抽屜原理例題解析匯報

1、抽屜原理1:把多于n個的蘋果放進n個抽屜里，那么至少有一個抽屜里有兩個 或兩個以上的蘋果概念解析1、把3個蘋果任意放到兩個抽屜里，可以有哪些放置的方法呢？ 一個抽屜放一個，另一個抽屜放兩個；或3個蘋果放在某一個抽屜里.盡管放蘋果的方式有所 不同，但是總有一個共同的規(guī)律：至少有一個抽屜里有兩個或兩個以上的蘋果.2、如果把5個蘋果任意放到4個抽屜里，放置的方法更多了，但仍有這樣的結 果.由此我們可以想到，只要蘋果的個數(shù)多于抽屜的個數(shù)，就一定能保證至少有 一個抽屜里有兩個或兩個以上的蘋果.道理很簡單：如果每個抽屜里的蘋果都不 到兩個也就是至多有1個，那么所有抽屜里的蘋果數(shù)的和就比總數(shù)少了 .3、我們

2、從街上隨便找來13人，就可以斷定他們中至少有兩個人屬相 指鼠、牛、 虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬。等十二種生肖一樣 .怎樣證明這 個結論是正確的呢？只要利用抽屜原理就很容易把道理講清楚 .事實上，由于人 數(shù)13比屬相數(shù)12多，因此至少有兩個人屬相一樣在這里，把 13人看 成13個“蘋果，把12種屬相看成12個“抽屜。 應用抽屜原理要注意 識別“抽屜和“蘋果，蘋果的數(shù)目一定要大于抽屜的個數(shù)。例題講解例1有5個小朋友，每人都從裝有許多黑白圍棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.請你證明，這5個人中至少有兩個小朋友摸出的棋子的顏色的配組是一樣的。解析首先要確定3枚棋子的顏色可以有多少種不同的情況，

3、可以有：3黑，2黑1白，1黑2白，3白共4種配組情況，看作4個抽屜.把每人的3枚棋作為一 組當作一個蘋果，因此共有5個蘋果.把每人所拿3枚棋子按其顏色配組情況放 入相應的抽屜.由于有5個蘋果，比抽屜個數(shù)多，所以根據(jù)抽屜原理，至少有兩 個蘋果在同一個抽屜里，也就是他們所拿棋子的顏色配組是一樣的。 例2 一副撲克牌去掉兩X王牌，每人隨意摸兩X牌，至少有多少人才能保 證他們當中一定有兩人所摸兩 X牌的花某某況是一樣的？解析撲克牌中有方塊、梅花、黑桃、紅桃 4種花色，2X牌的花色可以有：2X 方塊，2X梅花，2X紅桃，2X黑桃，1X方塊1X梅花，1X方塊1X黑桃，1X方塊 1X紅桃，1X梅花1X黑桃，

4、1X梅花1X紅桃，1X黑桃1X紅桃共計10種情況.把 這10種花色配組看作10個抽屜，只要蘋果的個數(shù)比抽屜的個數(shù)多1個就可以有 題目所要的結果.所以至少有11個人。但凡抽屜中有兩個數(shù)的，都具有一個共同的特點：這兩個數(shù)的和是34?，F(xiàn)從題目中的15個偶數(shù)中任取9個數(shù)，由抽屜原理因為抽屜只有 8個，必 有兩個數(shù)在同一個抽屜中由制造的抽屜的特點，這兩個數(shù)的和是 34。 例4從1、2、3、4、，、19、20這20個自然數(shù)中，至少任選幾個數(shù)，就可以保 證其中一定包括兩個數(shù)，它們的差是 12。解析在這20個自然數(shù)中，差是12的有以下8對：20，8， 19, 7，18, 6， 17, 5， 16, 4， 15

5、, 3， 14, 2， 13, 1。 另 外還有4個不能配對的數(shù) 9, 10, 11, 12,共制成12個抽屜每 個括號看成一個抽屜只要有兩個數(shù)取自同一個抽屜，那么它們的差就等于12, 根據(jù)抽屜原理至少任選13個數(shù)，即可辦到取12個數(shù)：從12個抽屜中各取一 個數(shù)例如取1,2,3, ,12，那么這12個數(shù)中任意兩個數(shù)的差必不等于12。） 例5從1到20這20個數(shù)中，任取11個數(shù)，必有兩個數(shù)，其中一個數(shù)是另一個 數(shù)的倍數(shù)。解析分析與解答 根據(jù)題目所要求證的問題，應考慮按照同一抽屜中，任意兩 數(shù)都具有倍數(shù)關系的原如此制造抽屜把這20個數(shù)按奇數(shù)與其倍數(shù)分成以下十 組，看成10個抽屜顯然，它們具有上述性

6、質：1, 2, 4, 8, 16,3, 6,12,5,10,20,7,14 , 9,18,11,13,15,17, 19。從這10個數(shù)組的20個數(shù)中任取11個數(shù)，根據(jù)抽屜原理，至少有兩個數(shù)取自同一個抽屜.由于凡在同一抽屜中的兩個數(shù)都具有倍數(shù)關系， 所以這兩個數(shù)中，其中一個數(shù)一定是另一個數(shù)的倍數(shù)。 例6證明：在任取的5個自然數(shù)中，必有3個數(shù)，它們的和是3的倍數(shù)。分析與解答 按照被3除所得的余數(shù)，把全體自然數(shù)分成 3個剩余類，即構成3 個抽屜.如果任選的5個自然數(shù)中，至少有3個數(shù)在同一個抽屜，那么這3個數(shù) 除以3得到一樣的余數(shù)r,所以它們的和一定是3的倍數(shù)3r被3整除。 如 果每個抽屜至多有2個選

7、定的數(shù)，那么5個數(shù)在3個抽屜中的分配必為1個，2 個，2個，即3個抽屜中都有選定的數(shù).在每個抽屜中各取1個數(shù)，那么這3個 數(shù)除以3得到的余數(shù)分別為0、1、2.因此，它們的和也一定能被3整除0+1+2 被3整除。例7某校校慶，來了 n位校友，彼此認識的握手問候.請你證明無論什么情況， 在這n個校友中至少有兩人握手的次數(shù)一樣多。分析與解答 共有n位校友，每個人握手的次數(shù)最少是 0次，即這個人與其他校 友都沒有握過手；最多有n-1次，即這個人與每位到會校友都握了手.校友人數(shù) 與握手次數(shù)的不同情況0, 1, 2, , , n-1數(shù)都是n，還無法用抽屜原理。然而，如果有一個校友握手的次數(shù)是 0次，那么握

8、手次數(shù)最多的不能多于 n-2次； 如果有一個校友握手的次數(shù)是 n-1次，那么握手次數(shù)最少的不能少于 1 次.不管 是前一種狀態(tài)0、1、2、，、n-2，還是后一種狀態(tài)1、2、3、，、n-1，握手次數(shù) 都只有n-1種情況.把這n-1種情況看成n-1個抽屜，到會的n個校友每人按照 其握手的次數(shù)歸入相應的“抽屜，根據(jù)抽屜原理，至少有兩個人屬于同一抽屜， 如此這兩個人握手的次數(shù)一樣多。抽屜原理2:將多于rnK n件的物品任意放到n個抽屜中，那么至少有一個抽屜 中的物品的件數(shù)不少于計1。概念解析1、假定這n個抽屜中，每一個抽屜內(nèi)的物品都不到 計1件，即每個抽屜里 的物品都不多于m件，這樣n個抽屜中可放物品

9、的總數(shù)就不會超過 mK n件，這 與多于mK n件物品的假設相矛盾。這說明一開始的假定不能成立，所以至少有 一個抽屜中物品的件數(shù)不少于1件。2、 “抽屜原理T和“抽屜原理2的區(qū)別是：“抽屜原理T物體多，抽屜少， 數(shù)量比擬接近；“抽屜原理2雖然也是物體多，抽屜少，但是 數(shù)量相差較大， 物體個數(shù)比抽屜個數(shù)的 幾倍還多例題講解1、如果將13只鴿子放進6只鴿籠里，那么至少有一只籠子要放3只或更多的鴿 子。道理很簡單，如果每只鴿籠里只放 2只鴿子，6只鴿籠共放12只鴿子，剩 下的一只鴿子無論放入哪只鴿籠里，總有一只鴿籠放了 3只鴿子。2、有40名小朋友，現(xiàn)有各種玩具122件，把這些玩具全局部給小朋友，是

10、否會 有小朋友得到4件或4件以上的玩具？分析與解：將40名小朋友看成40個抽屜。有玩具122件，而122= 3K40 + 2, 應用抽屜原理2,取n = 40, m= 3,立即知道至少有一個抽屜中放有 4件或4件 以上的玩具，也就是說，至少會有一個小朋友得到 4件或4件以上的玩具3、布袋里有4種不同顏色的球，每種都有10個。最少取出多少個球，才能保證 其中一定有3個球的顏色一樣？分析與解：把4種不同顏色看做4個抽屜，把布袋中的球看做元素。根據(jù)抽屜原 理2，要使其中一個抽屜里有3個顏色一樣的球，那么放入的球的個數(shù)最少應比 抽屜個數(shù)的2倍多1,即最少取出3- 1X 4+ 1= 9個球。4、 有47

11、名學生參加一次數(shù)學競賽，成績都是整數(shù)，總分為是 100分。3名學生 的成績在60分以下，其余學生的成績均在7595分之間。問：至少有幾名學生 的成績一樣？分析與解：關鍵是構造適宜的“抽屜。既然是問“至少有幾名學生的成績一樣， 說明應以成績?yōu)槌閷?，學生為物品。除 3名成績在60分以下的學生外，其余學 生的成績均在7595分之間，而7595分中共有21個不同的分數(shù)，將這21 個分數(shù)作為21個抽屜，把47 3 = 44個學生作為物品。如此有 44- 21 = 2, ,2,根據(jù)抽屜原理2,至少有1個抽屜中至少有3件物品，即這47名學生中至 少有3名學生的成績是一樣的5、學校開辦了語文、數(shù)學、美術三個課

12、外學習班，每個學生最多可以參加兩個也可以不參加。問：至少有多少名學生，才能保證有不少于5名學生參加學習班的情況完全一樣？分析與解：首先要弄清參加學習班有多少種不同的情況：不參加學習班有1種情況，只參加一個學習班有3種情況，參加兩個學習班有語文和數(shù)學、語文和美術、 數(shù)學和美術3種情況。共有1 + 3+ 3= 7種情況。將這7種情況作為7個“抽 屜，根據(jù)抽屜原理2，要保證有不少于5名學生參加學習班的情況完全一樣， 那么至少有學生7X 51+ 1= 29名。&夏令營組織2000名營員活動，其中有爬山、參觀博物館和到海灘游玩三個項 目。規(guī)定每人必須參加一項或兩項活動。 那么至少有幾名營員參加的

13、活動項目完 全一樣？分析與解：此題的抽屜不是那么明顯，因為問的是“至少有幾名營員參加的活動 項目完全一樣，所以應該把活動項目當成抽屜，營員當成物品。營員數(shù)已經(jīng)有 了，現(xiàn)在的問題是應當搞清有多少個抽屜。因為“每人必須參加一項或兩項活動， 共有3項活動，所以只參加一項活動的 情況有3種，參加兩項活動的有爬山與參觀、 爬山與海灘游玩、參觀與海灘游玩 3種情況，所以共有3+ 3 = 6個抽屜。如此有2000-6= 333, 2,根據(jù)抽屜 原理2,至少有一個抽屜中有333+ 1 = 334件物品，即至少有334名營員參 加的活動項目是完全一樣的。7、幼兒園里有120個小朋友，各種玩具有364件。把這些玩

14、具分給小朋友，是 否有人會得到4件或4件以上的玩具？把120個小朋友看做是120個抽屜，把玩具件數(shù)看做是元素。如此364=120X 3+4, 4v 120。根據(jù)抽屜原理的第2條規(guī)如此：如果把x x kx >k> 1個元素 放到x個抽屜里，那么至少有一個抽屜里含有 m+1個或更多個元素?？芍辽儆?一個抽屜里有3+1=4個元素，即有人會得到4件或4件以上的玩具課堂練習1. 五名同學在一起練習投籃，共投進了 41個球，那么至少有一個人投進了幾 個球？2. 有100名學生，他們都訂閱甲、乙、丙三種雜志中的一種、兩種或三種。問： 至少有多少名學生訂閱的雜志種類一樣？3. 籃子里有蘋果、梨、

15、桃和橘子，現(xiàn)有 81個小朋友，如果每個小朋友都從中任意拿兩個水果，那么至少有多少個小朋友拿的水果是一樣的？4. 放體育用品的倉庫里有許多足球、排球和籃球，有66名同學來倉庫拿球，要求每人至少拿1個球，至多拿2個球。問：至少有多少名同學所拿的球的種類 是完全一樣的？5. 求證：任意25個人中，至少有3個人的屬相一樣。要想保證至少有5個人的屬相一樣，但不能保證有 6個人的屬相一樣，那么人的總數(shù)應在什么X圍內(nèi)？ 參考答案1. 解：將5個同學投進的球數(shù)作為抽屜，將41個球放入抽屜中，41 = 5X 8+ 1, 所以至少有一個抽屜中放了 9個球，即至少有一個人投進了 9個球。2. 解：首先應當弄清訂閱雜

16、志的種類共有多少種不同的情況。訂一種雜志有：訂甲、訂乙、訂丙 3種情況；訂兩種雜志有：訂甲乙、訂乙丙、訂丙甲 3種情況； 訂三種雜志有：訂甲乙丙1種情況。總共有3+ 3+ 1 = 7種訂閱方法。我們將這7種訂法看成是7個“抽 屜，把100名學生看作100件物品。因為100= 14X 7+ 2。根據(jù)抽屜原理2, 至少有14+ 1 = 15名學生所訂閱的雜志種類是一樣的。3. 解：首先應弄清不同的水果搭配有多少種。兩個水果是一樣的有4種，兩個 水果不同的有6種：蘋果和梨、蘋果和桃、蘋果和橘子、梨和桃、梨和橘子、桃 和橘子，所以不同的水果搭配共有 4 + 6二10種。將這10種搭配作為10個“抽屜，

17、因為81 = 8X10+ 1,根據(jù)抽屜原理2,至少有8+ 1 = 9個小朋友 拿的水果是一樣的。4. 解：拿球的配組方式有以下9種：足, 排,籃, 足，足, 排，排 ,籃，籃 ,足，排 ,足，籃 ,排，籃。把這9種配組方式看作9個抽屜，因為66= 7X 9+ 3,所以至少有7+ 1= 8名 同學所拿的球的種類是完全一樣的。5. 解：把12種屬相看作12個抽屜，因為25= 2X 12+ 1,所以根據(jù)抽屜原 理2,至少有3個人的屬相一樣。要保證有5個人的屬相一樣，總人數(shù)最少為 4X12+ 1= 49人。 不能保 證有6個人的屬相一樣的最多人數(shù)為 5X 12= 60人。 所以總人數(shù)應在49 人到60

18、人的X圍內(nèi)。練習1：1、一個幼兒園大班有40個小朋友，班里有各種玩具125件。把這些玩具分給小 朋友，是否有人會得到4件或4件以上的玩具？2、把16枝鉛筆放入三個筆盒里，至少有一個筆盒里的筆不少于 6枝。為什么？3、 把25個球最多放在幾個盒子里，才能至少有一個盒子里有7個球？答案：1、 把40名小朋友看做40個抽屜，將125件玩具放入這些抽屜，因為125= 3 X 40+5,根據(jù)抽屜原理，可知至少有一個抽屜有4件或4件以上的玩具，所以肯 定有人會得到4件或4件以上的玩具。2、把三個筆盒看做3個抽屜，因為16= 5X 3+1，根據(jù)抽屜原理可以至少有一 個筆盒里的筆有6枝或6枝以上。3、 把盒子

19、數(shù)看成抽屜，要使其中一個抽屜里至少有 7個球，那么球的個數(shù)至 少應比抽屜個數(shù)的71倍多1,而25= 4X 7- 1+1，所以最多方子4個 盒子里，才能保證至少有一個盒子里有 7個球。例題2：布袋里有4種不同顏色的球，每種都有10個。最少取出多少個球，才能保證其 中一定有3個球的顏色一樣？解析：把4種不同顏色看做4個抽屜，把布袋中的球看做元素。據(jù)抽屜原理2要使其中一個抽屜里至少有3個顏色一樣的球，那么取出的球的個數(shù)應比抽屜個 數(shù)的2倍多1。即2X 4+仁9個球。列算式為3 1X 4+仁9個練習2:1、布袋里有組都多的5種不同顏色的球。最少取出多少個球才能保證其中一定有3個顏色一樣的球？2、一個容

20、器里放有10塊紅木塊、10塊白木塊、10塊藍木塊，它們的形狀、大小都一樣。當你被蒙上眼睛去容器中取出木塊時，為確保取出的木塊中至少有4塊顏色一樣，應至少取出多少塊木塊？3、一副撲克牌共54X,其中1 13點各有4X,還有兩X王的撲克牌。至少要取 出幾X牌，才能保證其中必有4X牌的點數(shù)一樣？參考答案1、最少應取出3- 1X 5+1= 11個球2、至少取出4 1X 3+1= 10塊木塊。3、 如果沒有兩X王牌，至少要取4 1X 13+1= 40X,再加上兩X王牌，至 少要摸出40+2= 42X,才能保證其中必有4X牌點數(shù)一樣。例題3:某班共有46名學生，他們都參加了課外興趣小組?；顒觾?nèi)容有數(shù)學、美

21、術、書法和英語，每人可參加1個、2個、3個或4個興趣小組。問班級中至少有幾名 學生參加的項目完全一樣？解析：參加課外興趣小組的學生共分四種情況， 只參加一個組的有4種類型，只 參加兩個小組的有6個類型，只參加三個組的有 4種類型，參加四個組的有1 種類型。把4+6+4+1=15種類型看做15個抽屜，把46個學生放入這些抽屜， 因為46=3X 15+1，所以班級中至少有4名學生參加的項目完全一樣。練習3:1、某班有37個學生，他們都訂閱了三種報刊中的一、二、三種。其中至少有幾位同學訂的報刊一樣？2、學校開辦了繪畫、笛子、足球和電腦四個課外學習班，每個學生最多可以參 加兩個可以不參加。某班有 52

22、名同學，問至少有幾名同學參加課外學習班 的情況完全一樣？3、庫房里有一批籃球、排球、足球和鉛球，每人任意搬運兩個，問：在31個 搬 運者中至少有幾人搬運的球完全一樣？參考答案1、小學六年中最多有 2個閏年，共366X 2+365X 4= 2191天，因為13170= 6X 2192+18,所以其中一定有7人是同年同月同日生的。2、參加課外興趣小組的學生共分四種情況，只參加一個組的有4種類型，只參加兩個組的有6種類型，只參加三個字的有4種類型，參加四個組的有1種類 型。把4+6+4+1= 15種類型看作15個抽屜，把46個學生放入這些抽屜，因為 46= 15X 3+1，所以班級中至少有4名學生參

23、加的項目完全一樣。3、全班訂閱報刊的類型共有3+3+1 = 7種，因為37= 5X 7+2,所以其中至少 有6位學生訂的報刊一樣。例題4:從1至30中，3的倍數(shù)有30 - 3=10個，不是3的倍數(shù)的數(shù)有3010=20個，至 少要取出20+1=21個不同的數(shù)才能保證其中一定有一個數(shù)是 3的倍數(shù)。練習4:1、在1, 2，3，49, 50中，至少要取出多少個不同的數(shù)，才能保證其中一 定有一個數(shù)能被5整除？2、 從1至120中，至少要取出幾個不同的數(shù)才能保證其中一定有一個數(shù)是4的 倍數(shù)？3、從1至36中，最多可以取出幾個數(shù)，使得這些數(shù)中沒有兩數(shù)的差是 5的倍數(shù)？參考答案練41、在150中，5的倍數(shù)有50- 5= 10個，不是5的倍數(shù)的就有50- 10= 40 個，至少要取出40+1 = 41個不同的數(shù)才能保證其中有個數(shù)能貝 5整除。2、在1120中，4的倍數(shù)有120-4 = 30個，不是4的倍數(shù)有120- 30= 90個，正是要取出90+1 = 91個不同的數(shù)才能保證其中一定有一個數(shù)是4的倍數(shù)。3、差是 5 的兩數(shù)有如下 5 組：1、6，11、16，21、26，31、36; 2、7，12、 17, 22、27; 3、8，13、18，23、28、33; 4、9，14、19, 24、29，34; 5、10,15、20, 25、30、35。要使取出的數(shù)中沒有兩個數(shù)的差是 5的倍數(shù)，最多只能從