[用二次函數(shù)的一個(gè)性質(zhì)證明一類無(wú)理不等式]二次函數(shù)6種基本圖像

1、 用二次函數(shù)的一個(gè)性質(zhì)證明一類無(wú)理不等式 二次函數(shù) 6 種基本圖像摘 要 : 本文用二次函數(shù)的一個(gè)美妙性質(zhì)解決了一類無(wú)理不等式的證明 , 并對(duì)相應(yīng)類型的不等式進(jìn)行了推廣 . 關(guān)鍵詞 : 二次函數(shù) ; 無(wú)理不等式貴刊曾刊登了一篇用“1”巧證了一類無(wú)理不等式的文章 , 讀后頗受啟發(fā), 但證明中的技巧性正如文中所言 , 的確很強(qiáng) , 學(xué)生不易駕馭. 經(jīng)過(guò)筆者研究發(fā)現(xiàn), 這類無(wú)理不等式的證明可以用二次函數(shù)的一個(gè)性質(zhì)輕松解決, 而且還可以將其推廣至一般情形 . 其實(shí)這些不等式可統(tǒng)一寫成形如w C(其中xi 6 R+,i=1,2, nABC 6R+,xi=s) 的形式 . 首先 , 我們給出眾所周知的二次

2、函數(shù)的性質(zhì) .命題 設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0), 如果對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,f(x) > 0恒成立,那么必有 xW 0成立.例 1 已知 a,b,c 6 R+,且 a+b+c=1,求證:+w.證明令=乂尸y,=z,+=s,則有 x2+y2+z2=7.構(gòu)造函數(shù) f(t)=3t2+2(x+y+z)t+(x2+y2+z2),貝U f=(t+x)2+(t+y)2+(t+z)2> 0對(duì)一切實(shí)數(shù)t均成立,故 =4(x+y+z)2-12(x2+y2+z2) < 0,即 4s2-12 乂 7< 0,從而 s< .所以+w.注此題原形最早出現(xiàn)在1980年列寧格勒

3、數(shù)學(xué)競(jìng)賽題中，原題如 下：設(shè) a,b,c,d 6 R+,a+b+c+d=1,求證:+0,b>0,且 a+b=1,求證:+ <2.證明令=x,=y,+=s,貝U x2+y2=2.構(gòu)造二次函數(shù) f(t)=2t2+2(x+y)t+(x2+y2),則f=(t+x)2+(t+y)2A 0對(duì)一切實(shí)數(shù)t均成立，從而=4(x+y)2-8(x2+y2) < 0.所以 4s2-8X2W0,從而 s<2,即+W2.此例可以推理為如下定理.定理 2 設(shè) xi 6 R+,i=1,2, ,n,m 6 Z+,mA2,xi=1,證明設(shè)=ti(i=1,2, ,n),=s,則t=1+.構(gòu)造二次函數(shù)f(x)

4、=nx2+2xti+t,則易知f(x)=(x+ti)2 n 0對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，故 =4ti2-4nt < 0,即 4s2-4n1 + <0,從而有s<,即w.例 3 已知 a,b,c R+,且 a+b+c=2,求證:+w .證明"v =x,=y,=z,+=s,則有x2+y2+z2=2.構(gòu)造函數(shù)f(t)=3t2+2(x+y+z)t+(x2+y2+z2),則f=(t+x)2+(t+y)2+(t+z)2n。對(duì)一切實(shí)數(shù)t均成立，故A =4(x+y+z)2-12(x2+y2+z2) < 0,即 4s2-12 X2< 0,從而 s< .所以+w.將此題推理

5、得到如下定理定理 3 設(shè) xi G R+J=1,2,nxi=s,則 w,證明設(shè)=ti(i=1,2, ,n),=r,則t=s.構(gòu)造函數(shù)f(x 尸 nx2+2xti+t,則易知f(x)=(x+ti)2注0對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，故A =4ti2-4nt < 0,即 4r2-4ns < 0,從而 r < ,用此定理的三元情形可以證明三角形中的一些含根式的不等式我們約定 a,b,c;p,R,r;ha,hb,hc;la,lb,lc;A,B,C分別表示 ABC勺三邊長(zhǎng) , 半周長(zhǎng)、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑 , 高線長(zhǎng) , 中線長(zhǎng)和三個(gè)內(nèi)角.(1)+<(1990年第16屆全俄IMO試題).

6、簡(jiǎn)證由條件及定理3 有+ < =.(2) 設(shè)凸n邊形的邊長(zhǎng)分別為a1,a2,an,且ai=2p,則？搖w.?搖(3) !2w.?搖簡(jiǎn)證由定理3及恒等式匯sinA=即可得證.(4) Z2W4.?搖簡(jiǎn)證由定理3及恒等式匯tantan=1即可得證.簡(jiǎn)證由定理3及熟知的不等式匯haw p即可得證.(6) p.?搖？搖?搖?搖？搖？搖簡(jiǎn)證由定理3及著名的Gerretsen不等式p2A 16Rr-5r2和p227r2 即可得證 .(7) 3.簡(jiǎn)證由定理3及熟知的不等式匯w 1+即可得證.將定理 1 、 2、 3 合并起來(lái)再推理會(huì)得到定理4.定理 4 設(shè) xi 6 R+,i=1,2, ,n,xi=s,A,B R+,則w.證明設(shè)=ti(i=1,2, ,n),=r,則 t=As+nB.構(gòu)造函數(shù)f(x)=nx2+2xti+t, 則易知f(x)=(x+ti)2 A0對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，故 =4ti2-4nt < 0,即 4r2-4n(As+nB) &