（精選）整數(shù)度角的尺規(guī)作圖Word版

1、整數(shù)度角的尺規(guī)作圖湖南婁底華達(dá)技校黃正洪在平面幾何學(xué)中，人們不能用尺規(guī)作圖的方法畫出一個的角來，這似乎成了常理，但如果能用非尋常手段來解決這個問題，則很多與此有關(guān)的問題都將迎刃而解，因此對這個方向的探索有一定意義。為了實現(xiàn)心中的理想，在避開先賢們走過的彎路的同時，我們考慮到了必須從特殊角的特殊性中來尋找畫作的契機(jī)，故在這里有必要對特殊角在平面幾何學(xué)中的重要地位作一梳理。首先要確認(rèn)的是：常見的特殊角有、等等，后來人們又在尺規(guī)五等分圓周的過程中認(rèn)知了、等等也都是特殊角。以上角度其所以被認(rèn)為特殊，是因為它們都是能用尺規(guī)作圖的方法畫得出來，并且與其有關(guān)的函數(shù)值也都有其特殊性而定性。前面列舉的那些特殊角

2、，在常見常用的一對三角板或其板角的拼湊上幽然傲立，盡享美譽，后面列舉的這些特殊角，也只須借助一個黃金分割的特定方程即的功力就可以達(dá)到畫出的目的，此言下之意即為，以特定方程的有用根為底，以個單位之長為腰，便可以在平面上畫出一個等腰三角形，而此等腰三角形的頂角即為，兩底角即為。反其序而為之，則知頂角為的等腰三角形與自身底角平分線所形成的相似三角形的邊長之比即能造就上述獨一無二的一元二次方程。五等分圓周中的尺規(guī)之趣正是由此而生，這二者相輔相成，為數(shù)學(xué)王國的畫法樂園增添了光鮮的一筆。說到這里，我相信大家對特殊角的存在有了更為深刻的應(yīng)象，現(xiàn)在我要說的是：對以上兩組特殊角進(jìn)行簡單的加減，并從小到大安排好先

3、后次序就會出現(xiàn)如下既具體又有規(guī)律的角度：、無須仔細(xì)的推敲，便可認(rèn)定這組特殊角的通項表達(dá)式為。由于特殊角同任意角一樣可以不斷二分，因而我們又認(rèn)知了更特殊的角有這些特殊角的等分角，更更特殊的角還有這些被等分角的和差及其倍角。寫到這里，我們相信大家對特殊角處世的秘密有了更多的了解。值得注意的是：特殊角的這個通項表達(dá)式從未在已問世的資料或期刊中有過露面，故我們可以認(rèn)定這是一種新的總結(jié)和歸納，這種新的總結(jié)和歸納的意義在于人們從數(shù)學(xué)的角度統(tǒng)一了所有特殊角存在的理義。也只有有了這樣一種有點別開生面的理義，我們探索整數(shù)度角的尺規(guī)作圖的思緒才得以霧散云開：前面提到的那個“非尋常手段”并不是建立在二維的平面上，而

4、是建立在三維的空間中，在多一個維度的助力下，艱難的探索工作又展現(xiàn)了“風(fēng)正一帆懸”的美好景象，由于引導(dǎo)苦舟航進(jìn)的燈塔仍然是無涯學(xué)海中的尺和規(guī)，故這個空間作圖的過程沒有超出尺和規(guī)的范疇，現(xiàn)在讓我們在此共識下來確診這個角的作圖方案，看看是否能經(jīng)得起理論和實踐的考驗。因其過程的表述還算清晰，空間的想象亦并不為難，那么如圖之示的內(nèi)容就留給有緣諸君自行畫出：（一）、從特殊角中選取適當(dāng)大小的一個角度，本文選取作為頂角，選取適當(dāng)長的作為底邊，畫作等腰三角形。（二）、把等腰三角形放進(jìn)空間直角坐標(biāo)系中，使其頂點與原點重合，使其腰與軸重合，使其底邊落在水平面上，此說即為把等腰三角形放置在規(guī)定位置的水平面上。定義：如

5、此放置的這個等腰三角形為本文的基礎(chǔ)三角形，定義：過該三角形頂點的垂直于水平面的軸叫立軸。定義：軸叫水平軸。如此為之則我們研究的對象便在空間直角坐標(biāo)系中安了一個特殊的家。（三）、根據(jù)特殊角的通項表達(dá)式而知角是特殊角，我們要用尺規(guī)作圖的方法畫出這個頂角為，為，底邊之長為的等腰三角形。此等腰三角形的畫法是在平面上預(yù)先畫作角，次畫與該角的角平分線平行且兩邊相距都為的平行線，然后連接兩條平行線與角的兩條射線的交點，則所形成的等腰三角形即為所求。現(xiàn)在我們要將此等腰三角形移進(jìn)空間的特殊的家，其移進(jìn)的方法是：以基礎(chǔ)三角形的底邊不動作為三角形的底邊，以為圓心，以預(yù)先畫作的頂角為的等腰三角形的腰為半徑，畫弧交立軸

6、于，連接和，則等腰三角形已移進(jìn)了空間的特殊的家（由于證明與相等的過程并不為難，這里省筆且加以認(rèn)定）。此言下之意為，基礎(chǔ)三角形與頂角為的等腰三角形在水平面上同底為而其頂角點與則在立軸上進(jìn)入了攀升排隊。（四）、與以上之（三）的操作過程完全相同。因角也是特殊角，用尺規(guī)作圖的方法在平面上預(yù)先畫作一個等腰三角形，使其頂角為，使其底邊之長為。我們要將這個等腰三角形移進(jìn)空間的特殊的家，此言下之意為，以上三個等腰三角形在水平面上同底為而頂角點則與前面的兩個頂點一樣在立軸上進(jìn)入了攀升排隊。（五）、與以上之（四）的操作過程完全相同。因角也是特殊角，用尺規(guī)作圖的方法在平面上預(yù)先畫作一個等腰三角形，使其頂角為，使其底

7、邊之長為。我們要將這個等腰三角形移進(jìn)空間的特殊的家，此言下之意為，以上四個等腰三角形在水平面上同底為而頂角點則與前面的幾個頂點一樣在立軸上進(jìn)入了攀升排隊。（六）、由于底邊相等的等腰三角形頂角越小的其高越長，于是我們看到、在立軸上的位置一個比一個高。面對立軸上頂點之攀升，我們的思緒進(jìn)入了一種特殊的數(shù)學(xué)想象，這種想象與攝像的原理不完全相同，其操作方法是：我們要把到之間的距離向下壓縮，且要壓縮到與到之間的距離一樣長為止。在此一向下壓縮的過程中，要理解自以下的所有角點都在隨勢而下壓，還要進(jìn)一步理解所有下壓的頂角點所對應(yīng)的等腰三角形的腰也是在隨勢而縮短，且要縮短到符合于新位置的等腰三角形的腰長為止。在這

8、種特別攝像的操控下，以為頂角的點便壓縮到了以為頂角的點的位置。這句話的同義語就是通過特殊數(shù)學(xué)想象而壓縮了的頂角已變成了的頂角點。由于和的位置是處在到之間，知這二者都是隨勢而下壓的頂角點，那么我們要問，經(jīng)如此壓縮后的和所對應(yīng)的角度變?yōu)榱硕嗌倌兀肯旅媸潜疚牡那蠼膺^程：（七）、欲求和壓縮后的頂角點變?yōu)榱硕嗌俣?，就必須求出和對?yīng)于壓縮段的位置。為此我們要在水平軸上找一點，使，此找點使得本來在立軸上的在壓縮之后成為了水平軸上的到之間的一段距離。由之前的操作而知這段距離的端點相當(dāng)于原立軸上的角的頂點。由于點是基礎(chǔ)三角形的頂角點，于是知其對應(yīng)于，由于在到的角頂點之間（即從到點之間）還有和這樣的整數(shù)度頂角點存

9、在，對此我們心中的數(shù)理共識是：既然水平軸上的段段及點點都是由壓縮而來，那么它們與立軸上的三個攀升段即、的段段和點點就一定是保持著對應(yīng)的關(guān)系，由于三個攀升段的分界點都是整數(shù)度點，于是由對應(yīng)關(guān)系知整數(shù)度點和是壓縮后的三段未明位置的分界點。為了簡化整體敘述的繁雜，設(shè)第一、第二段的未明位置分界點為，而對第二、第三段的設(shè)定和操作，則放在其后用同理的方式簡述。為承接下文，特擬定如下用語：立軸上的是壓縮前的全長，是壓縮前的局部，水平軸上的是壓縮后的全長，是壓縮后的對應(yīng)于的局部。根據(jù)影像縮放理念知：壓縮前的局部 / 壓縮前的全長 = 壓縮后的對應(yīng)局部 / 壓縮后的全長。于是可得如下比例式： （1）數(shù)學(xué)上的縮放

10、功能其實就是幾何學(xué)中的比例，本文進(jìn)行的這種特殊的影像壓縮的操作正是基于此一數(shù)學(xué)理念而設(shè)計。在影像壓縮的過程中，雖然已設(shè)定是水平軸上的對應(yīng)于的頂角點，但不知其具體位置之所在，而這是本文急于想要解決的問題。由于空間的相交兩軸已夾出了一個平面，這使我們想到要在空間的這個平面上去構(gòu)造出一個三角形，于是以被壓縮段和壓縮段為邊的空間三角形飄然而出，有此三角形存在，本文就有充分的條件來完成剩余的作圖：（八）、在三角形中，過邊上的點作的平行線交于（即有），于是由平行線分線段成比例定理可得： （2）將（1）代入（2）于是可得： （3）由（3）可解得 （4）由（4）而知與重合，此言下之意即為，我們已由平行線的畫作

11、而證得了就是的頂角點。在同一操作理念下：過作的平行線，設(shè)其交于，則知即為的頂角點（其證明過程與前相同而略）。在以上兩頂角點的位置明了之后，我們的心中又在想著和對應(yīng)于立軸的情形?，F(xiàn)將釋疑手段謹(jǐn)呈如下：以為圓心，分別以和為半徑畫弧，設(shè)其分別交立軸于和，則知和即為和在立軸上的對應(yīng)點，實際上這就是將水平軸按反時鐘方向旋轉(zhuǎn)而使與重合的情形。于是知夾在其間的兩組對應(yīng)點一一重合，此意即為是頂角為的等腰三角形的頂角點、是頂角為的等腰三角形的頂角點。如果我們不旋轉(zhuǎn)水平軸，而是將基礎(chǔ)三角形繞也按反時鐘方向旋轉(zhuǎn)，那么此時的水平軸就成了新位置下的立軸，因新立軸上包涵了我們希望的所有解題的信息，知其已是身價百倍。由于這

12、種新關(guān)系與前文的構(gòu)思一脈相承，在我們設(shè)計思維里留下了相同的視覺，我感覺此變換角度看攀升的方案比“重合一說”更容易被人們理解和接受?？傊陨蟽煞桨付寄苓_(dá)我們最終之目的。為習(xí)慣起見還是以有過信息補(bǔ)充的原立軸為準(zhǔn)來完成畫作。（九）、現(xiàn)在宣布頂角為和的兩等腰三角形已名正言順地在空間直角坐標(biāo)系中安了家，其頂角點亦理所當(dāng)然地在立軸上適應(yīng)著攀升排隊。選定以空間等腰三角形的腰為腰，以為底，在水平面上單獨畫作一個等腰三角形，則此等腰三角形的頂角即為。（十）、從水平面上的的角中用尺規(guī)作圖的方法減去這個的角，則人們考慮了幾個世紀(jì)的角便躍入眼簾。有了眼前這個角的尺規(guī)作圖，尺規(guī)作圖的領(lǐng)域便開啟了一片新的天地，此前很多無法攻克的尺規(guī)作圖難題，在角的推出之下已不成問題。譬如尺規(guī)九等分圓周，我們只須將的角加上的角就得到的角，由于有周角，這意味著尺規(guī)九等分圓周已得到解決。由此而知，但凡與角有關(guān)的圓周的等分，人們都可從此一范例之中獲得靈感，也正是由于角的尺規(guī)作圖已擺在了我們的面前，進(jìn)而知角的累加可以形成任意整數(shù)度角，于是本文就以此為題了。在撰寫本文之后，我們的心得是：過去在平面上無法解決的尺規(guī)作圖問題，也許大都可以從多一個維度的探索里得到解決。巧的是在