高數A-函數項級數ppt課件

1、課件制作：劉開宇課件制作：劉開宇 彭亞新彭亞新二、二、 作業(yè)講析作業(yè)講析三、三、 典型例題講解典型例題講解四、四、 練習題練習題一、一、 內容總結內容總結)(0 xunn 求和)(xS展開(在收斂域內進行)(0 xunn基本問題：判別斂散；基本問題：判別斂散；求收斂域；求和函數；級數展開.為傅立葉級數.xnbxnaxunnnsincos)(當為傅氏系數) 時,時為數項級數;0 xx 當nnnxaxu)(當時為冪級數;nnba ,(一、內容總結一、內容總結. 1 標準形式冪級數: 先求收斂半徑 R , 再討論Rx 非標準形式冪級數通過換元轉化為標準形式直接用比值法或根值法處的斂散性 . 求部分和

2、式極限求和 映射變換法 逐項求導或求積分nnnxa0)(*xS對和式積分或求導)(xS難直接求和: 直接變換,間接求和: 轉化成冪級數求和, 再代值求部分和等 初等變換法: 分解、套用公式（在收斂區(qū)間內） 數項級數 求和nnnxa0 直接展開法 間接展開法 利用已知展式的函數及冪級數性質 利用泰勒公式（1）. 函數的冪級數展開法系數公式及計算技巧; 收斂定理; 延拓方法二、作業(yè)講析二、作業(yè)講析 略略 1 解解:,)11 (limlim) 1 (enannnnn當ex1因此級數在端點發(fā)散 ,enn1)11 (nneu nn)11 ( nn)11 ( , 01e. )1,1(ee時,;)11 ()

3、 1 (12nnnxn,1eR exe11即時原級數收斂 .故收斂區(qū)間為例例1. 求下列級數的斂散區(qū)間求下列級數的斂散區(qū)間:.2)2(21nnnxn三、典型例題講解三、典型例題講解nnnxn212)2()()(lim1xuxunnn因) 1(2121nnxn22xnnxn22,122x當時，即22x,2時當x故收斂區(qū)間為. )2,2(級數收斂;一般項nun不趨于0,nlim級數發(fā)散; .) 1(31的收斂半徑求冪級數nnnnxn解解: 分別考慮偶次冪與奇次冪組成的級數分別考慮偶次冪與奇次冪組成的級數,lim1nnaannnnalim極限不存在1)(kkx,24212kkkxk1)(kkx121

4、12122kkkxk)()(1limxxnnn,)4(2x411R)()(1limxxnnn,)2(2x212R 原級數 =1)(kkx1)(kkx 其收斂半徑4121,minRRR注意: .!) 12(1) 1(120的和函數nnnxnn法法1 易求出級數的收斂域為易求出級數的收斂域為),(022)(! ) 12(1) 1(21nnnxn原式120! ) 12() 1(21nnnxnx)sin(21xx,cos2sin21xxx ),(x先求出收斂區(qū)間, )(xS那么xnnnxxxnnxxS01200d! ) 12(1) 1(d)(220! ) 12() 1(nnnxn21120! ) 12

5、() 1(2nnnxnxxxsin2,cos2sin21)(xxxxS, ),(設和函數為),(x.) 1()2(1nnnnx;212) 1() 1(21nnnxn解解: (1) )(21121nnnx原式) 120(2x12)2(1nnxx222211xxx22xx222)2(2xx顯然 x = 0 時上式也正確,. )2,2(x故和函數為而在2xx0,)2(2)(222xxxS級數發(fā)散,(2)nnxnn1111原式xnntt011dxnnttx01d1ttxd110tttxxd1100 x)1ln(x)1(ln11xx)1(ln)11(1xx) 10( xttnnxd110ttxnnxd1

6、101) 1(nnnnx, )1(ln)11(1xx顯然 x = 0 時, 和為 0 ; 根據和函數的連續(xù)性 , 有)(xS110, )1(ln)11(1xxxx及0 0 x，1 1x，10 xx = 1 時,級數也收斂 . 即得00! )12() 1(! )2() 1(21nnnnnn0! ) 12(1) 1(nnnn解解: 原式原式=0! )12() 1(nnn1cos21的和 .1) 12(n211sin例例6. 將函數將函數2)2(1x展開成 x 的冪級數.解解:xx21)2(1221121x0221nnnx,22111nnnxn)2,2(x)(xf0,arctan12xxxx0,1x

7、, 將 f (x)展開成x 的冪級數 ,1241) 1(nnn的和. ( 01考研 )解解:211x,) 1(02nnnx)1 , 1(xxarctanxxx02d11,12) 1(012nnnxn1 , 1x)(xf1212) 1(1nnnxn02212) 1(nnnxn于是并求級數02212) 1(nnnxn12112) 1(nnnxn)(xf1212) 1(1nnnxn1212) 1(1nnnxn12121121) 1(1nnnxnn,41) 1(21122nnnxn1 , 1x1241) 1(nnn 1) 1 (21f214xyo),上的表達式為 ),0,)0,0)(xexxfx將其展

8、為傅氏級數 .na1xnxexdcos021)cossin(1nnxnxnex0),2, 1,0(11) 1(12nnen例例8. 設設 f (x)是周期為是周期為2的函數的函數, 它在解答提示解答提示xnxebxndsin1021)cos(sin1nnxnnxex0),2, 1(1) 1(12nnenn21)(exf11n)sin(cosnxnnx 211) 1(nen),2,1,0,(kkx考慮考慮: 如何利用本題結果求級數如何利用本題結果求級數?11) 1(02的和nnne根據傅氏級數收斂定理 , 當 x = 0 時, 有21e11n211) 1(nen2)0()0(ff21提示提示:四

9、、練習題四、練習題1、選擇題111) 1(3 ).1 (nnnnnnxnaxa，則的收斂半徑為設冪級數)2, 4()(4, 2)()3, 3()()4, 2()(DCBA)(1,2) 1( ).2(1處則此級數在處收斂在設xxxannn收斂性不確定發(fā)散絕對收斂條件收斂)()()()(DCBA)(的收斂區(qū)間為2. 求下列級數的收斂域.;212)2(;12) 1() 1 (121112nnnnnnxnnx.)5()4();21()3(11nnnnnnnxxx3. 求下列冪級數的和函數.;12) 1() 1 (1121nnnnx.2) 1(,2) 1()2(11111nnnnnnnxnn并求4. 把下列函數展成關于 x 的冪級數.d)1ln()()2(;)21)(1 (3)() 1 (0 xxxxfxxxfx5. 把下列函數在指定點處展成的冪級數.; 4,)21)(1 (3)() 1 (0 xxxxf在. 1,lg)()2(0 xxxf在上展開在2 , 0 . 621 ,210 ,)(xxxxxf.211nSn為余弦級數，并求答案：答案：1. 選擇題：A B).6, 4 )4();1 ,21()21, 1() 3();2,2()2(;1, 1) 1 (. 2;1, 1,arctan)(