高數(shù)D24隱函數(shù)求導1ppt課件

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第四節(jié)一、隱函數(shù)的導數(shù)一、隱函數(shù)的導數(shù)二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù)二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù) 三、相關(guān)變化率三、相關(guān)變化率 隱函數(shù)和參數(shù)方程求導 相關(guān)變化率 第二章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 31xy一、隱函數(shù)的導數(shù)一、隱函數(shù)的導數(shù)若由方程0),(yxF可確定 y 是 x 的函數(shù) ,由)(xfy 表示的函數(shù) , 稱為顯函數(shù) .例如例如,013 yx可確定顯函數(shù)03275xxyy可確定 y 是 x 的函數(shù) ,但此隱函數(shù)不能顯化 .函數(shù)為隱函數(shù) .則稱此隱函數(shù)求導方法: 0),(yxF0),(ddyxFx兩邊對 x 求導( 注意 y = y(x) )(含導數(shù)

2、 的方程)y目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1.1.,00 xyxdxdydxdyyeexy的導數(shù)的導數(shù)所確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù)求由方程求由方程解：解：, 求導求導方程兩邊對方程兩邊對 x0 dxdyeedxdyxyyx解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx時時由由原原方方程程知知000 yxyxxexyedxdy. 1 【注意】求隱函數(shù)的導【注意】求隱函數(shù)的導數(shù)，結(jié)果中允許含有因數(shù)，結(jié)果中允許含有因變量變量y .y .目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 求由方程求由方程03275xxyy)(xyy 在 x = 0 處的導數(shù).0ddxxy解解: 方程兩邊對方程兩邊對 x 求導

3、求導)32(dd75xxyyx得xyydd54xydd21621x025211dd46yxxy因 x = 0 時 y = 0 , 故210ddxxy0確定的隱函數(shù)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3. 求橢圓求橢圓191622yx在點)3,2(23處的切線方程.解解: 橢圓方程兩邊對橢圓方程兩邊對 x 求導求導8xyy920y2323xyyx1692323xy43故切線方程為323y43)2( x即03843 yx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4.4.)1 , 0(, 144處處的的值值在在點點求求設(shè)設(shè)yyxyx 解：解： 求導得求導得方程兩邊對方程兩邊對 x)1( 04433 yyyxy

4、x得得代代入入1, 0 yx;4110 yxy )1( 求求導導得得兩兩邊邊再再對對將將方方程程x04)(122123222 yyyyyxyx得得4110 yxy, 1, 0 yx代入代入.16110 yxy分析分析 此為隱函數(shù)的高階導數(shù)此為隱函數(shù)的高階導數(shù)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5. 求求)ln(sinlnsinxxexx)0(sinxxyx的導數(shù) . 解解: 兩邊取對數(shù)兩邊取對數(shù) , 化為隱式化為隱式xxylnsinln兩邊對 x 求導yy1xx lncos xxsin)sinlncos(sinxxxxxyx)(lnsinxxey)sinln(cossinxxxxxx也可這樣求:

5、)1sinln(cos lnsinxxxxexx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1) 對冪指函數(shù)),(),(,xvvxuuuyv其中可用對數(shù)uvylnlnyy1uv lnuvu)ln(uvuuvuyvvuuyvlnuuvv1說明說明: :按指數(shù)函數(shù)求導公式按冪函數(shù)求導公式注意注意:求導法求導 :目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2) 有些顯函數(shù)用對數(shù)求導法求導很方便 .例如例如,)1,0,0(babaaxxbbaybax兩邊取對數(shù)yln兩邊對 x 求導yybalnxaxb baxaxxbbaybalnxaxbbaxlnlnlnxbalnlnaxb目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 又如又如, )4)(3(

6、)2)(1(xxxxyuuu )ln(21lny對 x 求導21yy)4)(3()2)(1(21xxxxy41312111xxxx兩邊取對數(shù)2ln1lnxx4ln3lnxx11x21x31x41x目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù) , )()( 間的函數(shù)關(guān)系與確定若參數(shù)方程xytytx【例如】【例如】 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去參數(shù)消去參數(shù)【問題】【問題】 消參困難或無法消參如何求導消參困難或無法消參如何求導? ?t . 所確定的函數(shù)稱此函數(shù)為由參數(shù)方程目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ),( )(1x

7、ttx 具具有有單單調(diào)調(diào)連連續(xù)續(xù)的的反反函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(1xy , 0)(,)(),( ttxty 且且都都可可導導再再設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)由復合函數(shù)及反函數(shù)的求導法則得由復合函數(shù)及反函數(shù)的求導法則得dxdydtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即, )()( 中中在方程在方程 tytx 復合函數(shù)復合函數(shù)參數(shù)方程參數(shù)方程求導公式求導公式.dxdtdtdy 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 【注】【注】 )()()(ttdxdytx 為方便見，通常把為方便見，通常把 省去，后同省去，后同. . )(tx 是通過是通過 t 作為媒介成為作為媒介成為 x 的函數(shù)的函數(shù),應(yīng)表示為應(yīng)

8、表示為dxdy參數(shù)參數(shù)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 , )()( 二二階階可可導導若若函函數(shù)數(shù) tytx )(22dxdydxddxyd dxdtttdtd )()( )(1)()()()()(2tttttt .)()()()()( 322tttttdxyd 即即【注】【注】 不必死記，要會方法不必死記，要會方法. .容易出錯，容易出錯，切勿漏掉切勿漏掉求高階導數(shù)求高階導數(shù),從低到高每次都用參數(shù)方程求導公式從低到高每次都用參數(shù)方程求導公式.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )()(dd22ttxy,)()(ttxydd?例例6. 設(shè)設(shè))(tfx, 且,0)( tf求.dd22xy ddxy)(tf

9、t )(tf , t dd22xy1)(tf 知解解:)()(tftfty練習練習: 書書P112 題題8(1),1221tytxxydd;1t22ddxy21tt31t解解:注意注意 :對誰求導? 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例7. 設(shè)由方程設(shè)由方程) 10(1sin 222yytttx確定函數(shù), )(xyy 求.ddxy解解: 方程組兩邊對方程組兩邊對 t 求導求導 , 得得故xydd)cos1)(1(ytttyddtxddt2yttycos12dd22 tycostydd0) 1(2ddttxtyddtxdd目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、相關(guān)變化率三、相關(guān)變化率)(, )(tyy

10、txx為兩可導函數(shù)yx ,之間有聯(lián)系tytxdd,dd之間也有聯(lián)系稱為相關(guān)變化率相關(guān)變化率問題解法:找出相關(guān)變量的關(guān)系式對 t 求導得相關(guān)變化率之間的關(guān)系式求出未知的相關(guān)變化率目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例8. 一氣球從離開觀察員一氣球從離開觀察員500 m 處離地面鉛直上升處離地面鉛直上升,其速率為,minm140當氣球高度為 500 m 時, 觀察員視線的仰角增加率是多少? 500h解解: 設(shè)氣球上升設(shè)氣球上升 t 分后其高度為分后其高度為h , 仰角為仰角為 ,那么tan500h兩邊對 t 求導2sectddthdd5001知,minm140ddth h = 500m 時,1tan2

11、2tan1sec,2sec2td 0)minrad/(目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考題思考題: 當氣球升至當氣球升至500 m 時停住時停住 , 有一觀測者有一觀測者以以100 mmin 的速率向氣球出發(fā)點走來,當距離為500 m 時, 仰角的增加率是多少 ?提示提示: tanx500對 t 求導2sectddtxxdd5002知d100m min ,dxt .ddtx500,m500 x求目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 試求當容器內(nèi)水Rhxhr例例9. 有一底半徑為有一底半徑為 R cm , 高為高為 h cm 的圓錐容器的圓錐容器 ,今以 自頂部向容器內(nèi)注水 ,

12、scm253位等于錐高的一半時水面上升的速度.解解: 設(shè)時刻設(shè)時刻 t 容器內(nèi)水面高度為容器內(nèi)水面高度為 x ,水的VhR231)(231xhrh)(33322xhhhR兩邊對 t 求導tVdd22hR2)(xh,ddtx而,)(25222xhRh,2時當hx hxhRr故txdd) scm(25dd3tV) scm(100dd2Rtx體積為 V , 那么Rxr目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 隱函數(shù)求導法則直接對方程兩邊求導2. 對數(shù)求導法 :適用于冪指函數(shù)及某些用連乘,連除表示的函數(shù)3. 參數(shù)方程求導法極坐標方程求導4. 相關(guān)變化率問題列出依賴于 t 的相關(guān)變量關(guān)系式對

13、t 求導相關(guān)變化率之間的關(guān)系式轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化求高階導數(shù)時,從低到高每次都用參數(shù)方程求導公式目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè)P111 1(3) ; 3(2) ; 4 (3) ; 8 (2); 11目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 求 .,exxy解解:xyddyxdd方法方法1xe1y1xe11方法方法2 等式兩邊同時對 求導y1yxddxeyxddyxdd備用題備用題xe111. 設(shè)設(shè)yxdd目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 , 求01sine232ytttxy.dd0txy解：方程組兩邊同時對解：方程組兩邊同時對 t 求導求導, 得得 txddyetydd0ddtxy2. 設(shè)設(shè)26 ttyddtsin0ddtytycosettyysine1cosetxtydddd0)26)(sine1 (cosetyyttt2e0t目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 設(shè)設(shè))(xyy 由方程eeyxy確定 , , )0(y解解: 方程兩邊對 x 求導, 得0eyxyyy再