巧補(bǔ)形妙求解學(xué)法指導(dǎo)不分版本

1、巧補(bǔ)形妙求解學(xué)法指導(dǎo)不分版本韓秀鸞“補(bǔ)形法”是解幾何題常用的重要方法之一。所謂“補(bǔ)形”，就是根據(jù)題目的條件和圖形，經(jīng)過觀察、分析和聯(lián)想，運(yùn)用添加輔助線的方法，使之轉(zhuǎn)化為熟悉的基本圖形，從而可 溝通條件和結(jié)論之間的聯(lián)系，為解題開辟了新的途徑和方法，達(dá)到了解題的目的。 下面舉例說明補(bǔ)形法的應(yīng)用。1、補(bǔ)成三角形BC 例 1 如圖 1 ,在四邊形 ABCD 中，/ B= / D=90 ° , / A=60 ° , AB=4 , AD=5。求 。CD圖1解：延長AD、BC交于點(diǎn)E （如圖1）,由條件可知/ E=30°所以BE 4 3 ,DE 2AB AD 853于是 CD

2、逅 CE 2yi3所以 BC BE CE 4 32 32 3故匹 2CD 3例2 如圖2，在 ABC中，E是BC的中點(diǎn)，D在AC邊上，若/ BAC=60。，/ ACB=20 ° , / DEC=80 ° , AC=1，求 S abc解：延長 AB到F,使AF=AC，連結(jié)FC,由/ BAC=60。，得 ACF是等邊三角形。作/ BCF的平分線 CG,交AF于G點(diǎn)，貝U/ 仁 / 2= / 3=20 ° ,/ GBC= / A+ / 2=60° +20 ° =80° = / DEC所以 CED CBG又 CE -CB2所以2S CDE1S

3、2ScBG于疋S ABC2S CDE11(S ABC S FGC ) S CBG221 .3 &.3S ACFAC2 8 82、補(bǔ)成平行四邊形例3 如圖3，六邊形ABCDEF的六個(gè)內(nèi)角相等，且AB+BC=11 ,AF CD=3，求BC+DE 的值。圖3分析：由六邊形 ABCDEF的六個(gè)內(nèi)角相等，得六邊形 ABCDEF的內(nèi)角都是120°。 延長FA、CB交于P點(diǎn)，延長CD、FE交于Q點(diǎn)，則四邊形 CQFP是平行四邊形， ABP、 DEQ是等邊三角形。于是有 PA+AF=CD+DQ所以 AF CD DQ AP 3又 DQ DE，AP AB所以DE AB 3又 AB+BC=11所以

4、 BC+DE=143、補(bǔ)成菱形例 4 如圖 4，凸五邊形 ABCDE 中，/ A= / B=120 ° , EA=AB=BC=2 , CD=DE=4。求S五邊形ABCDE °解：延長EA、CB交于F點(diǎn)。所以四邊形CDEF是菱形， 故S五邊形abcd ES菱形CDEF S2S CDEV3244、補(bǔ)成矩形 例5八邊形ABCDEFGH的周長。是等邊三角形,ABFS ABF42227 3ABCDEFGH的八個(gè)內(nèi)角都相等，各邊長度如圖5所示，求八邊形圖5解：由八邊形ABCDEFGH的八個(gè)內(nèi)角相等，得其內(nèi)角都是135°。延長AB、DC交于M點(diǎn)，延長CD、FE交于N點(diǎn)，延長EF

5、、HG交于P點(diǎn)，延長GH、BA交于Q點(diǎn)，貝U MNPQ是矩形， BCM、 DEN、 FGP、 AHQ均為等腰直角三角形。設(shè) AH=x , GH=yBD=2 , CD=3，求 S abc圖6由 MQ=NP, MN=PQ，得2 27x5-26 . 2222 y近x2 22整22所以x32,y 32 2故八邊形ABCDE:FGH的周長 32. 2。5、補(bǔ)成正方形例 6 如圖 6，在 ABC 中，/ BAC=45 ° , AD 丄BC 于 D,分析：由于/ BAC=45。，分別將厶BAD、 CAD沿AB、AC向外翻折至 BAF、CAE處，延長FB、EC交于G點(diǎn)，則四邊形 AEGF是正方形。設(shè)

6、 AD=x，則 BG x 2, CG x 3在厶 BCG 中，BG2 CG2 BC2即(x 2)2 (x 3)2 52解得x 6或x 1 (舍去)所以 Sabc 1 5 6 1556、補(bǔ)成梯形例 7 如圖 7,四邊形 ABCD 中，/ ABC=135 °，/ BCD=120 °, AB 6 , BC 53 ,CD=6 , 求 AD。圖7分析：由于/ ABC=135 ° , / BCD=120 ° ,故可過點(diǎn) A作AE垂直于 CB的延長線于 E, 過點(diǎn)D作DF垂直于BC的延長線于F，則 ABE是等腰直角三角形， CDF是含30°角 的直角三角形，

7、所以四邊形 ADFE是直角梯形。過A作AM丄DF于M，則AEBE AB23CF1 CD23, DF3.3AMEF3 53 38DMDFAE 3 332 3所以ADAM 2DM 264122 197、補(bǔ)成正六邊形例8六個(gè)半徑為1的圓的位置如圖8所示，求中間沒被蓋住的空白部分的面積。解：如圖8，連結(jié)相鄰兩圓的圓心,故S空白 S六邊形ABCDEF6S扇形22 逅 6 123圖8得六邊形ABCDEF是正六邊形。126 328、補(bǔ)成整圓例9如圖9，半圓的0的直徑在梯形 ABCD的下底AB上，且與其余三邊 AD、DC、CB 相切，若 BC=2 , AD=3 ,解：將半圓0補(bǔ)成整圓，作平行于 AB的切線EF

8、,交DA、CB的延長線于E、F，則DC EF DE CFAB是梯形CDEF的中位線，1故 AB (DE CF) AD BC 52從以上分析可以看出，“補(bǔ)形法”在解有關(guān)幾何題時(shí)，有它獨(dú)特的魅力，可以使解答簡 單流暢，另懼一格，使一些復(fù)雜的問題迎刃而解。開拓了學(xué)生的思路，提高了解題能力，對 培養(yǎng)學(xué)生的興趣也大有裨益。練習(xí)：1、六邊形ABCDEF的六個(gè)內(nèi)角都是120 ° ,其連續(xù)四邊的長分別是 AB=3 , BC=6 ,CD=5 ,DE=4，求六邊形ABCDEF的周長和面積。2、在厶ABC中，AC=BC , / ACB=90 ° , D是AC上一點(diǎn)，且AE丄BD的延長線于 E,1AE -BD。求證 BD 平分/ ABC。23、四邊形 ABCD 中，AB=AC=AD=a , CD=b , AD/BC，求對角線 BD 的長。4、 A ABC 中，AD 平分/ BAC , AD的垂直平分線 EF交BC的延長線于 E。求證 DE補(bǔ)成等腰三角形 補(bǔ)成等腰梯形，、4a2 b2 補(bǔ)成等腰三角形 補(bǔ)成矩形，.91 補(bǔ)成正方形。 BE CE。5、在四邊形 ABCD 中，/