,x R,則 P Q 等于2.3.4.5.A. 1在復平面內，復數(shù)對應的復數(shù)是A. 8+4i卜列函數(shù)中,A.A.B.1,2,3C. 3,4D. 3, 2, 1,0,1,2,35+6i, 3-2i對應的點分別為 A,B.若C為線段AB的中點，則點B. 2+8iC. 4+2iD.1+4

2、i既是奇函數(shù)又在區(qū)間0,上單調遞減的是2xxB. y 2C. y In xD.8y 13 0的圓心到直線ax y 10的距離為3B.4C. .3D.1人，不同的分配將4位志愿者分配到博物館的 3個不同場館服務，每個場館至少6.A. 2B. 4C. 5D. 8高三數(shù)學試題第7頁（共14頁）7.函數(shù) f x cos x 一 ( 60)的最小正周期為，則f x滿足A.在 0, 一3上單調遞增B.圖象關于直線x 對稱65 一 .c. fD.當x 5-時有最小值1128. 設an是等差數(shù)列，其前n項和為S.則“S+S3 2s2”是“an為遞增數(shù)列T的A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條

3、件D.既不充分也不必要條件9. 設f(x)是定義在R上的函數(shù)，若存在兩個不等實數(shù)Xi,X2 R ,使得x1 x2f(x1) f (x2)f (),則稱函數(shù)f(x)具有性質P,那么下列函數(shù):221X 022f(x) x ;f (x) x2； f (x) |x21| ；0x0具有性質P的函數(shù)的個數(shù)為A. 0B. 1C. 2D. 310.點M, N分別是長為2的正方體ABCDABQ1D1中棱BC,CCi的中點，動點P在正方形BCCiBi (包括邊界)內運動.若PA /面AMN ,則PA的長度范圍是A. 2, 5C. ±32D. 2,3第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題

4、5分，共25分.11.uuv 1 . 3已知向量BA (1,)2 2uuv .31BC (,1),則 ABC2 212.已知各項為正數(shù)的等比數(shù)列an中,a11 ,其前n項和為Sn n N* ,且13.14.15.aia2一,貝U S4 a3能夠說明“設a,b是任意非零實數(shù)，若整數(shù)a, b的值依次為已知F是拋物線C: y2 4x的焦點,點N .若M為FN的中點，則FN1b,則一 a1一"是假命題的一組b石景山區(qū)為了支援邊遠山區(qū)的教育事業(yè)，組織了一支由fm的延長線交y軸于13名一線中小學教師此隊員組成的支教團隊，記者采訪其中某隊員時詢問這個團隊的人員構成情況,回答：有中學高級教師； 中學

5、教師不多于小學教師；小學高級教師少于中學中級教師；小學中級教師少于小學高級教師；支教隊伍的職稱只有小學中級、小學高級、中學中級、中學高級；無論是否把我計算在內，以上條件都成立.由此隊員的敘述可以推測出他的學段及職稱分別是 、.三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16 .（本小題14分）如圖，在正四棱錐 P ABCD中,AB PB 2虎，AC BD O .（I）求證：BO 面 PAC ；（n）求二面角 A PC B的余弦值.17 .（本小題14分）2020年，北京將實行新的高考方案.新方案規(guī)定：語文、數(shù)學和英語是考生的必考科高三數(shù)學試題第4頁（共14頁）目，考生

6、還需從物理、化學、生物、歷史、地理和政治六個科目中選取三個科目作為選考 科目.若一個學生從六個科目中選出了三個科目作為選考科目，則稱該學生的選考方案確 定；否則，稱該學生選考方案待確定.例如，學生甲選擇“物理、化學和生物”三個選考 科目，則學生甲的選考方案確定，“物理、化學和生物”為其選考方案.某校為了解高一年級 840名學生選考科目的意向，隨機選取60名學生進行了一次調查，統(tǒng)計選考科目人數(shù)如下表：性別選考方案確定情況物理化學生物歷史地理政治男生選考方案確定的有16人16168422選考方案待確定的有 12人860200女生選考方案確定的有 20人610201626選考方案待確定的有 12人2

7、810002(I )估計該學校高一年級選考方案確定的學生中選考生物的學生有多少人？(n)從選考方案確定的16名男生中隨機選出 2名，求恰好有一人選“物理、化學、生物” 的概率；(出)從選考方案確定的 16名男生中隨機選出 2名，設隨機變量0兩名男生選考方案不同1兩名男生選考方案相同,求的分布列和期望18 .(本小題14分)已知銳角4ABC ,同時滿足下列四個條件中的三個： A= p a= 13 c= 15sinC= 133(I )請指出這三個條件，并說明理由； (n)求4ABC的面積.19.(本小題15分)222已知橢圓C:0 yY 1( a b 0)的右焦點為F(1,0),離心率為 .直線l

8、過點ab2F且不平行于坐標軸，l與C有兩個交點 A,B,線段AB的中點為M .(I)求橢圓C的方程；(n)證明：直線 OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；(出)延長線段OM與橢圓C交于點P ,若四邊形OAPB為平行四邊形，求此時直線l的 斜率.20 .(本小題14分)已知函數(shù) f(x) x2(x 0), g(x) a In x(a 0).(i)若f(x) g(x)恒成立，求實數(shù) a的取值范圍；(n)當a 1時，過f(x)上一點(1,1)作g(x)的切線，判斷：可以作出多少條切線，并 說明理由.21 .(本小題14分)有限個元素組成的集合A a1，a2，,an , n N* ,記集合 A中的元素個

9、數(shù)為card (A),即card (A) n.定義A A x y |x A, y A,集合a A中的元素個數(shù)記為card (A+A),當card (A+A)= n(n 1)時,稱集合 A具有性質P .(I ) A 1,4,7 , B 2,4,8,判斷集合A,B是否具有性質P,并說明理由；(n)設集合 A a1, a2,a3,2020 , a1 a2 a3 2020 且 ai N (i 1,2,3),右集合A具有性質P ,求a a2 a3的最大值；(出)設集合A 值色，an,其中數(shù)列an為等比數(shù)列，ai 0(i 1,2, ,n)且公比為有理數(shù)，判斷集合集合A是否具有性質P并說明理由.高三數(shù)學試題

10、第9頁(共14頁)2020年石景山區(qū)高三統(tǒng)一測試數(shù)學試卷答案及評分參考、選擇題：本大題共 10個小題，每小題 4分，共40分.題號12345678910答案BCDAABDCCB二、填空題：本大題共 5個小題，每小題5分，共25分.11. ;12. 15;13 .2,-1 ;答案不唯一614 . 3;15.小學中級.三、解答題：本大題共 6個小題，共85分.解答題應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16 .（本小題14分）（I）證明：聯(lián)結 PO.在正四棱錐P ABCD中，PO 底面 ABCD .因為BO 平面ABCD所以PO BO. 3分在正方形ABCD中，BO AC ,又因為POI AC O

11、,所以BO 面PAC. 6分（n）解：由（I）知， PO , AO, BO兩兩垂直，以O為坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系 7分在正方形 ABCD中，因為 AB 2我，所以AO 2.又因為PB 2 2所以PO 2 .所以點P的坐標為P(0, 0, 2),點C的坐標為C( 2, 0, 0),點B的坐標為B(0, 2, 0).uuruuu則 PC ( 2, 0, 2) , CB (2, 2, 0).由(I)知，BO 平面PAC .ur uuu所以平面PAC的一個法向量為 r OB (0, 2, 0) . 10分uu設平面PBC的一個法向量n2 (x, y, z) .uu uurn2gPC 0,

12、2x 2z 0,則uun即,ngCB 0, 2x 2y 0.令 y 1,則 x 1 , z 1.故平面PBC的一個法向量uu n21,1,1) 13分ir uucos Ri, n2ur uu«-1»|也 |所以二面角APC B的余弦值為14分高三數(shù)學試題第15頁（共14頁）8+20=28人 1分4分5分6分8分p(A)c8c8 gC26 1517 .(本小題14分)解：(I )由數(shù)據(jù)知，60人中選考方案確定的學生中選考生物的學生有 所以該學校高一年級選考方案確定的學生中選考生物的學生有28,840 一 392 人60(II)選考方案確定且為“物理，化學，生物”的男生共有8人

13、。設“恰好有一人選物理、化學、生物”為事件 A（m）由數(shù)據(jù)可知，選考方案確定的男生中有 8人選擇物理、化學和生物；有 4人選擇物 理、化學和歷史； 有2人選擇物理、化學和地理 ；有2人選擇物理、化學和 政 治.9分的可能取值為0,1.P(0)c8c8c4cc2c2P(1)216710C：C2 C2 C2CZ31012分所以的分布列為:0 - 1101031014分01P73101018 .（本小題14分）解：（I） zABC同時滿足，.理由如下：若 ABC同時滿足，則在銳角 ABC中,11sin C一一，所以0<C326又因為A，所以一<A+C 332所以b 2,這與abc是銳角三

14、角形矛盾,所以4ABC不能同時滿足,所以4ABC同時滿足，.因為c a所以C A若滿足則A C ,則B ,這與zABC是銳角三角形矛盾 62故zABC不滿足.故4ABC滿足，.(n)因為 a2 b2 c2 2bccosA,1。分所以 132 b2 1 52 2 b 15 1. 2解得b 8或b 7 . 12分_22 ._272 1 32 1 52 八當 b 7 時，cosC 02 7 13所以C為鈍角，與題意不符合，所以b 8. 13分所以 ABC 的面積 S -bcsinA 3073 . 14 分219.(本小題15分)解：(I)由已知c 1, e c , 2分a 2又a2 b2 c2,解得

15、a夜,b 1 4分2所以橢圓方程為y2 1. 5分2(n)設直線l的方程為y k(x 1)(k 0)2x 2.y 1, , r聯(lián)立2消去y得y k(x 1)(k 0)(2k2 1)x2 4k2x 2k2 2 0,不妨設 A(xy)B8, y2)7 分則 X1X24k22ky-為線段AB的中點所以XmX1X222k22k"Vm k(XM 1)k2k2 1所以kOMyMXM12k所以k°MkiJ k 2k1一為定值.210分（m）若四邊形uuOAPB為平行四邊形，則OAuuuOBuuuOP12分所以XpX1X24k22k2Vp V1 V2 k(X 1)k(X2 1)k(XX22

16、)2k 2k213分因為點P在橢圓上，所以)2(2k2 114分解得k2 1即k 22所以當四邊形 OAPB為平行四邊形時，直線l的斜率為15分20.（本小題14分）.解：(I)令 h(x) =f (x) g(x)2x aln x(x 0)所以 h (x)=2x - x222x a高三數(shù)學試題第17頁(共14頁)*2x2 a2a令 h (x)= 0 ,解得 x J-當x變化時，h (x), h(x)的變化情況如下表:x喑(島)h (x)一0+h(x)減極小值增所以在(0,)的最小值為hja)aalnjaa-ln-6分令 h(ja) 0 解得 0 a 2e.22222 22所以當0 a 2e時，

17、h(x) 0恒成立，即f (x) g(x)恒成立.7分(n)可作出2條切線.8分理由如下：當a 1時，g(x) lnx.設過點(1,1)的直線l與g(x) ln x相切于點P(x°, y°), 9分,、y0 11lnx。1則 g (x°)即 -x0 1x0x0 1整理得 lnx0 2x0 1 0 10 分令m(x) xln x 2x 1,則m(x)在(0,)上的零點個數(shù)與切點 P的個數(shù)對應.m (x) lnx 1,令 m(x) ln x 1 0解得 x e . 11 分當X變化時，m (x), m(x)的變化情況如下表:x(0,e)e(e,)m (x)一0+m(x

18、)減極小值增所以 m(x)在(0,e)上單調遞減，在(e,)上單調遞增11124且 m( )ln 2211 0ee ee em(e) e In e 2e 1e 1 0m(e2) e2 lne2 2e2 1 1 0 13 分12.所以 m(x)在(方,e)和(e,e )上各有一個零點，即 xlnx 2x 1 0有兩個不同的解.e14分所以 過點(1,1)可作出y ln x的2條切線.21.(本小題14分)解：(I )集合A不具有性質P ,集合B具有性質P .A A 2,5,8,11,14 ,card(A+A)=5 %口不具有性質 P;2B B 4,6,8,10,12,16 ,card(B+B)=6 33,具有性質 P. 3 分2(n)若三個數(shù)a,b,c成等差數(shù)列，則 A a,b,c不具有性質P,理由是a c 2b.因為 aa2a3 2020 且 ai N(i 1,2,3)所以 a3 2019,要彳a1 a2 a3取最大，則a3 2019；a22018 ,易知2018,2019 ,2020不具有性質P ,要使a a2 a3取最大，則 a22017；a1 2016 ,要使a1 a2 a3取最大，檢驗可得a