更新模型下一類推理難題的形式化解釋

1、更新模型下一類推理難題的形式化解釋 本研究受中山大學(xué)優(yōu)秀博士論文培育項(xiàng)目、中山大學(xué)凱思獎(jiǎng)學(xué)金資助收稿日期：2005年9月 郭佳宏（中山大學(xué)哲學(xué)系， 廣東廣州 510275）摘要：近幾十年來，邏輯學(xué)家們的興趣發(fā)生了較大的變化，他們已經(jīng)把認(rèn)知?jiǎng)幼骱瓦^程作為中心問題來研究，即所謂的“動(dòng)態(tài)轉(zhuǎn)向”。其中主要的流派有動(dòng)態(tài)認(rèn)知邏輯、更新邏輯、信念修正和分支時(shí)間等。van Benthem等vBen01，vBen03研究了“公共宣稱”的轉(zhuǎn)換模式；Baltag等BMS98, BMS03提出了更新積模型，并且首次引入了狀態(tài)模型之間“更新關(guān)系”及更新模態(tài)算子。本文并不打算對(duì)相關(guān)的理論作詳細(xì)的介紹，而是試圖用其中的“轉(zhuǎn)

2、換模式”和認(rèn)知更新模型對(duì)日常生活中某些涉及知識(shí)變化的直觀推理難題作一番精確的分析，從而試圖表明這樣的模型還是能夠比較好地刻畫生活中某個(gè)局部知識(shí)更新的直觀意義的。其間，那些涉及“不成功更新”的推理難題得到了嚴(yán)格地解決，并且某些隱含的問題被挖掘出來，比如冗余性和時(shí)態(tài)等。在上述動(dòng)態(tài)模型下，這類推理難題的結(jié)構(gòu)被清晰地展現(xiàn)出來。 關(guān)鍵詞：公共宣稱 推理難題 不成功更新 更新模型 更新邏輯中圖分類號(hào)：B81 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A1 引言現(xiàn)代邏輯的動(dòng)態(tài)轉(zhuǎn)向使得靜態(tài)模型和動(dòng)態(tài)描述成為了兩個(gè)并列的成分。在認(rèn)知邏輯領(lǐng)域，靜態(tài)模型是多主體信息模型，動(dòng)態(tài)部分則是分析信息模型如何在宣稱或某些動(dòng)作下受到激發(fā)，從而發(fā)生自然更新、

3、轉(zhuǎn)換等過程。靜態(tài)模型早就出現(xiàn)于認(rèn)知邏輯中FHMV95，在那里，可能世界表示跟主體相關(guān)的她們認(rèn)為可能的狀態(tài)；每個(gè)主體對(duì)應(yīng)可能世界集上一個(gè)二元不確定關(guān)系（uncertain relations），直觀表示某主體無法區(qū)分對(duì)應(yīng)的兩個(gè)世界。不確定關(guān)系是等價(jià)關(guān)系。而動(dòng)態(tài)部分的形式體現(xiàn)于原靜態(tài)模型的變化，導(dǎo)致模型不斷變化的因素是認(rèn)知?jiǎng)幼骷霸Ｐ偷慕Y(jié)構(gòu)。這里有一個(gè)非常簡單的例子vBen03可以對(duì)此作出直觀說明（復(fù)雜的例子有Fagin等FHMV95的“泥孩難題”， van Benthem vBen01的“猜牌游戲”等）。例1：A問B：“這條路通向廣州嗎？”B回答：“是的”。我們記“這條路通向廣州”為P，并且根據(jù)

4、一般情況假定：A不知道P；她相信B能對(duì)P有所斷定（事實(shí)上B知道P并且P）。于是能夠表達(dá)A和B的認(rèn)知狀況的可能世界模型如下：P ØP A 這里，P和ØP對(duì)應(yīng)兩個(gè)可能世界（記為w1和w2），分別表示P在其中為真和為假，其他原子命題在這兩個(gè)世界中的取值無關(guān)緊要。w1對(duì)應(yīng)的為現(xiàn)實(shí)世界。A無法區(qū)分這兩個(gè)世界，而B可以區(qū)分。這兩個(gè)世界對(duì)A和B來說是自反的，嚴(yán)格地說還應(yīng)在圖上標(biāo)出自反關(guān)系。在此模型中，我們有w1KBP但w1ØKAP。雖然A不知道P，但她知道或者B知道P或者B知道ØP，即有KA (KBPÚKBØP)。當(dāng)B作出肯定回答后，對(duì)A而言，她就

5、可以區(qū)分原來不能區(qū)分的兩個(gè)可能世界并且知道P。于是原來的模型變成： ·P不能滿足P的w2被刪除了，相應(yīng)的不確定關(guān)系也消失。此時(shí)，A和B都知道P，并且B知道A知道P，A知道B知道A知道P，。我們稱P為A和B的公共知識(shí)，記作CA, BP。B的回答對(duì)A和B這個(gè)群體來說是一個(gè)公共宣稱（public announcement）。van Benthem vBen03給出了有關(guān)公共宣稱的簡單模型轉(zhuǎn)換模式：關(guān)于j的斷定的公共宣稱j！消除當(dāng)前模型中所有那些不能滿足j的世界。簡單圖示如下： jØj j j！ 上面的解釋可以簡單地處理認(rèn)知?jiǎng)幼鳎╡pistemic actions），但即使這樣，我

6、們并沒有把認(rèn)知?jiǎng)幼鞣诺胶诵牡奈恢茫凑誺an Benthem vBen03的說法，它們還是“二等公民”。認(rèn)知邏輯的語言并沒有把它們包括在內(nèi)，所以在這一范圍內(nèi)沒有相應(yīng)的演算系統(tǒng)來直接地對(duì)它們進(jìn)行推理。邏輯學(xué)家們?cè)趯ふ倚碌墓ぞ?。能夠描述命題和動(dòng)作共存的一種早先的邏輯是“動(dòng)態(tài)邏輯”KHT84, KHT00，其核心思想是每一個(gè)動(dòng)作都對(duì)應(yīng)模態(tài)算子，即aj是語言的一部分。a和j分別表示動(dòng)作和命題，aj直觀表示“經(jīng)過每一個(gè)成功執(zhí)行動(dòng)作a后j成立”。a也可以是交流動(dòng)作，如我們前面提到的公共宣稱，這樣就可以用邏輯語言直接表達(dá)它。A!Kjj表示經(jīng)過有關(guān)A的真實(shí)公共宣稱后，主體j知道j。在此基礎(chǔ)上建構(gòu)的邏輯稱之為動(dòng)

7、態(tài)認(rèn)知邏輯，實(shí)際上是動(dòng)態(tài)邏輯和認(rèn)知邏輯結(jié)合的產(chǎn)物。于是復(fù)雜的動(dòng)態(tài)認(rèn)知規(guī)律可以得以表達(dá)，比如有效式A! Kjj « (A® Kj(A®A! j)把公共宣稱后獲得的知識(shí)跟主體原先知道的聯(lián)系起來了。前面提到的公共宣稱是人類交流中很重要的一類動(dòng)作，但是并非所有交流都是公共的，有許多形式的信息轉(zhuǎn)換是在完全隱蔽的或者半透明的情況下進(jìn)行的，甚至還會(huì)涉及到主體的作弊、相互欺騙等行為。相應(yīng)地由這類動(dòng)作引起的認(rèn)知模型更新就要比刪除可能世界的公共宣稱復(fù)雜得多。已有不少學(xué)者對(duì)此類更新動(dòng)作的一般情況進(jìn)行了研究，如van Ditmarsch vDit00，Baltag et al.BMS03

8、，van Benthem & Liu vBL04等。我們把這類工作統(tǒng)稱為更新邏輯（update logic）。我們從文章的第二部分開始介紹一些經(jīng)典的認(rèn)知推理難題，如撲克牌難題、生日難題及數(shù)字難題，這是一類很有代表性的涉及知識(shí)變化的推理，我們將仔細(xì)分析其推理過程，在文章的第三部分將通過構(gòu)造認(rèn)知推理模型，進(jìn)行分階段狀態(tài)模型的動(dòng)態(tài)分析。通過動(dòng)態(tài)分析，此類推理涉及的時(shí)態(tài)問題、冗余性問題將清晰呈現(xiàn)出來，文中作者對(duì)冗余性問題進(jìn)行了詳細(xì)的討論并給出了消除冗余的方法。在文章的最后部分作者給出了此類推理難題在更新積模型下的更一般解釋。2 認(rèn)知推理難題 有一類經(jīng)典的認(rèn)知推理難題，主要涉及在半透明的前提下“

9、從公共宣稱不知道到導(dǎo)致知道”這樣的不成功更新（unsuccessful update, vDit00）動(dòng)作。它們看起來比較復(fù)雜，以至某些國際大公司采用這樣的難題來測(cè)試應(yīng)聘者的推理能力。具體的有以下幾個(gè)代表：例2：假設(shè)主體a, b 和c有足夠的推理能力并且他們真實(shí)地說話，d告知大家抽屜里有16張牌，分別是紅桃 A, Q, 4；黑桃J, 8, 4, 2, 7, 3；草花K, Q, 5, 4, 6；方塊 A, 5?，F(xiàn)在d（不同于a, b, c）從16張牌中拿出一張，告訴a牌的點(diǎn)數(shù)，告訴b牌的花色 （a和b被告知了點(diǎn)數(shù)和花色這件事成了公共知識(shí)），然后問a和b是否能推出這張牌是什么。接著，c聽到如下的談

10、話：a：“我不知道這張牌?！眀：“我早就知道你不知道這張牌?！盿：“我現(xiàn)在知道了?！眀：“我現(xiàn)在也知道了?！眂通過這幾句話就可以推出這張牌到底是什么。請(qǐng)問這張是什么牌？例3：張老師的生日是M月N日，是下列8種可能性中的一種：3月4日，3月5日，3月8日；6月4日，6月7日；9月1日，9月5日；12月1日，12月2日，12月8日。他分別告訴小明和小紅（他倆的推理能力足夠強(qiáng)并且說真話）M值和N值（同樣小明被告知M值和小紅被告知N值成了公共知識(shí)）。接著小明和小紅的對(duì)話如下：小紅：我不知道張老師的生日。小明：在你說這句話之前，我就可以斷定，“如果我不知道，那么你也不知道”。小紅：現(xiàn)在我知道了。小明：現(xiàn)

11、在我也知道了。根據(jù)上述對(duì)話，請(qǐng)問張老師的生日是什么？例4：兩自然數(shù)m和n滿足條件2 £ m £ n £ 99。在S先生和P先生都在場(chǎng)的情況下，S先生被告知兩數(shù)的和，P先生被告知兩數(shù)的乘積。P先生和S先生的推理能力足夠強(qiáng)。P先生和S先生的對(duì)話如下：P：我不知道這兩數(shù)字。S：我早就知道你不知道，不過我也不知道。P：現(xiàn)在我知道這兩數(shù)字是什么了。S：現(xiàn)在我也知道了。根據(jù)上述對(duì)話，m和n究竟是多少？McC78-81盡管上述的例子還有缺陷，但一般情況下我們都能得到相同的結(jié)果，而且自然推理的過程也大致相同。比如對(duì)于例2，c可能作了如下推理：最初，a知道點(diǎn)數(shù)但是并不能斷定這張牌，

12、因此這張牌一定不是J, 8, 2, 7, 3, K, 6 。如果是這7張中的任何一張的話，a有足夠的推理能力，則可以直接斷定。所以，牌的點(diǎn)數(shù)只可能是4 、5 、A 或 Q。再分析b的斷言，b從牌的顏色在a宣稱之前做出了下述推論：a不知道這張牌。這意味著牌的顏色不能是黑桃或草花，如果是黑桃或草花中的一張，b沒有足夠的理由在a說他不知道這張牌之前斷定a不知道。因此，c能夠推出這張牌是紅桃或方塊。同樣的信息能夠傳遞給a和b，因?yàn)樗麄兊耐评砟芰ψ銐驈?qiáng)。進(jìn)一步，當(dāng)a聽到b的話后，a可以對(duì)這張牌作出斷定，則這張牌一定不會(huì)是A，假設(shè)這張牌是A，a僅知道點(diǎn)數(shù)和顏色范圍（紅桃或方塊），他并不能推出這張牌到底是什

13、么這張牌可能是紅桃A，也可能是方塊A。至此對(duì)c來說，只剩下三種可能了：紅桃Q，紅桃4或方塊5。相似的，再由b的話，c能夠推出這張牌一定是方塊5。推理如下：b只知道牌的顏色，如果是紅桃的話，b不能斷定到底是紅桃Q還是紅桃4，而現(xiàn)在b可以斷定牌是什么，則說明這張牌一定不是紅桃，所以這張牌是方塊5。例3的情況稍微有所不同，小明的斷定用了條件句。但實(shí)質(zhì)上跟例2是一樣的，因?yàn)楦鶕?jù)初始情況，這個(gè)條件句的前件是成立的；即我們可以得到后件“我早知道你不知道”。在后面的形式化分析中，我們將說明例3跟例2一樣，對(duì)話中的第一句宣稱是多余的。然后我們將構(gòu)造一個(gè)例2的變種，使得其中涉及的對(duì)話里每一句都對(duì)達(dá)到正確目標(biāo)有信

14、息更新作用。例4的情況較為復(fù)雜，初始的可能性太多，而且還涉及到自然數(shù)理論的基礎(chǔ)知識(shí)。不過認(rèn)知推理過程的結(jié)構(gòu)也是類似的。當(dāng)P先生宣稱不知道后，我們首先可以排除這兩數(shù)字都是質(zhì)數(shù)的情況，因?yàn)槿绻鼈兌际琴|(zhì)數(shù)，P先生就知道這兩數(shù)了。當(dāng)S宣布后，我們可以排除這兩數(shù)之和為偶數(shù)的情況，因?yàn)樯鲜錾婕暗?00以內(nèi)（根據(jù)歌德巴赫猜想獲得的觀測(cè)結(jié)果）大于2的偶數(shù)都可以表示成兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和，而這種情況下P就能知道了，這樣S就不能那樣宣稱他知道P不知道了；同理，那些兩數(shù)之和可以表示成質(zhì)數(shù)加2的奇數(shù)也需要排除掉；另外我們還可以排除那些兩數(shù)之和大于53的情況，因?yàn)槿魏我粋€(gè)大于53的奇數(shù)可以表示成一個(gè)大于50的質(zhì)數(shù)和一個(gè)偶數(shù)之

15、和?？疾斐朔e與此質(zhì)數(shù)和偶數(shù)之積相同的另外兩數(shù)，不難發(fā)現(xiàn)其中有一個(gè)一定超過100，矛盾于題設(shè)條件。那么也說明在這種情況下，合理的可能性乘積只有一種，P于是就知道了，S不能宣稱他早知道P不知道。既然事實(shí)上S宣稱了他早知道P不知道，那么這種情況也同樣被排除了。這樣在S宣稱后，兩數(shù)之和的可能性就只剩下以下幾種了：11，17，23，27，29，35，37，41，47，51，53。我們列出所有上述兩數(shù)之和各種可能性中的所有兩數(shù)之積的可能性，分別如下：11（18,24,28,30）17（30,42,52,60,66,70,72）23（42,60,76,90,102,112,120,126,130,132）2

16、7（50,72,92,110,126,140,152,162,170,176,182）29（54,78,100,120,138,154,168,180,190,198,204,208,210）35（66,96,124,150,174,196,216,234,250,264,276,286,294,300,304,306）37（70,102,132,160,186,210,232,252,270,286,300,312,322,330,336,340,342）41（78,114,148,180,210,238,264,288,310,330,348,364,378,390,400,408,414

17、,418,420）47（90,132,172,210,246,280,312,342,370,396,420,442,462,480,496,510,522,532,540,546,550,552）51（98,144,188,230,270,308,344,378,410,440,468,494,518,540,560,578,594,608,620,630,638,644,648,650）53（102,150,196,240,282,322,360,396,430,462,492,520,546,570,592,612,630,646,660,672,682,690,696,700,702）

18、不難發(fā)現(xiàn)并證明上述各行數(shù)中的增量成等差遞減數(shù)列，等差為2，所以就不難把上述的所有數(shù)值列出來。當(dāng)然也可以更簡潔地把上述各行數(shù)表示數(shù)列形式，全部列出來的好處是可以直觀地發(fā)現(xiàn)重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字。接著，知道兩數(shù)之積的P宣稱他知道了，于是上述數(shù)值中那些重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字必須被排除掉，否則P就不會(huì)宣稱了。再接下去，知道兩數(shù)之和的S也宣稱知道了。我們考察去掉那些重復(fù)數(shù)字后的情形。在兩數(shù)之和的所有可能性中，17這一行只剩下一種乘積的可能，即52，其他行中都出現(xiàn)大于兩種的可能性。既然S宣稱他也知道了，那么那些乘積的可能性還大于兩種的兩數(shù)之和的可能性都要被排除掉。所以最后只剩下17這種可能，而對(duì)應(yīng)的兩數(shù)之積為52。這樣我

19、們可以得到這兩數(shù)是4和13。有關(guān)此例的一階邏輯形式化請(qǐng)參閱McC78-81，那里的情形看起來較為復(fù)雜。當(dāng)然如果把它編成程序，復(fù)雜的計(jì)算可由計(jì)算機(jī)代替。 3 認(rèn)知更新模型下的結(jié)構(gòu)3.1分階段狀態(tài)模型動(dòng)態(tài)分析我們主要針對(duì)例2（例3和例4的本質(zhì)過程類似）。為了較簡單的描述這個(gè)過程，我們把牌的數(shù)量減少到10張，分別為：紅桃A, 4, Q; 黑桃8, 4; 草花K, 5, Q; 方塊A, 5。不難發(fā)現(xiàn)，推理過程和上述16張牌的推理過程在本質(zhì)上是一樣的。首先引入涉及主體知識(shí)的語言L：定義1：L為在經(jīng)典的命題邏輯語言L上增加算子Ki后的擴(kuò)張語言，其中Ki（iÎA，A為主體集a, b）為知道算子。定

20、義2：Ki的對(duì)偶算子記作<i>，<i>A=dfØKiØA（A為L中的任意公式）。經(jīng)典的知道邏輯極小系統(tǒng)為S5。接下來我們用這10張牌作為域建立狀態(tài)模型，給出有關(guān)模型的相關(guān)定義。定義3：狀態(tài)模型為四元組M = <W, Ra, Rb, M>，其中，W= wHA, wHQ, wH4, wS8, wS4, wDA, wD5, wCQ, wC5, wCK , 為狀態(tài)集，直觀表示10種可能的情況；Ra=(wXi, wYj)| i=j: X, YÎH, S, C, D, i, jÎA, 4, Q, 8, K, 5，為二元關(guān)系，直觀表

21、示a不能區(qū)分的狀態(tài)序?qū)?；Rb=(wXi, wYj)| X=Y: X, YÎH, S, C, D, i, jÎA, 4, Q, 8, K, 5，為二元關(guān)系，直觀表示b不能區(qū)分的狀態(tài)序?qū)Γ?M表示從原子句子到W上的映射。定義4：我們規(guī)定有且只有10個(gè)原子句子，分別表示“這張牌是紅桃A”，“這張牌是紅桃4”，分別記作HA, HQ, H4, S8, S4, DA, D5, CQ, C5, CK, 稱此集為AtSen。同時(shí)我們規(guī)定，對(duì)任意的pÎAtSen，pM=wp。這個(gè)模型其實(shí)已經(jīng)是在描述a和b被告知點(diǎn)數(shù)和花色后的情況。嚴(yán)格來說，我們應(yīng)該從初始狀態(tài)出發(fā)，不過由于此模型已經(jīng)

22、可以直觀把握，為了簡化分析過程，我們就把它作為初始模型，記作M1。顯然M1=M。以下是M的圖形表達(dá)： ·wHA b b ·wHQ b ·wH4 a a ·wS8 b ·wS4 a ·wDA b ·wD5 a ·wCQ b ·wC5 b b ·wCKM1: 在我們分別告訴a和b牌的點(diǎn)數(shù)和花色后（自反關(guān)系省略，下同）接下來考慮可滿足關(guān)系：定義5：wM p (wÎW)，如果wÎpM 對(duì)于任意的pÎAtSen（如果在特定語境下不至混淆，我們將省略M記號(hào)）。根據(jù)經(jīng)典的Krip

23、ke關(guān)系語義， 的定義域可以擴(kuò)展到語言L上，各算子情況分別如下：ØA=W-A，AÙB =AÇB，KiA=wÎW|如果wRiu，那么uÎA，其中A，B為L中的公式。歸納于公式的復(fù)雜性，不難證明：命題1：對(duì)于任意L中的公式A，A ÍW。（證明略）于是，我們可以給出語義后承的定義：定義6：對(duì)于任意L中公式A，w A(wÎW)，如果wÎA。根據(jù)上述初始模型和van Benthem vBen 03的公共宣稱模式，我們現(xiàn)在開始分析整個(gè)更新過程。階段1： 在a宣稱“我不知道這張牌是什么”之后，表明在新模型中對(duì)任意wÎW

24、和pÎAtSen，wØKap。我們刪除M1中不滿足條件的狀態(tài)，于是原模型被更新為M2。狀態(tài)wS8 和wCK 被刪除，因?yàn)楦鶕?jù)初始定義，我們有wS8M1S8，wCK M1CK，wS8和wCK都不與其他的（自己除外）狀態(tài)具有Ra關(guān)系，于是有wS8M1KaS8，wCK M1KaCK。 ·wHA b b ·wHQ b ·wH4 a a ·wS4 a ·wDA b ·wD5 a ·wCQ b ·wC5M2: a宣稱“我不知道這張牌是什么”之后階段2：接下來b宣稱“我早知道你不知道”。這里涉及過去時(shí)，意味著

25、我們必須對(duì)a宣稱之前的模型進(jìn)行考慮，不能直接對(duì)M2更新。在M2之前只有M1，所以在b宣稱之后，我們?cè)俅慰疾镸1。由于b的宣稱，我們知道M1中不能滿足“b知道a不知道”的所有狀態(tài)將被刪除。而在M1中有關(guān)黑桃和草花的相應(yīng)狀態(tài)上，即wiÎwS4，wS8，wCQ，wC5，wCK，有wiØKbØKaj（$jÎS8, CK）。例如在wS4中，wS4ØKbØKaS8。因?yàn)樵贛1，wS8KaS8，而b不能區(qū)分S8和S4，在S4她認(rèn)為a知道S8是可能的，所以有wS4<b>KaS8，即wS4ØKbØKaS8。其他的情況類似

26、。但既然b宣稱她知道a不知道這張牌，表明在新模型中，對(duì)任意的狀態(tài)w，有wKbØKap（"pÎAtSen）。這就意味著所有草花和黑桃相應(yīng)的狀態(tài)必須被排除，因此模型M1被更新為M3： ·wHA b b ·wHQ b ·wH4 a ·wDA b ·wD5M3: b宣稱“我知道你不知道這張牌”之后階段3：在新的情形下，a宣稱她知道了這張牌是什么。而在M3，對(duì)任意的pÎHA, HQ, H4, DA, D5，有wHAØKap, 以及wDAØKap。因此，我們可以刪除wHA和wDA這兩個(gè)狀態(tài)，于是M

27、3更新為M4： · wHQ b · wH4 · wD5M4: a宣稱“我現(xiàn)在知道了”之后階段4：在此之后，b宣稱她也知道了這張牌是什么。但在M4有，wHQØKbHQ和wH4ØKbH4，因此wHQ和wH4也被刪除。于是得到新的模型M5，在此模型中只有一個(gè)狀態(tài)wD5。而在此模型下，顯然有wD5KaD5, wD5KbD5。由于c能分析出上述的整個(gè)過程，這就意味著她也知道了這張牌是D5。 · wD5M5: b宣稱“我現(xiàn)在也知道了”之后3.2 冗余問題及其消除在例2中（例3和例4的情況類似），不難發(fā)現(xiàn)，a的第一個(gè)宣稱對(duì)c最后得出結(jié)論來說是冗余的

28、。對(duì)于c，僅有b的宣稱和在a的宣稱之后再有b的宣稱，更新的結(jié)果是相同的。所以我們可以拋棄a的宣稱，于是a和b的對(duì)話可以縮減為：b：“我知道你不知道這張牌是什么?！盿：“我現(xiàn)在知道了。”b：“我現(xiàn)在也知道了?！边@樣對(duì)話中就沒有涉及過去時(shí)的宣稱，處理起來更為容易。進(jìn)一步，我們用玩家1和玩家2來代替一般的主體雙方，不難得到以下更為一般的結(jié)論：命題2：玩家1宣稱她不知道p，接著玩家2宣稱她早知道玩家1不知道p，玩家1的宣稱對(duì)類似c的聽者是冗余的。證明：對(duì)任意的模型M1，在玩家1宣稱ØK1p之后，對(duì)任意wi Î M1，使得wiK1p 被刪除，M1 被更新為M2。接著，玩家 2宣稱K2

29、E1ØK1p (K2E1表示玩家2 在玩1宣稱之前就知道)。這意味著對(duì)任意 wjÎM1，使得wjØK2ØK1被刪除。由于R2是等價(jià)關(guān)系, wiK1p蘊(yùn)涵 wiØK2ØK1p。因此，滿足K1p的wi也在玩家2的宣稱后被刪除。這意味著在第一次更新過程中所刪除的任意wi 均包含在第二次更新過程所刪除的狀態(tài)中。 接下來，我們對(duì)例2稍作修改，使得其中的每一句公共宣稱對(duì)于c最后結(jié)論的得出都不是冗余的。為簡單起見，我們同樣只考慮10張牌。除了下述兩點(diǎn)外，其他與例2相同：1）d突然在a說話之前對(duì)大家說：“對(duì)不起，我漏了說一張牌，方塊J；實(shí)際上牌的總數(shù)

30、量是11張。J這張牌也可能是其中的一張”，記此宣稱為B!（宣稱的內(nèi)容為B，整個(gè)宣稱動(dòng)作為B!）。2）在a說“我不知道這張牌是什么”之后，b說“在d宣稱B之前，我知道你不知道這張牌是什么”。在這個(gè)新的例子中，易見a最初的宣稱對(duì)更新后的最后結(jié)果不是冗余的。我們分析c的更新過程。假定涉及的主體都有足夠強(qiáng)的記憶能力：每一個(gè)主體在每一次成功更新后，都可以把相關(guān)信息記錄下來。階段1：開始階段的模型同例2中的M1，但d的宣稱使得它變得復(fù)雜。 ·wHA b b ·wHQ b ·wH4 a a ·wS8 b ·wS4 a ·wDA b ·wD

31、5 b b ·wDJ a ·wCQ b ·wC5 b b ·wCK (M2)階段2：a宣稱后，把M2更新為： ·wHA b b ·wHQ b ·wH4 a a ·wS4 a ·wDA b ·wD5 a ·wCQ b ·wC5 (M3)階段3：然后根據(jù)b的宣稱中的時(shí)間關(guān)系，首先回到M1。接著采用宣稱內(nèi)容“知道a不知道”，把模型M1更新為： ·wHA b b ·wHQ b ·wH4 a ·wDA b ·wD5 (M4)但實(shí)際上，由

32、于d過去宣稱過B，c應(yīng)該把這個(gè)信息加到模型M4中，于是模型變?yōu)椋?·wHA b b ·wHQ b ·wH4 a ·wDA b ·wD5 b b·wDJ(M5)階段4：而在d宣稱了之后，a說過“她不知道”，原來的有關(guān)從M2到M3的更新信息被保留下來，c能應(yīng)用這個(gè)更新信息去更新M5，于是模型重新變?yōu)镸4?？梢姡绻麤]有a的宣稱，c在M5之后就無法進(jìn)行下去了。 接下來的更新同例2中的分析，最后的結(jié)論也相同。3.3更新積模型下的更一般解釋接下來，根據(jù)BMS03和例2中的M，我們將構(gòu)造相應(yīng)的更新積模型：定義7：更新積模型M= <W

33、6;S, Ra, Rb, M>，其中WÎM。首先需要說明的是簡單動(dòng)作模型S=<S，Ra，Rb，pre>。其中S表示簡單動(dòng)作集。在例2中，四個(gè)階段的動(dòng)作集分別是S1=s1，S2=s2，S3=s3，S4=s4，其中對(duì)應(yīng)的動(dòng)作分別是“a宣稱不知道”，“b宣稱早就知道a不知道”，“a宣稱知道”和“b宣稱知道”。Rb和Ra分別表示a和b無法區(qū)分的某兩個(gè)動(dòng)作組成的序?qū)?。?中她們都對(duì)Si(1£i£4)中的每個(gè)動(dòng)作與自己本身無法區(qū)分。pre: S®F（不涉及動(dòng)作的公式集），表示動(dòng)作執(zhí)行的先決條件。在例2中，pre(s1)=ØKaHA

34、17;ØKaH4ÙÙØKaCK, pre(s2)=Kb(ØKaHAÙØKaH4ÙÙØKaCK), pre(s3)=KaHAÚ KaH4ÚÚ KaCK, pre(s4)=KbHAÚ KbH4ÚÚ KbCK。于是我們可以定義更新積模型中的各個(gè)元素：WÄS=(w, s)Î W´S: wÎpre(s)M; (w, s) Ra(w, s) iff wRaw并且sRas, (w, s)Rb(w, s) iff

35、 wRbw并且sRbs; pM=(w, s)ÎW´S: wÎpM。定義8：更新語言L為L基礎(chǔ)上增加模態(tài)算子和動(dòng)作符號(hào)后的擴(kuò)張語言，有關(guān)動(dòng)作的符號(hào)集記為Term，所有的公式集記為Form。其中：piÎForm；如果A, BÎForm, 那么ØA, KiA, AÙBÎForm;sÎTerm（s為簡單動(dòng)作符號(hào)）；如果b,gÎTerm，那么b;g，b+g，b*ÎTerm（有關(guān);, +, *的定義參閱KHT00）；如果bÎTerm并且AÎForm，那么bAÎForm

36、；如果AÎForm，那么A! ÎTerm (直觀表示公共宣稱了A)。根據(jù)M的性質(zhì)和上述定義，我們有：命題3：M s1s2s3s4(KaD5ÙKbD5) 或者等價(jià)地記為M (ØKaHAÙØKaH4ÙÙØKaCK)! (Kb(ØKaHAÙØKaH4ÙÙØKaCK)！ （KaHAÚ KaH4ÚÚ KaCK）！ （KbHAÚ KbH4ÚÚ KbCK）！(KaD5ÙKbD5)證明：分析更

37、新過程。由于每一個(gè)階段的動(dòng)作都是公共宣稱，對(duì)a和b來說在相應(yīng)的每一個(gè)階段只有一個(gè)動(dòng)作，并且她們對(duì)這個(gè)動(dòng)作與自己本身無法區(qū)分。于是整個(gè)更新過程可以看作是4個(gè)動(dòng)作按照先后順序更新總和，即M1= <W0Äs1, Ra, Rb, M1>，M2= <W0Äs2, Ra, Rb, M2>，M3= <W2Äs3, Ra, Rb, M3>，M4= <W3Äs4, Ra, Rb, M4>。其中W1= W0Äs1，W2= W0Äs2，W3= W2Äs3。由于要滿足4個(gè)動(dòng)作執(zhí)行的先決條件，最后得到的

38、M4=<wD5, (D5, D5), (D5, D5), M4>；而D5M4=D5M= wD5（更新并不改變?cè)瓉頎顟B(tài)中的事實(shí)，即原子句子的賦值），所以我們有M4KaD5和M4KbD5，而且只有D5滿足條件，它也就是所要求的結(jié)果。 4 結(jié)論與展望我們對(duì)一類涉及知識(shí)的推理難題構(gòu)造了認(rèn)知模型，并且用公共宣稱的轉(zhuǎn)換模式和更新模型分別解釋了其中的推理結(jié)構(gòu)，對(duì)更新過程進(jìn)行了細(xì)致的形式描述。通過本文可以看出，“轉(zhuǎn)換模式”和認(rèn)知更新模型對(duì)這些日常生活中某些涉及知識(shí)變化的直觀推理難題進(jìn)行的刻畫是非常精確的。對(duì)生活中某個(gè)局部知識(shí)更新的直觀意義的描述也是非常清晰的。在本文中，那些涉及“不成功更新”的推理

39、難題得到了嚴(yán)格地解決，并且某些隱含的問題被挖掘出來，比如冗余性問題和時(shí)態(tài)問題等。在上述動(dòng)態(tài)模型下，這類推理難題的結(jié)構(gòu)被清晰地展現(xiàn)出來。然而，值得注意的是，在3.3的M2中，我們規(guī)定它的狀態(tài)域?yàn)閃0而非W1。這主要是因?yàn)閟2涉及過去時(shí)態(tài)。直觀上這樣的解釋說得過去，但我們并沒有在pre(s2)體現(xiàn)出來，形式上并不完美。對(duì)于含有時(shí)態(tài)宣稱的形式化應(yīng)該是我們下一步的任務(wù)。由此帶來的結(jié)果或許會(huì)對(duì)現(xiàn)有的動(dòng)態(tài)認(rèn)知邏輯和更新邏輯的內(nèi)容產(chǎn)生一定的影響。感謝本文在寫作過程中，鞠實(shí)兒, van Benthem，李小五，劉奮榮，歐佳致同作者進(jìn)行了討論，提出了有益的建議，在此一并感謝！參考文獻(xiàn)1AGM85: C. E.

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