第四節(jié)恒成立與能成立問題

1、第四節(jié)恒成立與能成立問題與“對 x，命題P(x)成立”有關(guān)的問題叫做恒成立問題；與“ x，命題P(x)成立” 有關(guān)的問題叫做能成立問題，又稱存在性問題為了掌握這兩種問題，先要熟悉它們的不同說法與“ f(x) g(x)恒成立”有關(guān)的說法：“ f(x)的圖象總在g(x)的圖象的上方” “無 論X取何值時(shí)f (x) g(x)都成立”，“對x， f (x) g(x)成立”，“ f(x) g(x)的解集 為R ”，“f(x) g(x)的解集為空集” ，等等.與f (x) g (x)能成立”有關(guān)的說法：“存在x使f (x) g(x)成立”，“ f (x) g(x) 有解”，“ f (x) g (x)的解集

2、不為空集”，“ f(x) g (x)有意義”，等等說明：不等式有 f (x) g(x)、f (x) g(x)、f (x) g(x)、f (x) g (x)四種情形， 下面主要以f(x) g(x)情形分析一、不等式中的恒成立問題與能成立問題分析“恒成立問題”與“能成立問題”，首先以下面三個(gè)思維模型為依據(jù)1. 思維模型一 ：f(x) g(x)的幾何意義為f (x)的圖象在g(x)的圖象的上方特別地，f (x) 0的幾何意義為f (x)的圖象在x軸的上方.比如ax2 2ax 1 0恒成2立，則y ax 2ax 1的圖象在y 0 ( x軸)的上方2. 思維模型二：若g(a) f (x)恒成立，則g(a

3、)minf(x)max，這是在f(X)的最大值存在時(shí)的結(jié)論，如果f(x)沒有最大值只有最大極限值M (即f(x) M )，則g(a)min M 這里設(shè)g(a)為僅含變量a的代數(shù)式，f (x)為僅含變量x的代數(shù)式，下同用比喻的方法掌握這個(gè)結(jié)論效果較好：某人身高比我們班的學(xué)生都高，那么他比我們班最高的學(xué)生高或者，某班學(xué)生的身高比我們班學(xué)生都高，那么該班最矮的學(xué)生比我們班最 高的學(xué)生高在這里，有一個(gè)說法與此說法容易混淆，要通過比較把它們區(qū)別開來(設(shè)f (x)、g(a)有最值)：容易混淆的 兩個(gè)說法若 g(a) f(x)恒成立，則 g(a)minf (x)max 若函數(shù)f (x)滿足f (a) f (

4、x)恒成立，則f ( x) max f (a).這個(gè)結(jié)論在數(shù)列中也常用，即數(shù)列an與an中，若bm an恒成立，則bm的最小值an的最大值；若am an恒成立，則an的最大值為am 3.思維模型三：若g(a) f (x)能成立，則g(a)max f (x)min，這是在f (x)的最小值M (即 f(x) M ), 一樣有存在時(shí)的結(jié)論，如果 f(X)沒有最小值只有最小極限值 g( a) max M .比喻：某班存在學(xué)生的身高比我們班學(xué)生高，那么該班最高的學(xué)生比我們班最矮的學(xué)生高注意：比較復(fù)雜的恒成立與能成立問題的題目一般以下面四種形式出現(xiàn)(這是f(x)、g(a)有最值時(shí)的情形，沒有最值時(shí)需酌情

5、加等號(hào))條件結(jié)論備注對任意a ,對任意x , g(a) f (x)成立g(a) minf ( X)max即g(a) f (x)恒成立存在a，對任意x，使g(a) f (x)成立g(a) maxf(X)max對任意a，存在x，使g(a) f (x)成立g (a)minf(X)min存在a，存在x，使g (a) f (x)成立g(a) maxf (x)min即g(a) f (x)能成立常見問題如下:(一) 無限制條件下的恒成立問題1一次不等式恒成立一次不等式f(x) kx b 0恒成立，則2二次不等式恒成立二次不等式f(x) ax2 bx c 0 ( a 0)恒成立，則0.其他恒成立的思維方0法依

6、此類推3 思維模型二的特殊情況a f (x)min 這是在f ( x)的最值a f (x)恒成立 a f (x)max ; a f (x)恒成立存在時(shí)的結(jié)論，如果沒有最值則加等號(hào)，即a f (x)恒成立a f (x)恒成立a N ;a M f (x) (M ,N)f(x) (M ,N)(二) 有條件限制下的恒成立問題形如“ f(x) 0在區(qū)間上m, n恒成立”稱為有條件限制下的恒成立其中，條件“ f (x)0 ”可變?yōu)?, 0, 0 ”；“在m,n上”可變?yōu)椤霸?(，n)、(,n、(m,)、m,)、(m, n)、m, n)、(m, n上”等.f(x) ax b 0在(m,n上恒成立f (m)0

7、f(n) 0f (x) ax b 0在(m,n上恒成立f (m)0f(n) 0結(jié)論中的不區(qū)間沒有其他條件下的依此類推， 一般來說，不等式有等號(hào)，區(qū)間無論有不有等號(hào), 等式都有等號(hào)；不等式?jīng)]有等號(hào)，區(qū)間有等號(hào)，結(jié)論中對應(yīng)的不等式則沒有等號(hào)， 等號(hào)，結(jié)論中對應(yīng)的不等式則有等號(hào) 2.二次不等式在 某區(qū)間上恒成立若二次不等式f(x) ax2bxc 0 ( a 0 )在m,n上恒成立，則2af (m)b2af(0(或0)3.形如f (x)在區(qū)間上恒成立”型a f (x)在區(qū)間D上恒成立，且f (x)在區(qū)間D上的最大值M，則a；如果f(x)在區(qū)間D上沒有最大值只有最大極限值M，則aa f (x)在區(qū)間D上

8、恒成立，且f (x)在區(qū)間D上的最小值M，則a；如果f(x)在區(qū)間D上沒有最小值只有最小極限值M，則a4.形如對任意x-i, x2f (xi) f(X2)恒成立”型函數(shù)f (x)定義在區(qū)間D上且在區(qū)間D上有最大值和最小值，若對任意f (xi)f區(qū))恒成立，則a f (x) max f(x) min ； 若對任意x(, X2af (x-) f區(qū))恒成立，則a 0.(三) 能成立問題1 .形如a f (x)型”的能成立af (x)能成立af (x)min ;如果f(x)沒有最小值只有最小極限值M，則a M .af (x)能成立af(x)max ;如果f (x)沒有最大值只有最大極限值M，則a M

9、.2.形如對任意x，存在a使不等式成立”型對任意x，存在a使g(a)f(x)成立g(a)maxf ( X) max ；如果f (X)沒有最大值只有最大極限值 M，則g(a)maxM .對任意x，存在a使g(a)f (x)成立g (a)minf (X)min ；如果f (x)沒有最小值只有最小極限值 M，則g(a)minM .3.形如“存在xi,x2 D使af(xd f(X2)成立”型函數(shù)f (x)定義在區(qū)間 D上且在區(qū)間 D上有最大值和最小值，若存在x1,x2 D使f (xi)f(X2)成立，則 a 0；若存在為必 D使af (xi)f(X2)成立，則a f(x) max f(x) min二、等式中的恒成立與能成立問題1.等式中的恒成立問題,可參見第四章“多項(xiàng)式的恒等”所述；比如，對任等式中的恒成立問題即恒等式問題意x若a x2 1恒成立，則a ；2a 1又如，對任意x若a ksinx 1恒成立，則k o2.等式中的能成立問題設(shè)A、B分別是g(a)與f (x)的值域，則(1) 若af (x)能成立，則a B.(