高中三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)與常見習(xí)題類型解法

1、.三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)與常見習(xí)題類型解法1、任意角的三角函數(shù)：（1）弧長(zhǎng)公式： R為圓弧的半徑，為圓心角弧度數(shù)，為弧長(zhǎng)。（2）扇形的面積公式： R為圓弧的半徑，為弧長(zhǎng)。（3）同角三角函數(shù)關(guān)系式：倒數(shù)關(guān)系： 商數(shù)關(guān)系：， 平方關(guān)系：（4）誘導(dǎo)公式：（奇變偶不變，符號(hào)看象限）所謂奇偶指的是整數(shù)的奇偶性；函 數(shù)2、兩角和與差的三角函數(shù)：（1）兩角和與差公式： 【注：公式的逆用或者變形】（2）二倍角公式： 從二倍角的余弦公式里面可得出：降冪公式： ， （3）半角公式（可由降冪公式推導(dǎo)出）：， ，3、三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)：（其中）三角函數(shù)圖像定義域（-，+）（-，+）值域-1,1-1,1（-，+）最小正周期奇

2、偶性奇偶奇單調(diào)性單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增對(duì)稱性對(duì)稱軸：對(duì)稱中心：對(duì)稱軸：對(duì)稱中心：對(duì)稱中心：零值點(diǎn)最值點(diǎn)無(wú)4、函數(shù)的圖像與性質(zhì)：（本節(jié)知識(shí)考察一般能化成形如圖像及性質(zhì)）（1）函數(shù)和的周期都是（2）函數(shù)和的周期都是（3）五點(diǎn)法作的簡(jiǎn)圖，設(shè)，取0、來(lái)求相應(yīng)的值以及對(duì)應(yīng)的值再描點(diǎn)作圖。（4）關(guān)于平移伸縮變換可具體參考函數(shù)平移伸縮變換，提倡先平移后伸縮。切記每一個(gè)變換總是對(duì)字母而言，即圖像變換要看“變量”起多大變化，而不是“角變化”多少?！竞瘮?shù)的平移變換】： 將圖像沿軸向左（右）平移個(gè)單位（左加右減） 將圖像沿軸向上（下）平移個(gè)單位（上加下減）【函數(shù)的伸縮變換】： 將圖像縱坐標(biāo)不變，橫

3、坐標(biāo)縮到原來(lái)的倍（縮短，伸長(zhǎng)） 將圖像橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的A倍（伸長(zhǎng)，縮短）【函數(shù)的對(duì)稱變換】：) 將圖像繞軸翻折180°（整體翻折）；（對(duì)三角函數(shù)來(lái)說(shuō)：圖像關(guān)于軸對(duì)稱）將圖像繞軸翻折180°（整體翻折）；（對(duì)三角函數(shù)來(lái)說(shuō)：圖像關(guān)于軸對(duì)稱） 將圖像在軸右側(cè)保留，并把右側(cè)圖像繞軸翻折到左側(cè)（偶函數(shù)局部翻折）；保留在軸上方圖像，軸下方圖像繞軸翻折上去（局部翻動(dòng)）5、方法技巧三角函數(shù)恒等變形的基本策略。（1）常值代換：特別是用“1”的代換；如等。（2）項(xiàng)的分拆與角的配湊。如分拆項(xiàng)：；配湊角：；等。（3）降次與升次；切化弦法。（4）引入輔助角。，這里輔助角所在象限由的符號(hào)

4、確定，角的值由確定?！镜湫屠}】：1、已知，求的值解：因?yàn)?，又，?lián)立得解這個(gè)方程組得2、求的值。解：原式3、若，求的值解：法一：因?yàn)樗缘玫?，又，?lián)立方程組，解得所以法二：因?yàn)樗?，所以，所以，所以?、求證：。證明：法一：右邊；法二：左邊=5、求函數(shù)在區(qū)間上的值域。解：因?yàn)椋?，由正弦函?shù)的圖象，得到，所以6、求下列函數(shù)的值域（1）； （2）)解：（1）=令，則利用二次函數(shù)的圖象得到(2) =令，則則利用二次函數(shù)的圖象得到7、若函數(shù)y=Asin(x+)(0，0)的圖象的一個(gè)最高點(diǎn)為，它到其相鄰的最低點(diǎn)之間的圖象與x軸交于(6，0)，求這個(gè)函數(shù)的一個(gè)解析式。解：由最高點(diǎn)為，得到，最高點(diǎn)和最低

5、點(diǎn)間隔是半個(gè)周期，從而與x軸交點(diǎn)的間隔是個(gè)周期，這樣求得，T=16，所以又由，得到可以取8、已知函數(shù)f(x)=cos4x2sinxcosxsin4x()求f(x)的最小正周期；()若求f(x)的最大值、最小值數(shù)的值域解：()因?yàn)閒(x)=cos4x2sinxcosxsin4x(cos2xsin2x)(cos2xsin2x)sin2x所以最小正周期為()若，則，所以當(dāng)x=0時(shí)，f(x)取最大值為當(dāng)時(shí)，f(x)取最小值為9、已知，求（1）；（2）的值.解：（1）； (2) .說(shuō)明：利用齊次式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)（如果不具備，通過(guò)構(gòu)造的辦法得到），進(jìn)行弦、切互化，就會(huì)使解題過(guò)程簡(jiǎn)化。10、求函數(shù)的值域。解：設(shè)

6、，則原函數(shù)可化為，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，函數(shù)的值域?yàn)椤?1、已知函數(shù)；（1）求的最小正周期、的最大值及此時(shí)x的集合；（2）證明：函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱。解：(1)所以的最小正周期，因?yàn)?，所以，?dāng)，即時(shí)，最大值為；(2)證明：欲證明函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，只要證明對(duì)任意，有成立，因?yàn)?，所以成立，從而函?shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱。12 、已知函數(shù)y=cos2x+sinx·cosx+1 （xR）,（1）當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí)，求自變量x的集合；（2）該函數(shù)的圖像可由y=sinx(xR)的圖像經(jīng)過(guò)怎樣的平移和伸縮變換得到.解：（1）y=cos2x+sinx·cosx+1= (2cos

7、2x1)+ +（2sinx·cosx）+1=cos2x+sin2x+=(cos2x·sin+sin2x·cos)+=sin(2x+)+所以y取最大值時(shí)，只需2x+=+2k,（kZ），即 x=+k,（kZ）。所以當(dāng)函數(shù)y取最大值時(shí)，自變量x的集合為x|x=+k,kZ（2）將函數(shù)y=sinx依次進(jìn)行如下變換：（i）把函數(shù)y=sinx的圖像向左平移，得到函數(shù)y=sin(x+)的圖像；（ii）把得到的圖像上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=sin(2x+)的圖像；（iii）把得到的圖像上各點(diǎn)縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=sin(2x+)

8、的圖像； （iv）把得到的圖像向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y=sin(2x+)+的圖像。綜上得到y(tǒng)=cos2x+sinxcosx+1的圖像。歷年高考綜合題一、選擇題：1、（08全國(guó)一6）是（ ）A、最小正周期為的偶函數(shù)B、最小正周期為的奇函數(shù)C、最小正周期為的偶函數(shù) D、最小正周期為的奇函數(shù)2、（08全國(guó)一9）為得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖像（ ）A、向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位B、向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位C、向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位D、向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位3、(08全國(guó)二1)若且是，則是（ ）A、第一象限角B、第二象限角C、 第三象限角D、 第四象限角4、（08全國(guó)二10）函數(shù)的最大值為（ ）A、1 B、 C、

9、D、25、（08安徽卷8）函數(shù)圖像的對(duì)稱軸方程可能是（ ）A、B、 C、 D、6、（08福建卷7）函數(shù)y=cosx(xR)的圖象向左平移個(gè)單位后，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，則g(x)的解析式為 ( )A、-sinx B、sinx C、-cosx D、cosx7、（08廣東卷5）已知函數(shù)，則是（ ）A、最小正周期為的奇函數(shù) B、最小正周期為的奇函數(shù)C、最小正周期為的偶函數(shù) D、最小正周期為的偶函數(shù)8、（08海南卷11）函數(shù)的最小值和最大值分別為（ ）A、 3，1B、2，2C、3，D、2，9、（08湖北卷7）將函數(shù)的圖象F向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到圖象F，若F的一條對(duì)稱軸是直線則的一個(gè)可能取值是（

10、） A、 B、 C、 D、10、（08江西卷6）函數(shù)是（ ）A、以為周期的偶函數(shù) B、以為周期的奇函數(shù)C、以為周期的偶函數(shù) D、以為周期的奇函數(shù)11、若動(dòng)直線與函數(shù)和的圖像分別交于兩點(diǎn)，則的最大值為 （ ）A、1 B、 C、 D、212、（08山東卷10）已知，則的值是（ ）A、 B、 C、 D、13、08陜西卷1）等于（ ）A、 B、 C、 D14、（08四川卷4） ( )、 、 、 、15、（08天津卷6）把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象所表示的函數(shù)是（ ） A、 B、C、 D、16、（08天津卷9）設(shè)，則（

11、 ）A、B、 C、 D、17、（08浙江卷2）函數(shù)的最小正周期是（ ） A、 B、 C、 D、18、（08浙江卷7）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象和直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ）A、0 B、1 C、2 D、4二、填空題19、（08北京卷9）若角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值為 20、（08江蘇卷1）的最小正周期為，其中，則=21、（08遼寧卷16）設(shè)，則函數(shù)的最小值為 22、（08浙江卷12）若，則_。23、（08上海卷6）函數(shù)f(x)sin x +sin(+x)的最大值是三、解答題24、（08四川卷17）求函數(shù)的最大值與最小值。25、（08北京卷15）已知函數(shù)（）的最小正周期為；（）求的值；（）求函數(shù)在區(qū)

12、間上的取值范圍26、（08天津卷17）已知函數(shù)（）的最小值正周期是；（）求的值；（）求函數(shù)的最大值，并且求使取得最大值的的集合27、 （08安徽卷17）已知函數(shù)，（）求函數(shù)的最小正周期和圖象的對(duì)稱軸方程；（）求函數(shù)在區(qū)間上的值域28、（08陜西卷17）已知函數(shù)（）求函數(shù)的最小正周期及最值；（）令，判斷函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由參考答案：一、選擇題：110：D 、C、C、B、B、A、D 、C、 9、A 、A；1120: 11、C、13、B 、14、D 15、C 16、D 17、B 18、C；二、填空題：19、 20、10 21、 22、 23、2。三、解答題：24、解：由于函數(shù)在中的最大值為：最小值為：故當(dāng)時(shí)取得最大值，當(dāng)時(shí)取得最小值【點(diǎn)評(píng)】：此題重點(diǎn)考察三角函數(shù)基本公式的變形，配方法，符合函數(shù)的值域及最值；【突破】：利用倍角公式降冪，利用配方變?yōu)閺?fù)合函數(shù)，重視復(fù)合函數(shù)中間變量的范圍是關(guān)鍵；25、解：（）因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，且，所以，解得（）由（）得