高等數(shù)學——81多元函數(shù)的基本概念ppt課件

1、81 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念一、區(qū)域一、區(qū)域二多元函數(shù)概念二多元函數(shù)概念三多元函數(shù)的極限三多元函數(shù)的極限四多元函數(shù)的連續(xù)性四多元函數(shù)的連續(xù)性鄰域、 內(nèi)點、開集、邊界點、邊境連通性、區(qū)域、閉區(qū)域n維空間、點的坐標、兩點間的距離二元函數(shù)的定義、值域、二元函數(shù)的圖形二元函數(shù)連續(xù)性定義、 函數(shù)的間斷點多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)、 多元初等函數(shù)一、區(qū)域一、區(qū)域 設(shè)設(shè)P0(x0，y0)是是xOy平面上的一個點，平面上的一個點，d 是某一正數(shù)與點是某一正數(shù)與點P0(x0，y0)距離小于距離小于d 的點的點P(x，y)的全體，稱為點的全體，稱為點P0(x0，y0)的的鄰鄰域 ， 記 為域 ， 記 為 U

2、 ( P 0 ， d ) 或或 U ( P 0 ) ， 即， 即鄰域:U(P0，d )P | |P P0|d P0dU(P0，d )去心鄰域：P0)(0PU2020)()(yyxx(x，y)| d )(0PU 設(shè)E 是平面上的一個點集，P是平面上的一個點 如果存在點P 的某一鄰域U(P)，使U(P)E，則稱P為E 的內(nèi)點，內(nèi)點： E 如果點集E 的點都是內(nèi)點，則稱E為開集開集：P邊界點、邊境： 如果點P的任一鄰域內(nèi)既有屬于E的點，也有不屬于E的點，則稱P點為E的邊點開集： E(x，y)|1x2 +y20(無界開區(qū)域)；Ox yx+y=0二多元函數(shù)概念二多元函數(shù)概念 設(shè)D是平面上的一個點集如果對

3、于每個點P(x，y)D，變量 z 按照一定法則總有確定的值和它對應(yīng)，則稱 z 是變量 x，y 的二元函數(shù)(或點P的函數(shù))，記為z=f(x，y)(或z=f(P)二元函數(shù)的定義：其中D稱為定義域，x，y 稱為自變量，z 稱為因變量例 函數(shù)z=ln(x+y)的定義域為 (x，y)|x+y0(無界開區(qū)域)； 函數(shù)zarcsin(x2y2)的定義域為 (x，y)|x2y21(有界閉區(qū)域)Ox yx2y2=1值域： z|z=f (x，y)，(x，y)D二元函數(shù)的圖形： 點集(x，y，z)|z=f(x，y)，(x，y)D稱為二元函數(shù)zf(x，y)的圖形 二元函數(shù)的圖形是一張曲面例 z=a x+b y + c

4、是一張平面，xyzOx0 y0M0 由方程x2y2z2a 2確定的函數(shù)z=f (x，y)有兩個： 由方程x2y2z2a 2確定的函數(shù)z=f (x，y)是中心在原點，半徑為a的球面它的定義域為D =(x，y)|x2y2 a 2Oxy222yxaz，222yxaz222yxaz，222yxaz三多元函數(shù)的極限三多元函數(shù)的極限二重極限的定義： 設(shè)函數(shù)f (x，y)在開區(qū)域(或閉區(qū)域)D內(nèi)有定義，P0(x0，y0)是D的內(nèi)點或邊界點如果對于任意給定的正數(shù)e 總存在正數(shù)d ，使得對于適合不等式的一切點P(x，y)D ，都有 |f (x，y)A|e成立，則稱常數(shù)A為函數(shù)f (x，y)當x x0，y y0時

5、的極限，記為或f(x，y)A (r0) ，這里r|P P0|d0，取d ，d22)0()0(0yx|(x2y2)sin221yx0|成立，所以0),(lim00yxfyx 必須注意： (1) 二重極限存在，是指P以任何方式趨于P0時，函數(shù)都無限接近于A (2) 如果當P以兩種不同方式趨于P0時，函數(shù)趨于不同的值，則函數(shù)的極限不存在例當點P(x，y)沿 x 軸、y 軸趨于點(0，0)時函數(shù)的極限為零，當點P(x，y)沿直線y=k x 趨于點(0，0)時. 0, 0, 0,222222yxyxyxxy 函數(shù)f(x，y) 2200limyxxykxyx22220limxkxkxx21kkxyzOP0

6、 解 例 5 求xxyyx)sin(lim20 xxyyx)sin(lim20yxyxyyx)sin(lim20 xyxyyx)sin(lim20yyx20lim20limxyxyxy)sin(2四多元函數(shù)的連續(xù)性四多元函數(shù)的連續(xù)性則稱函數(shù)f (x，y)在點P0(x0，y0)連續(xù)二元函數(shù)連續(xù)性定義： 設(shè)函數(shù)f (x，y)在開區(qū)域(或閉區(qū)域)D內(nèi)有定義，P0(x0，y0) D 假如 函數(shù)f (x，y)在區(qū)域(開區(qū)域或閉區(qū)域)D 內(nèi)連續(xù)： 是指函數(shù) f (x，y)在D內(nèi)每一點連續(xù)此時稱f (x，y)是D 內(nèi)的連續(xù)函數(shù) 二元函數(shù)的連續(xù)性概念可相應(yīng)地推廣到n元函數(shù)f(P)上去),(),(lim0000

7、yxfyxfyyxx 若函數(shù)f(x，y)在點P0(x0，y0)不連續(xù)，則P0 稱為函數(shù)f(x，y)的間斷點 注：間斷點可能是孤立點也可能是曲線上的點函數(shù)的間斷點： f(x，y)例點(0，0)是f(x，y)的間斷點；. 0, 0, 0,222222yxyxyxxyx2y21上的點是其間斷點11sin22yxz，xyzOP0 多元連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商分母不為零均為連續(xù)函數(shù)，多元連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)也是連續(xù)函數(shù)性質(zhì)1 (最大值和最小值定理)： 在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上一定有最大值和最小值性質(zhì)2 (介值定理)： 在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在D上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩個值之間的任何值至少一次結(jié)論： 一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的多元初等函數(shù)： 是可用一個式子所表示的多元函數(shù)，而這個式子是由多元多項式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復合步驟所構(gòu)成的 例如sin(x+y)是由sin u 與u=x+y 復合而成的，它是多元初等函數(shù) 如果f(P)是初等函數(shù)，且P0是f(P)的定義域的內(nèi)點，那么用函數(shù)的連續(xù)性求極限：D(x，y)| x 0，y 0，點(1，2)是D的內(nèi)點，函數(shù)f(x，y)在(1，2)是連續(xù)的，所以它的定義域為)()(lim00pfpfpp 例 6 求xyyxyx21lim