江蘇省蘇南四校2012-2013學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期12月月考試卷（含解析）蘇教版

1、2012-2013學(xué)年江蘇省蘇南四校高三（上）12月月考數(shù)學(xué)試卷一、填空題1（5分）已知集合A=sin90°，cos180°，B=x|x2+x=0，則AB=1考點(diǎn)：交集及其運(yùn)算分析：首先化簡集合A和B，然后根據(jù)交集的定義得出結(jié)果解答：解：集合A=sin90°，cos180°=1，1B=x|x2+x=0=0，1AB=1故答案為：1點(diǎn)評：此題考查了交集的定義，正確化簡集合A和B是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題2（5分）不等式ax2+bx+c0的解集是（，2）（1，+），則a：b：c=1：3：2考點(diǎn)：一元二次不等式的解法專題：不等式的解法及應(yīng)用分析：利用一元二次不等式

2、的解集與相應(yīng)的方程的實(shí)數(shù)根之間的關(guān)系即可得出解答：解：不等式ax2+bx+c0的解集是（，2）（1，+），a0，且2，1是方程ax2+bx+c=0的解，解得b=3a，c=2a0，a：b：c=1：3：2故答案為1：3：2點(diǎn)評：熟練掌握一元二次不等式的解集與相應(yīng)的方程的實(shí)數(shù)根之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵3（5分）設(shè)復(fù)數(shù)z=（a2a）+2ai（aR）為純虛數(shù)，則a=1考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的基本概念專題：計(jì)算題分析：給出的復(fù)數(shù)z=（a2a）+2ai（aR）為純虛數(shù)，則該復(fù)數(shù)的實(shí)部等于0且虛部不等于0，然后列式計(jì)算a的值解答：解：由復(fù)數(shù)z=（a2a）+2ai（aR）為純虛數(shù)，則，解得：a=1故答案為1點(diǎn)評：本題考查了復(fù)

3、數(shù)的基本概念，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的充要條件是實(shí)部等于0且虛部不等于0，此題是基礎(chǔ)題4（5分）函數(shù)y=的定義域?yàn)椋键c(diǎn)：函數(shù)的定義域及其求法專題：計(jì)算題分析：求已知函數(shù)的定義域，則需要根式內(nèi)部的對數(shù)式大于等于0，然后運(yùn)用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性去掉對數(shù)符號求解關(guān)于x的一次不等式即可，要注意保證對數(shù)式的真數(shù)大于0解答：解：要使原函數(shù)有意義，則，即，因?yàn)楹瘮?shù) 為減函數(shù)，所以，03x11，所以，所以，原函數(shù)的定義域?yàn)楣蚀鸢笧辄c(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的定義域及其求法，考查了對數(shù)不等式的解法，解答此題的關(guān)鍵是熟練對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，解答此題時(shí)學(xué)生易忽略真數(shù)大于0而導(dǎo)致解題出錯(cuò)，此題是基礎(chǔ)題5（5分）（2011江蘇模擬）已知、

4、表示兩個(gè)不同的平面，m為平面內(nèi)的一條直線，則“”是“m”的必要不充分條件考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷；空間中直線與平面之間的位置關(guān)系；平面與平面之間的位置關(guān)系分析：直線和平面垂直，平面和平面垂直的判定，二者的關(guān)系搞清楚，解答：解：由平面與平面垂直的判定定理知，m為平面內(nèi)的一條直線，如果m，則；反過來m為平面內(nèi)的一條直線，則“”可能有m，m=p，可能有m三種情況所以“”是“m”的必要不充分條件故答案為：必要不充分點(diǎn)評：考查定理的理解，分析問題時(shí)：考慮要全面，有時(shí)可以借助實(shí)物，動(dòng)手動(dòng)腦，簡化問題6（5分）200輛汽車通過某一段公路時(shí)的時(shí)速的頻率分布直方圖如圖所示，則時(shí)速在50，60的汽

5、車大約有60輛考點(diǎn)：頻率分布直方圖專題：圖表型分析：由已知中的頻率分布直方圖為200輛汽車通過某一段公路時(shí)的時(shí)速的頻率分布直方圖，我們可得到樣本容量，再由圖中分析出時(shí)速在50，60的頻率，即可得到該組數(shù)據(jù)的頻數(shù)，進(jìn)而得到答案解答：解：由已知可得樣本容量為200，又?jǐn)?shù)據(jù)落在區(qū)間的頻率為0.03×10=0.3時(shí)速在50，60的汽車大約有200×0.3=60故答案為60點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是頻率分布直方圖，其中根據(jù)已知中的頻率分布直方圖結(jié)合頻率=矩形高×組距計(jì)算各組的頻率是解答此類問題的關(guān)鍵7（5分）已知某算法的流程圖如圖所示，則輸出的結(jié)果是5考點(diǎn)：程序框圖專題：圖表

6、型分析：框圖首先給變量a和b賦值，然后執(zhí)行用a+b替換c，用b替換a，用c替換b，再判斷b5是否成立，成立則繼續(xù)進(jìn)入循環(huán)，不成立則輸出c的值解答：解：框圖首先給變量a、b賦值，a=1，b=2；然后用a+b=1+2=3替換c，用2替換a，用3替換b，判斷35成立；執(zhí)行用a+b=2+3=5替換c，用3替換a，用5替換b，判斷55不成立；則算法結(jié)束，輸出c的值為5故答案為5點(diǎn)評：本題考查了程序框圖，考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)，雖然框圖先執(zhí)行了一次循環(huán)體，實(shí)則是當(dāng)型循環(huán)，原因是判斷框中的條件滿足時(shí)執(zhí)行循環(huán)體，不滿足時(shí)跳出循環(huán)，此題是基礎(chǔ)題8（5分）設(shè)Sn是等比數(shù)列an的前n項(xiàng)的和，若a3+2a6=0，則的值是考點(diǎn)

7、：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；等比數(shù)列的性質(zhì)專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列分析：由已知利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求q3，然后利用等比數(shù)列的求和公式化簡=1+q3，代入即可求解解答：解：a3+2a6=0，=即q3=1+q3=1故答案為：點(diǎn)評：本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題9（5分）函數(shù)f（x）=sinx+cosx的圖象向左平移m（m0）個(gè)單位后，與y=cosxsinx的圖象重合，則實(shí)數(shù)m的最小值為考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（x+）的圖象變換；兩角和與差的正弦函數(shù)專題：計(jì)算題；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)分析：化簡兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式為正弦函數(shù)的形式，按照平移的方法平移，即可得到m的最小值解答

8、：解：函數(shù)f（x）=sinx+cosx=sin（x+），y=cosxsinx=sin（x+），所以函數(shù)至少向左平移個(gè)單位，即m的最小值為：故答案為：，點(diǎn)評：本題考查兩角和的正弦函數(shù)以及三角函數(shù)圖象的平移，考查計(jì)算能力10（5分）一個(gè)質(zhì)地均勻的正四面體（側(cè)棱長與底面邊長相等的正三棱錐）骰子四個(gè)面上分別標(biāo)有1，2，3，4這四個(gè)數(shù)字，拋擲這顆正四面體骰子，觀察拋擲后能看到的數(shù)字若連續(xù)拋擲兩次，兩次朝下面上的數(shù)字之積大于6的概率是 考點(diǎn)：古典概型及其概率計(jì)算公式專題：計(jì)算題分析：本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是拋擲這顆正四面體骰子兩次，共有4×4種結(jié)果，滿足條件的事件是兩次朝下面上的

9、數(shù)字之積大于6，可以列舉出這種事件，共有6種結(jié)果，根據(jù)古典概型概率公式得到結(jié)果解答：解：由題意知本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是拋擲這顆正四面體骰子兩次，共有4×4=16種結(jié)果，滿足條件的事件是兩次朝下面上的數(shù)字之積大于6，可以列舉出這種事件，（2，4）（3，3）（3，4）（4，3）（4，2）（4，4）共有6種結(jié)果，根據(jù)古典概型概率公式得到P=，故答案為：點(diǎn)評：本題主要考查古典概型，解決古典概型問題時(shí)最有效的工具是列舉，大綱中要求能通過列舉解決古典概型問題，也有一些題目需要借助于排列組合來計(jì)數(shù)11（5分）（2011淮南一模）我們把在平面內(nèi)與直線垂直的非零向量稱為直線的法向量，

10、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，利用求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的方法，可以求出過點(diǎn)A（3，4），且其法向量為的直線方程為1x（x+3）+（2）×（y4）=0，化簡得x2y+11=0類比上述方法，在空間坐標(biāo)系Oxyz中，經(jīng)過點(diǎn)A（1，2，3），且其法向量為的平面方程為 x+2yz2=0考點(diǎn)：歸納推理分析：類比求曲線方程的方法，我們可以用坐標(biāo)法，求空間坐標(biāo)系中平面的方程任取平面內(nèi)一點(diǎn)P（x，y，z），則根據(jù)，即，將A點(diǎn)坐標(biāo)及的坐標(biāo)代入易得平面的方程解答：解：根據(jù)法向量的定義，若為平面的法向量則，任取平面內(nèi)一點(diǎn)P（x，y，z），則PA=（1x，2y，3z），（x1）+2（y2）+（3z）=0即：x+2yz2

11、=0故答案為：x+2yz2=0點(diǎn)評：類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（猜想）由于平面向量與空間向量的運(yùn)算性質(zhì)相似，故我們可以利用求平面曲線方程的辦法，構(gòu)造向量，利用向量的性質(zhì)解決空間內(nèi)平面方程的求解12（5分）數(shù)列an的通項(xiàng)an=n2（cos2sin2），其前n項(xiàng)和為Sn，則S30為470考點(diǎn)：數(shù)列的求和專題：計(jì)算題；等差數(shù)列與等比數(shù)列分析：利用二倍角公式對已知化簡可得，an=n2（cos2sin2）=n2cos，然后代入到求和公式中可得，+32cos2+302cos20，求出 特殊角的三角函數(shù)值之后

12、，利用平方差公式分組求和即可求解解答：解：an=n2（cos2sin2）=n2cos+32cos2+302cos20=+=1+222×32）+（42+5262×2）+（282+292302×2）=（1233）+（4262）+（282302）+（2232）+（5262）+（292302）=2（4+10+16+58）（5+11+17+59）=2×=470故答案為：470點(diǎn)評：本題主要考查了二倍角的余弦公式、分組求和方法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是平方差公式的應(yīng)用13（5分）設(shè)正實(shí)數(shù)x，y，z滿足x+2y+z=1，則的最小值為7考點(diǎn)：平均值不等式專題：不等式的解法及應(yīng)

13、用分析：把式子中的1換成已知條件（x+y）+（y+z）=1，化簡后再利用基本不等式即可解答：解：正實(shí)數(shù)x，y，z滿足x+2y+z=1，=1+=7，當(dāng)且僅當(dāng)，x+y+y+z=1，即，時(shí)，取等號則的最小值為7故答案為7點(diǎn)評：適當(dāng)變形應(yīng)用基本不等式是解題的關(guān)鍵14（5分）對任意xR，函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)存在，若f（x）f（x）且a0則eaf（0）與f（a）的大小關(guān)系為：eaf（0）f（a）（用，之一填空）考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義；不等關(guān)系與不等式專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析：由f（x）f（x）可得f'（x）f（x）0，而由exf（x）f（x）0可判斷函數(shù)exf（x）是單調(diào)遞增函數(shù)，結(jié)合a0可求解答：

14、解：f（x）f（x），f（x）f（x）0，又ex0，exf（x）f（x）0exf（x）exf（x）0而exf（x）=（ex）f（x）+exf（x）=exf（x）+exf（x）0函數(shù)F（x）=exf（x）是單調(diào)遞增函數(shù)，又a0所以F（a）F（0），即eaf（a）e0f（0）=f（0）變形可得：eaf（0）f（a），故答案為：點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算及利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，觀察和利用exf（x）的導(dǎo)函數(shù)的形式是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題二、解答題15（14分）已知向量（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）設(shè)函數(shù)f（x）=（），求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；（3）已知在銳角ABC中，a，b，c分別為角A，B，C

15、的對邊，c=2asin（A+B），對于（2）中的函數(shù)f（x），求f（B+）的取值范圍考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角專題：綜合題；平面向量及應(yīng)用分析：（1）利用向量共線的條件，可得3sinx=cosx，代入，即可得到結(jié)論；（2）利用向量數(shù)量積公式化簡函數(shù)，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，可得f（x）的單調(diào)增區(qū)間；（3）求出A的值，確定B的范圍，化簡函數(shù)，可得函數(shù)的值域解答：解：（1）向量，3sinx=cosx，=；（2）函數(shù)f（x）=（）=（sinx+cosx，2）（sinx，1）=sin2x+sinxcosx2=+sin2x2=sin（）由，可得xf（x）的單調(diào)增

16、區(qū)間為，（kZ）；（3）c=2asin（A+B），sinC=2sinAsinC，sinA=A（0，），A=ABC為銳角三角形，f（B+）=sin2（B+）=sin2B，0sin2B1f（B+）點(diǎn)評：本題考查向量知識的運(yùn)用，考查三角函數(shù)的化簡，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題16（14分）已知函數(shù)f（x）=ax3+bx23x（a，bR）在點(diǎn)（1，f（1）處的切線方程為y+2=0（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）若對于區(qū)間2，2上任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，都有|f（x1）f（x2）|c，求實(shí)數(shù)c的最小值考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)

17、用分析：（1）由題意可得，解得即可（2）利用導(dǎo)數(shù)求出此區(qū)間上的極大值和極小值，再求出區(qū)間端點(diǎn)出的函數(shù)值，進(jìn)而求出該區(qū)間的最大值和最小值，則對于區(qū)間2，2上任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，都對于區(qū)間2，2上任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，都有|f（x1）f（x2）|f（x）maxf（x）min|c，求出即可解答：解：（1）函數(shù)f（x）=ax3+bx23x（a，bR），f（x）=3ax2+2bx3函數(shù)f（x）=ax3+bx23x（a，bR）在點(diǎn)（1，f（1）處的切線方程為y+2=0，切點(diǎn)為（1，2），即，解得f（x）=x33x（2）令f（x）=0，解得x=±1，列表如下：由表格可知：當(dāng)x=1

18、時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值，且f（1）=2；當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值，且f（1）=2又f（2）2，f（2）=2f（x）=x33x在區(qū)間2，2上的最大值和最小值分別為2，2對于區(qū)間2，2上任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，都有|f（x1）f（x2）|f（x）maxf（x）min|=|2（2）|=4c即c得最小值為4點(diǎn)評：熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率和函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值是解題的關(guān)鍵17（14分）（2008楊浦區(qū)二模）建造一條防洪堤，其斷面為等腰梯形，腰與底邊成角為60°（如圖），考慮到防洪堤堅(jiān)固性及石塊用料等因素，設(shè)計(jì)其斷面面積為平方米，為了使堤的上面與兩側(cè)面的水泥用料最省，則斷

19、面的外周長（梯形的上底線段BC與兩腰長的和）要最小（1）求外周長的最小值，此時(shí)防洪堤高h(yuǎn)為多少米？（2）如防洪堤的高限制在的范圍內(nèi)，外周長最小為多少米？考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用專題：綜合題；轉(zhuǎn)化思想分析：（1）利用梯形的面積公式將梯形的上底、下底用h表示；將梯形周長用h表示；利用基本不等式求出周長的最小值（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷出函數(shù)的單調(diào)性；利用函數(shù)的單調(diào)性求出周長的最小值解答：解：（1），AD=BC+2×hcot60°=BC+，解得設(shè)外周長為l，則=；當(dāng)，即時(shí)等號成立外周長的最小值為米，此時(shí)堤高h(yuǎn)為米（2），設(shè)，則=，l是h的增函數(shù)，（米）（當(dāng)h=3時(shí)取得最小值

20、）點(diǎn)評：將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型、利用基本不等式求函數(shù)的最值注意需滿足：一正、二定、三相等；利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值18（16分）設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a，b，cR）滿足下列條件：當(dāng)xR時(shí)，f（x）的最小值為0，且f（x1）=f（x1）恒成立；當(dāng)x（0，5）時(shí)，xf（x）2|x1|+1恒成立（I）求f（1）的值；（）求f（x）的解析式；（）求最大的實(shí)數(shù)m（m1），使得存在實(shí)數(shù)t，只要當(dāng)x1，m時(shí)，就有f（x+t）x成立考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題；函數(shù)解析式的求解及常用方法；二次函數(shù)的性質(zhì)專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析：（1）由當(dāng)x（0，5）時(shí)，都

21、有xf（x）2|x1|+1恒成立可得f（1）=1；（2）由f（1+x）=f（1x）可得二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a，b，cR）的對稱軸為x=1，于是b=2a，再由f（x）min=f（1）=0，可得c=a，從而可求得函數(shù)f（x）的解析式；（3）可由f（1+t）1，求得：4t0，再利用平移的知識求得最大的實(shí)數(shù)m解答：解：（1）x（0，5）時(shí)，都有xf（x）2|x1|+1恒成立，1f（1）2|11|+1=1，f（1）=1；（2）f（1+x）=f（1x），f（x）=ax2+bx+c（a，b，cR）的對稱軸為x=1，=1，b=2a當(dāng)xR時(shí)，函數(shù)的最小值為0，a0，f（x）=ax2+bx+c（a

22、，b，cR）的對稱軸為x=1，f（x）min=f（1）=0，a=cf（x）=ax2+2ax+a又f（1）=1，a=c=，b=f（x）=x2+x+=（x+1）2（3）當(dāng)x1，m時(shí)，就有f（x+t）x成立，f（1+t）1，即（1+t+1）21，解得：4t0而y=f（x+t）=fx（t）是函數(shù)y=f（x）向右平移（t）個(gè)單位得到的，顯然，f（x）向右平移的越多，直線y=x與二次曲線y=f（x+t）的右交點(diǎn)的橫坐標(biāo)越大，當(dāng)t=4，t=4時(shí)直線y=x與二次曲線y=f（x+t）的右交點(diǎn)的橫坐標(biāo)最大（m+14）2m，1m9，mmax=9點(diǎn)評：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，難點(diǎn)在于（3）中m的確定，著重考查二次函數(shù)

23、的性質(zhì)與函數(shù)圖象的平移，屬于難題19（16分）（2010鹽城一模）已知O：x2+y2=1和點(diǎn)M（4，2）（）過點(diǎn)M向O引切線l，求直線l的方程；（）求以點(diǎn)M為圓心，且被直線y=2x1截得的弦長為4的M的方程；（）設(shè)P為（）中M上任一點(diǎn)，過點(diǎn)P向O引切線，切點(diǎn)為Q試探究：平面內(nèi)是否存在一定點(diǎn)R，使得為定值？若存在，請舉出一例，并指出相應(yīng)的定值；若不存在，請說明理由考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系專題：綜合題分析：（）找出圓的圓心坐標(biāo)和半徑，設(shè)切線方程的斜率為k，由M的坐標(biāo)和k寫出切線l的方程，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到直線l的距離d讓d等于半徑r得到關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，

24、寫出直線l的方程即可；（）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求出M到已知直線的距離d，然后利用勾股定理即可求出圓M的半徑，根據(jù)圓心和半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可；（）假設(shè)存在這樣的R點(diǎn)，設(shè)出R的坐標(biāo)，并設(shè)出P的坐標(biāo)，根據(jù)圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑得到三角形OPQ為直角三角形，根據(jù)勾股定理表示出PQ的長，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式表示出PR的長，設(shè)PQ與PR之比等于，把PQ和PR的式子代入后兩邊平方化簡得到一個(gè)關(guān)系式記作（*），又因?yàn)镻在M上，所以把P的坐標(biāo)當(dāng)然到M的方程中，化簡后代入到（*）中，根據(jù)多項(xiàng)式對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等即可求出R的坐標(biāo)和的值解答：解：（）由O：x2+y2=1得到圓心O（0，0）半徑r=1，設(shè)切線l方程為y2=k（x4），易得，解得，切線l方程為；（）圓心M到直線y=2x1的距離d=，設(shè)圓的半徑為r，則，M的方程為（x4）2+（y2）2=9；（）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)R（a，b），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），相應(yīng)的定值為，根據(jù)題意可得，即x2+y21=2（x2+y22ax2by+a2+b2）（*），又點(diǎn)P在圓上（x4）2+（y2）2=9，即x2+y2=8x+4y11，代入（*）式得：8x+4y12=2（82a）x+（42b