注重學(xué)生思維參與和感悟的函數(shù)概念教學(xué)_續(xù)_章建躍_圖文

1、 2009 年 之對應(yīng). 第 48 卷 第7期 數(shù)學(xué)通報(bào) 評述 31 陶老師說/ 要設(shè)法突破難點(diǎn)0 , 從他的 S 13: 少說了一個(gè): 確定的對應(yīng)關(guān)系 f . T : f 是什么東西 ? S 13: 例如 , 正比例函數(shù), f 就是比例系數(shù) ; 用 f ( x 表示可以是一個(gè)式子 ; 也可能 , T : 也可能是什么? S 13: 也可能是個(gè)數(shù) . T : 大家?guī)退?想想. 他認(rèn)為對 應(yīng)關(guān)系是關(guān)鍵 , 這很好. 但什么叫對應(yīng)關(guān)系? 還沒有說清楚. S 14: A 中任一數(shù)在 B 中有唯一 f ( x , 每一 對( x , f ( x 的對 應(yīng)關(guān) 系就 是唯 一確 定的 對 應(yīng) 關(guān)系 . T

2、 : 用個(gè)例子說說, 如二次函數(shù) y = x 2 , 我只問 對應(yīng)關(guān)系是什么 ? S 14: 對應(yīng)關(guān)系是 y = x 2 . T : 對嗎? 再看 y = 要干什么 ? x , 對應(yīng)關(guān)系是什么 ? 它 課堂教學(xué)實(shí)踐看, 他的這個(gè)/ 法0不是自己的說教, 而是想方設(shè)法挖掘?qū)W生的體驗(yàn), 從學(xué)生的想法中 發(fā)現(xiàn)引導(dǎo)他們深入思考的契機(jī). 因此, 他特別注重 讓學(xué)生表達(dá)、 舉例 , 讓學(xué)生之間相互印證、 啟發(fā)等. 當(dāng)然 , 這需要教師有駕馭課堂的高超能力. 上述過程中, 陶老師圍繞 / 對應(yīng)關(guān)系0 展開教 學(xué), 讓學(xué)生自己舉例, 陶老師從中挖掘推動感悟概 念本質(zhì)的契機(jī). 從學(xué)生的舉例 、 回答可以發(fā)現(xiàn),

3、理 解 y = f ( x 的含義確實(shí)是一個(gè)難點(diǎn). 陶老師/ 只問 對應(yīng)關(guān)系是什么 0 , 采取了 / 多元聯(lián) 系表示0 的方 式, 引導(dǎo)學(xué)生通過賦予函數(shù)表達(dá)式具體意義、 變換 表現(xiàn)形式等, 使他們形成/ 對應(yīng)關(guān)系0 的心靈體驗(yàn). 其中 , / 打靶0 一例很好地推動了學(xué)生對/ 函數(shù)的對 應(yīng)法則、 定義域、 值域是一個(gè)整體 , 這樣才能準(zhǔn)確、 完整地刻畫兩個(gè)變量之間的數(shù)量關(guān)系0 的認(rèn)識. 值得指出的是 , 陶老師并沒有在/ 任意性0/ 唯 一性0 上做太多文章, 而是把這些問題延后了. 我 認(rèn)為這樣處理是明智的. 因?yàn)橐环矫?/ 對應(yīng)關(guān)系0 實(shí)在重要 , 一節(jié)課不能有太多的重點(diǎn); 另一方面,

4、對/ 任意性0/ 唯一性0 的理解困難也很大 , 待學(xué)生 接觸更多的函數(shù)實(shí)例 , 形成較多的體驗(yàn)后再逐步 解決是有效的 . S 14: 對應(yīng)關(guān)系是 y = x . T : 用 自 然 語 言 讀 一 遍, 看 看 實(shí) 際 上 在 干 什么 ? S 14: 開方 . 哦, 應(yīng)該是/ 取算術(shù)平方根0. T : 那誰能 用一個(gè)具體實(shí)例解釋一 下 y = x 的對應(yīng)關(guān)系? 2 S 15: 如果 x 取正數(shù), 我以邊長為 x 的正方形 為例 , 只要給定一個(gè)邊長 , 就有唯一的正方形面積 與之對應(yīng) . 對應(yīng)關(guān)系就是/ 邊長 x 面積 x 0. T : 很 好. 那 打 靶 的 例 子 呢? 對 應(yīng) 關(guān)

5、系 是 2 結(jié)束語 在準(zhǔn)備這個(gè)單元的觀摩課時(shí) , 我全程跟蹤 , 不 僅與陶老師進(jìn)行了廣泛的、 坦誠的交流 , 而且實(shí)時(shí) 觀察他的課堂教學(xué) , 對內(nèi)容的解讀、 教學(xué)目標(biāo)的確 定、 教學(xué)過程的安排, 以及課堂教學(xué)中的師生行為 等, 都進(jìn)行了深入細(xì)致的討論 . 這一過程給我以愉 悅的精神享受 , 同時(shí)也給我認(rèn)識函數(shù)概念( 乃至整 個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué) 教學(xué)以極大的啟迪 . 總結(jié)起來, 函數(shù) 概念的教學(xué)應(yīng)強(qiáng)調(diào)如下幾點(diǎn) : 第一 , 要注意學(xué)生已有的知識基礎(chǔ) , 利用好學(xué) 生已學(xué)過的/ 變量說0 , 特別是其中蘊(yùn)含的/ 對應(yīng)關(guān) 系0 ; 第二 , 把握住本單元的核心任務(wù), 即要讓學(xué)生 建立一般意義的函數(shù)概念,

6、了解函數(shù)的抽象符號 的意義, 了解函數(shù)中的問題、 內(nèi)容和方法, 初步形 成研究函數(shù)問題的/ 基本規(guī)范0 ; 第三 , 用集合對應(yīng)的語言定義函數(shù) , 引進(jìn)數(shù)字 ( 下轉(zhuǎn)第 60 頁 什么 ? S16: y = 8. T : 對嗎? 改一下: 序號 環(huán)數(shù) 1 1 2 1 3 8 S17: x 取 1, 2, y 取 1; x 取 3, y 取 8. T : 對嗎? 實(shí)際上表格就表示了對應(yīng)關(guān)系 , 在 思考對應(yīng)關(guān)系時(shí) , 注意 x 的范圍是重要的 , 上述 y = 8 不全面, 因?yàn)闆]有指明 x 只取 1, 2, 3 的事實(shí) . 再看股票指數(shù)圖 , 對應(yīng)關(guān)系是什么 ? S18: 每一個(gè)時(shí)間點(diǎn)都 有唯

7、一的 一個(gè)股票 指 數(shù)值 . T : 對 , 圖就表示了給定一個(gè)時(shí)間點(diǎn) ( 自變量 所對應(yīng)的唯一指數(shù)值 ( 函數(shù)值 , 60 加法原理 , 我們得到了關(guān)于 an 的遞推關(guān)系式 : an = ( n- 1 ( an- 1 + an- 2 數(shù)學(xué)通報(bào) 2009 年 第 48 卷 第7期 利用數(shù)學(xué)歸納法可證明 : 對每個(gè) n > 2 , an nan- 1 X 0 , 于是將上述等式兩邊公因式約去 , 得 ak - ka k- 1 = ( - 1 k ( a2 - 2a1 = ( - 1 k 此式可改成 k ak a k- 1 = ( - 1 k ! ( k - 1 ! k! 再將 k 以 2,

8、 3 , n 等數(shù)代入、 得 a2 a1 1 = 2 ! 1! 2! a3 a2 - 1 = 3 ! 2! 3 ! , n an an- 1 = ( - 1 , n! ( n- 1 ! n! 將這些等式相加, 即得 an a1 1 1 ( - 1 n = + + ,+ , n! 1 ! 2! 3! n! 1 1 ( - 1 n 所以 a n = n! - + ,+ , n> 1 2! 3! n! 這里沒有用到較高深的數(shù)學(xué)知識 , 一般書上 , 也似 未曾見過 , 關(guān)于錯(cuò)位數(shù)的應(yīng)用, 此不贅述. 參考文獻(xiàn) 因?yàn)榍懊嫖覀円呀?jīng)得到 a1 = 0, a2 = 1, 所以我 們得出 an 的遞推公

9、式 an = ( n - 1 ( an- 1 + an- 2 , n 3 且 a 1 = 0 , a2 = 1, 容易得出 a3 = 2, a4 = 3, a 5 = 44. 但問題到此并沒有結(jié)束, 因?yàn)槲覀儍H僅只是 得到了 a n 的遞推公式 , a n 的表達(dá)式是什么 ? 我們 并不知道 . 盡管有遞推關(guān) 系 an = ( n - 1 ( a n- 1 + an- 2 , 但此式具有非線性遞推特征, 所以對 它的 求解是比較困難的. 首先我們把遞推關(guān)系變形為 an - nan- 1 = - ( an- 1 - ( n- 1 a n- 2 , 令 n= 3, 4, , k, 即得 a3 -

10、3a2 = - ( a2 - 2a1 , a4 - 4a3 = - ( a3 - 3a2 , a5 - 5a4 = - ( a4 - 4a3 , , ak - kak - 1 = - ( a k- 1 - ( k - 1 ak - 2 , 將這些等式相乘 , 可得 j= 3 k- 2 F( aj - ja j- 1 = (- 1 k k- 1 j= 2 F( a j - j aj- 1 因?yàn)?a2 - 2 a1 = 1 X 0 而且對每個(gè) n > 2、 an nan- 1 = - ( an- 1 - ( n- 1 an- 2 ( 上接第 31 頁 以外的符號 f( x 表達(dá)函數(shù) , 是學(xué)

11、生很難理解的事 情, 短時(shí)間內(nèi)無法完成 , 需要在后續(xù)指數(shù)函數(shù)、 對 數(shù)函數(shù)、 三角函數(shù)、 數(shù)列等具體函數(shù)的學(xué)習(xí)中不斷 強(qiáng)化 ; 第四 , 典型實(shí)例很重要 , 要精心選擇 , 其中要 特別注意只能用圖像、 表格表示的例子的作用 ; 第五 , 用圖像、 表格表示函數(shù)時(shí) , 學(xué)生對其中 的對應(yīng)關(guān)系的理解有難度 , 需要精心引導(dǎo), 但一旦 學(xué)生有了體驗(yàn), 將極大地提升他們對/ 對應(yīng)說0 的 理解水平 ; 第六 , 讓學(xué)生把抽象的函數(shù)賦予實(shí)際意義, 是 推動用概念思維、 促進(jìn)學(xué)生領(lǐng)悟/ 對應(yīng)關(guān)系0 的好 方法 ; 第七 , 數(shù)學(xué)是思 維的科學(xué) , 概念是思維的 細(xì) 胞, 數(shù)學(xué)思維更是用概念思維 , 因

12、此數(shù)學(xué)是培養(yǎng)思 維能力的最佳載體. 教學(xué)中, 讓學(xué)生舉例 , 從學(xué)生 舉例中挖掘思 維過程 , 并用 / 你憑 什么說 ,?0 李振國 , 劉維翰 . 組合數(shù)學(xué)的 基本計(jì)數(shù) 原理 容斥重 理 J . 數(shù) 學(xué)通報(bào) , 1985, 3 / 你是怎么想的?0 等促使學(xué)生深化思考 , 逐步培養(yǎng) 學(xué)生用概念解釋數(shù)學(xué)對象的能力與習(xí)慣 , 是促使 學(xué)生深層次參與課堂教學(xué)的有力舉措 , 體現(xiàn)了思 維教學(xué)的 真諦 , 也 是培 養(yǎng)學(xué)生 思維 能力 的 有效 途徑 . 第八 , 要強(qiáng)調(diào)啟發(fā)式教學(xué)的地位和作用. 高中 數(shù)學(xué)教學(xué)方式要強(qiáng)調(diào)綜合性, 該讓學(xué)生活動的地 方教師決不代替 , 而且要把實(shí)質(zhì)性的概括機(jī)會留 給學(xué)生, 例如具體實(shí)例共同特征的概括就應(yīng)該讓 學(xué)生完成 . 但要注意, 不講 X 放羊 , 不是教師無所 作為 , 而是