復(fù)數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納及習(xí)題

1、復(fù) 數(shù).知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖二.復(fù)數(shù)中的難點(diǎn)(1)復(fù)數(shù)的向量表示法的運(yùn)算.對(duì)于復(fù)數(shù)的向量表示有些學(xué)生掌握得不好，對(duì)向量的運(yùn)算 的幾何意義的靈活掌握有一定的困難.對(duì)此應(yīng)認(rèn)真體會(huì)復(fù)數(shù)向量運(yùn)算的幾何意義，對(duì)其靈活地 加以證明.(2)復(fù)數(shù)三角形式的乘方和開(kāi)方.有部分學(xué)生對(duì)運(yùn)算法則知道，但對(duì)其靈活地運(yùn)用有一定 的困難，特別是開(kāi)方運(yùn)算，應(yīng)對(duì)此認(rèn)真地加以訓(xùn)練 .(3)復(fù)數(shù)的輻角主值的求法.(4)利用復(fù)數(shù)的幾何意義靈活地解決問(wèn)題.復(fù)數(shù)可以用向量表示，同時(shí)復(fù)數(shù)的模和輻角都 具有幾何意義，對(duì)他們的理解和應(yīng)用有一定難度，應(yīng)認(rèn)真加以體會(huì).三.復(fù)數(shù)中的重點(diǎn)(1)理解好復(fù)數(shù)的概念，弄清實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)的不同點(diǎn).(2)熟練掌握復(fù)數(shù)

2、三種表示法，以及它們間的互化，并能準(zhǔn)確地求出復(fù)數(shù)的模和輻角.復(fù)數(shù)有代數(shù)，向量和三角三種表示法.特別是代數(shù)形式和三角形式的互化，以及求復(fù)數(shù)的模和輻 角在解決具體問(wèn)題時(shí)經(jīng)常用到，是一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容 .(3)復(fù)數(shù)的三種表示法的各種運(yùn)算，在運(yùn)算中重視共腕復(fù)數(shù)以及模的有關(guān)性質(zhì).復(fù)數(shù)的運(yùn)算是復(fù)數(shù)的主要內(nèi)容，掌握復(fù)數(shù)各種形式的運(yùn)算，特別是復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何意義更是重點(diǎn)內(nèi)容.(4)復(fù)數(shù)集中一元二次方程和二項(xiàng)方程的解法.四.基礎(chǔ)知識(shí)1.復(fù)數(shù)的定義：設(shè)i為方程x2=-1的根，i稱(chēng)為虛數(shù)單位，由i與實(shí)數(shù)進(jìn)行加、減、乘、除 等運(yùn)算。便產(chǎn)生形如a+bi (a,b CR)的數(shù)，稱(chēng)為復(fù)數(shù)。所有復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合稱(chēng)復(fù)數(shù)集。通常 用C來(lái)表

3、示。(1) z=a+bi R b=0 ( a,b R) z=Zz2>0；(2) z=a+bi 是虛數(shù)bw0(a, bC R);(3) z=a+bi 是純虛數(shù) a=0 且 bw0(a,b C R) z+z = 0(zw0)z2<0；(4) a+bi= c+di a=c 且 c=d(a,b,c,d R)；2,復(fù)數(shù)的幾種形式。對(duì)任意復(fù)數(shù)z=a+bi (a,b R), a稱(chēng)實(shí)部記作Re(z),b稱(chēng)虛部記作Im(z). z=ai稱(chēng)為代數(shù)形式，它由實(shí)部、虛部?jī)刹糠謽?gòu)成；若將 (a,b)作為坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)，那么 z與坐標(biāo)平面唯一一個(gè)點(diǎn)相對(duì)應(yīng)，從而可以建立復(fù)數(shù)集與坐標(biāo)平面內(nèi)所有的點(diǎn)構(gòu)成的集合之

4、間 的一一映射。因此復(fù)數(shù)可以用點(diǎn)來(lái)表示，表示復(fù)數(shù)的平面稱(chēng)為復(fù)平面，x軸稱(chēng)為實(shí)軸，y軸去掉原點(diǎn)稱(chēng)為虛軸，點(diǎn)稱(chēng)為復(fù)數(shù)的幾何形式；如果將(a,b)作為向量的坐標(biāo)，復(fù)數(shù)z又對(duì)應(yīng)唯一一個(gè)向量。因此坐標(biāo)平面內(nèi)的向量也是復(fù)數(shù)的一種表示形式，稱(chēng)為向量形式3.共腕與模，若z=a+bi , (a,b C R)，則z a-bi稱(chēng)為z的共腕復(fù)數(shù)。模與共腕的性質(zhì)有：(1)皂；(5)Iziz2I IziII z2I ；z2/c、/ c、 -I 12ziziz2ziz2 ; (2)ziz2乙 z2 ; (3)z z|z|; (4) z2(6)IJ ；(7) IIziI-Iz2II<Izi±z2I<Iz

5、iI+Iz 2I ； (8) Izi+z2I2+Izi-z2I2=2IziI2+2Iz2I2；z2I z2 Ir r .1，一 1(9)右 IzI=i，則 z 。z4,復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則：(i)按代數(shù)形式運(yùn)算加、減、乘、除運(yùn)算法則與實(shí)數(shù)范圍內(nèi)一致，運(yùn)算結(jié)果可以通過(guò)乘以共腕復(fù)數(shù)將分母分為實(shí)數(shù)；(2)按向量形式，力口、減法滿足平行四邊形和三角形法則；復(fù)數(shù)的代數(shù)形式及其運(yùn)算：設(shè) zi= a + bi , z 2= c + di ( a,b,c,d C R),則：(1) z i±z2 = ( a + b) ± ( c + d)i ；(2) zi. z2 = ( a+bi ) (c+di

6、) = (ac-bd) + ( ad+bc) i ； z-z2 = (a bi)仁di)(c di )(c di)ac bd-272 c dbc ad .(Z2* 0)；4n 3.4n .4n i .4 2.4n 3i,i i； i i i i 0;幾個(gè)重要的結(jié)論:(i i)2 2i(2) i 性質(zhì)：T=4; i4ni,i4nii,i4n2i；-ii ii iz-o；(4)一i；一zi ii i運(yùn)算律：(i) zm znzi z2 ；(亙)亙 z2z2zmn；(2)(zm)n zmn；(3)(zi z2)m zimz2m(m,n N)；共腕的性質(zhì)：(ziz2)ziz2 ；zz2模的性質(zhì)：II

7、zi I I z2 II Iziz2I IziI Iz2I; (2) Izz2I IziIIz2I ; I 亙 ILz”；z2 I z2 InnI z I |z| ；5 .復(fù)數(shù)相等的充要條件：兩個(gè)復(fù)數(shù)實(shí)部和虛部分別對(duì)應(yīng)相等。6 .復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)的充要條件是z=z；z是純虛數(shù)的充要條件是：z+z=0 （且zw0）.五.習(xí)題2.3.已知a C R,A.復(fù)數(shù)若(1 -ai )(3 +2i)為虛數(shù),32i1 + 2i (i3B.2 C23 D.是虛數(shù)單位）的實(shí)部是（A.2 B . 2 C. 1 D . 1 5555復(fù)數(shù),z是實(shí)數(shù)的充要條件是（A. z z4.若復(fù)數(shù)z滿足zA.3 4i1 2i3 4i5.

8、1 、.3i(、3 i)A.1.3,- i446.2z| (z 1)A.M 實(shí)數(shù)7.已知復(fù)數(shù)z1bi ,z2則a的值為（23）z2為實(shí)數(shù)3.i42.z 1,則虛數(shù)1 ai (si, bD. z4i1 Ji22實(shí)數(shù)茴M復(fù)數(shù)3.i2A .點(diǎn)（3,2）與點(diǎn)（1,1）之間的距離點(diǎn)（3,2）與點(diǎn)（11）之間的距離C .點(diǎn)（3,2）與原點(diǎn)的距離D 點(diǎn)（3,1）與點(diǎn)（2,1）之間的距離9.已知 z C , |z 2 1 ,則z 2 5i的最大值和最小值分,別是（）A. 河1和歷1C . 5點(diǎn)和商d . J39和310.設(shè) 0<8 <2", (a +乎i )(1 i)=cos8 +乎i

9、,貝 U 9 的值為()A.B.C.7tD.7t11.若x C,則方程x 1 3i x的解是()A. 1 ®B . xi 4, X21 C. 4 3i D.2®222212 .滿足條件z i |z 2應(yīng)的復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡.是 ()A.雙曲線 B.雙曲線的一支. C .兩條射線D .一條射線13 .設(shè)A, B為銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，則復(fù)數(shù) z (cotB tan A) (tanB cot A)i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面()A.第一象限.B.第二象限 C .第三象限D(zhuǎn).第四象限14 .已知復(fù)數(shù)z a 27a 6 (a2 5a 6)i(a R),那么當(dāng) a=時(shí),z是實(shí)數(shù)；

10、當(dāng) a 1a 時(shí),z 是虛數(shù)；當(dāng) a=時(shí),z 是純虛數(shù)。15 .若 f(z) 1 z(z C),已知 z, 2 3i , z2 5 i ,則 f 幺.z216 .復(fù)數(shù)z (m2 3m 2) (m2 2m 8)i的共腕復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第一象限內(nèi)，則實(shí)數(shù)m 的取范圍是.17 .已知|z 1,則復(fù)數(shù) 2z 3 4i ,對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是 .18 .設(shè)z log2(m2 3m 3) i log2(m 3)(m R),若z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線 x 2y 1 。上，則 m的值 是.19 .已知向量OZ1對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是5 4i ,向量OZ2對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是 5 4i,則OZ1 +OZ2對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是 20 .復(fù)數(shù)z1 = 3 + 4i , z2=0, z3=c+(2c 6)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為 A, B, C若/BAC 是鈍角，則