最新概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識點(diǎn)總結(jié)(超詳細(xì)版)

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第一章概率論的基本概念 2 樣本空間、隨機(jī)事件1 事件間的關(guān)系A(chǔ) B則稱事件B包含事件A，指事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生Aj B =x X，A或XE B稱為事件A與事件B的和事件，指當(dāng)且僅當(dāng)A , B中 至少有一個發(fā)生時，事件力8發(fā)生4cB =x X W A且XE B稱為事件A與事件B的積事件，指當(dāng)A , B同時 發(fā)生時，事件AB發(fā)生A- B=xx乏A且x世B稱為事件A與事件B的差事件，指當(dāng)且僅當(dāng)A發(fā) 生、B不發(fā)生時，事件A B發(fā)生4 8=：，則稱事件A與B是互不相容的，或互斥的，指事件A與事件B不能同 時發(fā)生，基本事件是兩兩互不相容的人8 = 5且人B：，則稱事件A與事件B互

2、為逆事件，又稱事件A與事件B互為對立事件2 運(yùn)算規(guī)則交換律AB = BAA-B = B*A結(jié)合律(A B) C = A (B C) (A - B)C = A(B C)分配律 A_( B C)二(A - B r (A - C)A-(BC) =(A- B)(A- C)德摩根律A=A-BA-B = AB3 3 .頻率與概率定義在相同的條件下，進(jìn)行了 n次試驗(yàn)，在這n次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)nA稱為事件A發(fā)生的頻數(shù)，比值nA： n稱為事件A發(fā)生的頻率概率：設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，S是它的樣本空間，對于E的每一事件A賦予一個實(shí)數(shù)，記為P( A),稱為事 件的概率1 概率P(A)滿足下列條件：(1)非負(fù)性：對于

3、每一個事件A 0乞P(A)乞1(2)規(guī)范性：對于必然事件S P(S) =1(3)可列可加性：設(shè)Al,A2,，An是兩兩互不相容的事件，有P( Ak)/k P(Ak)(n可 k jk 二以取：)2 .概率的一些重要性質(zhì)：(i) P()=。nn(ii )若人，A?,., An是兩兩互不相容的事件，則有P(Ak)二二P(Ak) ( n可以?。?k4k4(iii )設(shè) A, B 是兩個事件若 AB，貝 UP(B_A)=P(B)_P(A) , P(B) _ P(A)(iv)對于任意事件A, P(A) 1(v)P(Aj=1P(A)(逆事件的概率)(vi)對于任意事件 A, B 有 P(A- B)二 P(A

4、) P(B)- P(AB) 4等可能概型(古典概型)等可能概型：試驗(yàn)的樣本空間只包含有限個元素，試驗(yàn)中每個事件發(fā)生的可能性相同若事件A包含k個基本事件，即AhgjUgziU-Ugk,里h, i-Jk是1,2,n中某k個不同的數(shù)，則有/fkA包含的基本事件數(shù)P 3 =衛(wèi)二$中基本事件的總數(shù) 5 ,條件概率(1) 定義：設(shè)A,B是兩個事件,且P(A) 0，稱P(B|A)二為事件A發(fā)生的條P(A)件下事件B發(fā)生的條件概率(2) 條件概率符合概率定義中的三個條件b非負(fù)性：對于某一事件B，有P(B | A) 一。2。規(guī)范性:對于必然事件S, P(S|A) =13可列可加性：設(shè)Bi,B2,是兩兩互不相容的

5、事件，則有000P(UBA)二遲 P(Bi A ) =1iT(3) 乘法定理設(shè)P(A) 0，則有P(AB) =P(B)P(A| B)稱為乘法公式n(4)全概率公式： P(A)=v P(Bj)P(A|Bj)1貝葉斯公式：P(Bk|A)P(B(A闞E P(Bi)P(A|Bi)i4 6 .獨(dú)立性定義設(shè)A , B是兩事件，如果滿足等式P(AB) =P(A)P(B)，則稱事件A,B相互獨(dú)立定理一設(shè)A，B是兩事件，且P(A) . 0,若A，B相互獨(dú)立，則P(B|A) = PB定理二若事件A和B相互獨(dú)立，則下列各對事件也相互獨(dú)立：a與B,A與B,A與B第二章隨機(jī)變量及其分布 1隨機(jī)變量定義設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空

6、間為s二e.X=X(e)是定義在樣本空間S上的實(shí)值單值函數(shù)，稱X =X(e)為隨機(jī)變量 2離散性隨機(jī)變量及其分布律1 .離散隨機(jī)變量：有些隨機(jī)變量，它全部可能取到的值是有限個或可列無限多個，這種隨機(jī)變量稱 為離散型隨機(jī)變量0P(X=Xk)二 Pk滿足如下兩個條件(1) Pk- 0 ,( 2) V Pk=lkT2.三種重要的離散型隨機(jī)變量(1)分布設(shè)隨機(jī)變量X只能取0與1兩個值，它的分布律是P(x二k) =pk(1-p)1k, k =0,1(0 : : : p V 1)，則稱X服從以P為參數(shù)的分布或兩點(diǎn)分布。(2)伯努利實(shí)驗(yàn)、二項(xiàng)分布設(shè)實(shí)驗(yàn)E只有兩個可能結(jié)果：A與A，則稱E為伯努利實(shí)驗(yàn)設(shè)P(A)

7、二p(0： : : p1),n重伯努利實(shí)驗(yàn)。此時P(A) =1中.將獨(dú)立重復(fù)的進(jìn)行“次，則稱這一串重復(fù)的獨(dú)立實(shí)驗(yàn)為n k n.kP（x =k）=24,卜=0,1,2,.11滿足條件（1）pA0，送Pk=l注意Ik. J心到I n b%n-k是二項(xiàng)式(p . q)n的展開式中出現(xiàn)pk的那一項(xiàng)，我們稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布。(3 )泊松分布設(shè)隨機(jī)變量X所有可能取的值為0,1,2，而取各個值的概率為P(Xzik)，k=0,1,2-,其中，.0是常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為的泊松分布記為k!X : : ( ) 3隨機(jī)變量的分布函數(shù)定義設(shè)X是一個隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，函數(shù)F(x) = PXiX

8、x,: x ：稱為X的分布函數(shù)分布函數(shù)F(x)二P(X乞x),具有以下性質(zhì)(1)F(x)是一個不減函數(shù)(2 )OEF(x)，且 R-： ： ) =0,F(： ： )-1(3) F(xO) = F(x),即 F(x)是右連續(xù)的 4連續(xù)性隨機(jī)變量及其概率密度連續(xù)隨機(jī)變量：如果對于隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F (x)，存在非負(fù)可積函數(shù)f(X)，使X對于任意函數(shù)X有F(x)二f (t)出,則稱X為連續(xù)性隨機(jī)變量,其中函數(shù)f(x)稱為X4oO的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度1概率密度f(X)具有以下性質(zhì)，滿足(1) f(x)-O, (2).f(x)dx=1 ; -OQ(3) P(X1 蘭 X 蘭 X2) = J

9、f (x)dx；(4)若 f (x)在點(diǎn) x 處連續(xù)，則有 F(x)=f(x) xi(1)均勻分布若連續(xù)性隨機(jī)變量X具有概率密度均勻分布記為x U (a b)(2)指數(shù)分布2,三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量-L a 丈 x bf(x)二b-a，則成X在區(qū)間(a,b)上服從| 0，苴他. 其中二0為常數(shù)，則稱X，其他若連續(xù)性隨機(jī)變量x的概率密度為f(x)二7e0服從參數(shù)為V的指數(shù)分布。(3 )正態(tài)分布若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為f (x)=1 (x_We2坊，比 x ,其中L，二(二.0)為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為L，二的正態(tài)分布或高斯分布，記為2X N)特別，當(dāng)-0, ；時稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分

10、布 5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布定理設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度fx(x),-： ： : X ：,又設(shè)函數(shù)g(x)處處可導(dǎo)且恒有g(shù)(x) 0，則Y= g(X)是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為rfx h(y)h (y)A a y P，Y(y)=J0 ，其他第三章多維隨機(jī)變量 1二維隨機(jī)變量定義設(shè)E是一個隨機(jī)試驗(yàn)，它的樣本空間是S二e.X=X(e)和Y=Y(e)是定義在s上的隨機(jī)變量，稱X =X(e)為隨機(jī)變量，由它們構(gòu)成的一個向量(X，Y)叫做二維隨機(jī)變量設(shè)(X，Y)是二維隨機(jī)變量，對于任意實(shí)數(shù)x，y，二元函數(shù)F(x，y) = P(X Ax)-(Yy)記成PX乞x，丫丫稱為二維隨機(jī)變量小，丫)的分布函數(shù)如果

11、二維隨機(jī)變量(X，Y)全部可能取到的值是有限對或可列無限多對，則稱(X，Y )是離散型的隨機(jī)變量。我們稱P(X二Xj, Y二%)二Pj，i，j =1,2,為二維離散型隨機(jī)變量(x，Y)的 分布律。對于二維隨機(jī)變量(X，丫)的分布函數(shù)F (X，y),如果存在非負(fù)可積函數(shù)f(x ,y),yx使對于任意x, y有F f x, y )=jAfAf (u, v) dudv,則稱(X , Y)是連續(xù)性的隨機(jī)變量，函數(shù)f fx，y)稱為隨機(jī)變量fX，Y)的概率密度，或稱為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率密度。 2邊緣分布二維隨機(jī)變量f X，Y )作為一個整體,具有分布函數(shù)Ffx, y) 而X和Y都是隨機(jī)變量，fX

12、Y)各自也有分布函數(shù),將他們分別記為Fx(x), FY(y)，依次稱為二維隨機(jī)變量關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù)。Pi八 Pij二 PX 二分別稱Pi P d為(X , Y )關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布律。fx(x)二f (x, y) dyMy)二.f (x, y) dx分別稱 fx(x),fY(y)為X, Y關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣概率密度。 3條件分布定義設(shè)(X，Y)是二維離散型隨機(jī)變量，對于固定的j，若 PY 二 yj 0,則稱PX二人丫二比PX =Xj ,Y = y： - 1=)=12一.為在丫二為條件下PY = yip 0 1則稱 -為在Y=y的條件下X的條件fy(y)概率密度,記為fx |

13、Y (x y)= 1 J(y) 4相互獨(dú)立的隨機(jī)變量定義設(shè)F(X, y)及Fx(x) , Fy(y)分別是二維離散型隨機(jī)變量(X, Y)的分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù)若對于所有x,y有PX二X, 丫二y二PX乞xPY v y，即Fx,y =Fx(x)FY(y),則稱隨機(jī)變量X和Y是相互獨(dú)立的。對于二維正態(tài)隨機(jī)變量(X , Y ), X和Y相互獨(dú)立的充要條件是參數(shù)卜=0 5兩個隨機(jī)變量的函數(shù)的分布1 , Z=X+Y的分布設(shè)(X,Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量,它具有概率密度f(X, y) .則及=X+Y仍為連續(xù)性隨機(jī)變量，其概率密度為fxY(z)二 _f(z-y, y) dy或fx 丫二_._f(x,z-x

14、)dx又若X和Y相互獨(dú)立，設(shè)(X , Y )關(guān)于X , Y的邊緣密度分別為fx (x), fY (y)則qQqQfxY(z)二fx(z-y) fY(y)dy 和 fx Y(2) fx(x) ”(z-x)dx 這兩個公式稱為fx,”的卷積公式有限個相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布Y2 , Z 的分布、Z二XY的分布 X設(shè)(X,Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，它具有概率密度f (x, y),Z =XY仍為連續(xù)性隨機(jī)變量其概率密度分別為fY x (z) = 0X f (x, xz)dxOQ 1 zfxY(z) = A； Xf(x? X)dx又若X和丫相互獨(dú)立，設(shè)(X，丫)關(guān)于X, 丫的邊緣

15、密度分別為 fx (x), f(y)則可化為 fYx(z) ux (x) fY (xz)dx87fx(x)fY(J)dxfxY(Z)二3M = maxX , 丫及 N = minX,Y的分布設(shè)X, Y是兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù)分別為Fx (x), Fy (y)由于M = maxX , 丫不大于z等價于X和Y都不大于z故有PM z二PX 乙Y z又由于X和Y相互獨(dú)立，得到M = maxX , 丫的分布函數(shù)為Fmax(z)二FxFN二min X ,Y的分布函數(shù)為Fmin=1 -1FxF|第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征 1數(shù)學(xué)期望Q0定義設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為PX二Xk二Pk, k=l

16、,2，若級數(shù)7 XkPk絕對心Q0收斂,則稱級數(shù)vXkPk的和為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記為E(X),即E(X)二懸XkPk k 1iqQ設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為f (x)，若積分.xf(x)dx絕對收斂，則稱積分xf(x)dx的值為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記為E(X)，即E(X)二xf(x)dx j二甘二定理 設(shè)Y是隨機(jī)變量X的函數(shù)Y=g(X)(g是連續(xù)函數(shù))Q0(i)如果X是離散型隨機(jī)變量，它的分布律為P X=Xk工p/k=l,2,若ag(Xk)PkoO絕對收斂則有 E(Y)二 E(g(X) = v g(x0PkkA(i i)如果X是連續(xù)型隨機(jī)變量,它的分概率密度為f(X)，若“g(x)

17、 f (x)dx絕對收斂則-=o有 E(Y)二 E(g(X) = ： g(x)f(x)dx數(shù)學(xué)期望的幾個重要性質(zhì)1設(shè)C是常數(shù)，則有E(C)二C2設(shè)X是隨機(jī)變量，C是常數(shù)，則有E(CX)二CE(X)3設(shè)X,Y是兩個隨機(jī)變量，則有E(X YAE(X) E(Y)；4設(shè)X, Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則有 E(XY)二E(X)E(Y) 2方差定義設(shè)X是一個隨機(jī)變量，若E k - E(X) .0存在，則稱E X-E(X)f為X的方差，記為D(x)即D (x) = E (X-E(X)F)，在應(yīng)用上還引入量,D(x)，記為匚(x),稱為標(biāo)準(zhǔn)差或均方差。222D(X) =E(X E(X)=E(X2)(EX)2方

18、差的幾個重要性質(zhì)1設(shè)C是常數(shù)，則有D(C)=O,22設(shè)X是隨機(jī)變量，C是常數(shù)，則有D(CX)二CD(X) , D(X CH D(X)3 設(shè) X,Y 是兩個隨機(jī)變量，則有 D(X 丫)二 D(X) D(Y) 2E (X- E(X)(Y - E(Y)特別，若X,Y相互獨(dú)立，則有D(X 丫八D(X) D(Y)2,則對于任意正數(shù)；，不等式4D(X) =0的充要條件是X以概率1取常數(shù)E(X)，即P X二E(X) =1切比雪夫不等式：設(shè)隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望E(X)-;PX-4蘭靳蘭與成立名 3協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)定義量EX_E(X)丫_E(丫)稱為隨機(jī)變量X與Y的協(xié)方差為Cov(X,Y)，即Cov(X,Y)

19、 =E(X . E(X)(Y - E(Y) = E(XY) - E (X )E(Y)Cov(X，Y)而rxy稱為隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù)Jd(x) TW+ +對于任意兩個隨機(jī)變量X和Y, D(X Y) = D(X)+D(Y) 2Cov(X,Y)協(xié)方差具有下述性質(zhì)lCov(X,Y)二 Cov(Y,X), Cov(aX,bY)二 abCov(X,Y)2Cov(X rX2,YACov(Xi,Y) CovgY)定理1* 0XkeAP(X =k)=,k =0,1,2k!幾何分布OCp V1P(x =k)=(1 -p)-p,k=1,2,. p1 -pp2均勻分布a cbf 1一、 ,a c x cbf(x) = 0K), eA9 ,x