圓錐曲線綜合復(fù)習(xí)各題型分析

1、圓錐曲線一、軌跡方程 1、求軌跡方程的幾個步驟：（建-設(shè)-列-化-證）a.建系（建立平面直角坐標(biāo)系,多數(shù)情況此步省略）b.設(shè)點（求哪個點的軌跡，就設(shè)它（x,y）c.列式（根據(jù)條件列等量關(guān)系）d.化簡（化到可以看出軌跡的種類）e.證明（改成：修正）（特別是三角形、斜率、弦的中點問題）2、求動點軌跡方程的幾種方法 a.直接法：題目怎么說，列式怎么列。 b.定義法：先得到軌跡名稱c.代入法（相關(guān)點法）:設(shè)所求點（x，y）另外點（）找出已知點和所求點的關(guān)系 c.參數(shù)法：（x,y）中x,y都隨另一個量變化而變化消參 e.待定系數(shù)法：先設(shè)出軌跡方程，再根據(jù)已知條件，待定方程中的常數(shù)，即可得到軌跡方程例題一

2、：定義法求曲線軌跡方程是解析幾何的兩個基本問題之一，求符合某種條件的動點軌跡方程，其實質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，通過坐標(biāo)互化將其轉(zhuǎn)化為尋求變量之間的關(guān)系，在求與圓錐曲線有關(guān)的軌跡問題時，要特別注意圓錐曲線的定義在求軌跡中的作用，只要動點滿足已知曲線定義時，通過待定系數(shù)法就可以直接得出方程。例1：已知的頂點A，B的坐標(biāo)分別為（-4，0），（4，0），C 為動點，且滿足求點C的軌跡。【解析】由可知，即，滿足橢圓的定義。令橢圓方程為，則，則軌跡方程為（，圖形為橢圓（不含左，右頂點）?！军c評】熟悉一些基本曲線的定義是用定義法求曲線方程的關(guān)鍵。（1） 圓：到定點的距離等于定長（2） 橢圓：到兩定點的距

3、離之和為常數(shù)（大于兩定點的距離）（3） 雙曲線：到兩定點距離之差的絕對值為常數(shù)（小于兩定點的距離）（4） 到定點與定直線距離相等?！咀兪?】: 1:已知圓的圓心為M1，圓的圓心為M2，一動圓與這兩個圓外切，求動圓圓心P的軌跡方程。解：設(shè)動圓的半徑為R，由兩圓外切的條件可得：，。動圓圓心P的軌跡是以M1、M2為焦點的雙曲線的右支，c=4，a=2，b2=12。故所求軌跡方程為2:一動圓與圓O：外切，而與圓C：內(nèi)切，那么動圓的圓心M的軌跡是：A：拋物線B：圓 C：橢圓 D：雙曲線一支【解答】令動圓半徑為R，則有，則|MO|-|MC|=2，滿足雙曲線定義。故選D。二：直接法此類問題重在尋找數(shù)量關(guān)系。例

4、2： 一條線段AB的長等于2a,兩個端點A和B分別在x軸和y軸上滑動，求AB中點P的軌跡方程？解 設(shè)M點的坐標(biāo)為 由平幾的中線定理：在直角三角形AOB中，OM=M點的軌跡是以O(shè)為圓心，a為半徑的圓周.【點評】此題中找到了OM=這一等量關(guān)系是此題成功的關(guān)鍵所在。一般直接法有下列幾種情況：1）代入題設(shè)中的已知等量關(guān)系：若動點的規(guī)律由題設(shè)中的已知等量關(guān)系明顯給出，則采用直接將數(shù)量關(guān)系代數(shù)化的方法求其軌跡。2）列出符合題設(shè)條件的等式：有時題中無坐標(biāo)系，需選定適當(dāng)位置的坐標(biāo)系，再根據(jù)題設(shè)條件列出等式，得出其軌跡方程。3）運用有關(guān)公式：有時要運用符合題設(shè)的有關(guān)公式，使其公式中含有動點坐標(biāo)，并作相應(yīng)的恒等變

5、換即得其軌跡方程。4）借助平幾中的有關(guān)定理和性質(zhì)：有時動點規(guī)律的數(shù)量關(guān)系不明顯，這時可借助平面幾何中的有關(guān)定理、性質(zhì)、勾股定理、垂徑定理、中線定理、連心線的性質(zhì)等等，從而分析出其數(shù)量的關(guān)系，這種借助幾何定理的方法是求動點軌跡的重要方法.【變式2】: 動點P（x,y）到兩定點A（3，0）和B（3，0）的距離的比等于2（即），求動點P的軌跡方程？【解答】|PA|=代入得化簡得（x5）2+y2=16，軌跡是以（5，0）為圓心，4為半徑的圓.三：參數(shù)法此類方法主要在于設(shè)置合適的參數(shù)，求出參數(shù)方程，最后消參，化為普通方程。注意參數(shù)的取值范圍。例3過點P（2，4）作兩條互相垂直的直線l1，l2，若l1交x

6、軸于A點，l2交y軸于B點，求線段AB的中點M的軌跡方程?！窘馕觥糠治?：從運動的角度觀察發(fā)現(xiàn)，點M的運動是由直線l1引發(fā)的，可設(shè)出l1的斜率k作為參數(shù)，建立動點M坐標(biāo)（x，y）滿足的參數(shù)方程。解法1：設(shè)M（x，y），設(shè)直線l1的方程為y4k（x2），（k） M為AB的中點， 消去k，得x2y50。 另外，當(dāng)k0時，AB中點為M（1，2），滿足上述軌跡方程； 當(dāng)k不存在時，AB中點為M（1，2），也滿足上述軌跡方程。 綜上所述，M的軌跡方程為x2y50。 分析2：解法1中在利用k1k21時，需注意k1、k2是否存在，故而分情形討論，能否避開討論呢？只需利用PAB為直角三角形的幾何特性： 解法2

7、：設(shè)M（x，y），連結(jié)MP，則A（2x，0），B（0，2y）， l1l2，PAB為直角三角形化簡，得x2y50，此即M的軌跡方程。分析3：設(shè)M（x，y），由已知l1l2，聯(lián)想到兩直線垂直的充要條件：k1k21，即可列出軌跡方程，關(guān)鍵是如何用M點坐標(biāo)表示A、B兩點坐標(biāo)。事實上，由M為AB的中點，易找出它們的坐標(biāo)之間的聯(lián)系。解法3：設(shè)M（x，y），M為AB中點，A（2x，0），B（0，2y）。 又l1，l2過點P（2，4），且l1l2 PAPB，從而kPA·kPB1， 注意到l1x軸時，l2y軸，此時A（2，0），B（0，4） 中點M（1，2），經(jīng)檢驗，它也滿足方程x2y50 綜上可知，

8、點M的軌跡方程為x2y50?！军c評】1） 解法1用了參數(shù)法，消參時應(yīng)注意取值范圍。解法2，3為直接法，運用了kPA·kPB1，這些等量關(guān)系。用參數(shù)法求解時，一般參數(shù)可選用具有某種物理或幾何意義的量，如時間，速度，距離，角度，有向線段的數(shù)量，直線的斜率，點的橫，縱坐標(biāo)等。也可以沒有具體的意義，選定參變量還要特別注意它的取值范圍對動點坐標(biāo)取值范圍的影響【變式3】過圓O：x2 +y2= 4 外一點A（4，0），作圓的割線，求割線被圓截得的弦BC的中點M的軌跡。解法一：“幾何法” 設(shè)點M的坐標(biāo)為（x,y）,因為點M 是弦BC的中點，所以O(shè)MBC, 所以|OM | | ， 即(x2

9、+y2)+(x )2 +y2 =16 化簡得：（x2）2+ y2 =4. 由方程 與方程x2 +y2= 4得兩圓的交點的橫坐標(biāo)為1，所以點M的軌跡方程為 （x2）2+ y2 =4 （0x1）。所以M的軌跡是以（2，0）為圓心，2為半徑的圓在圓O內(nèi)的部分。解法二：“參數(shù)法” 設(shè)點M的坐標(biāo)為（x,y），B（x1,y1）,C（x2,y2）直線AB的方程為y=k(x4),由直線與圓的方程得（1+k2）x2 8k2x +16k24=0.(*),由點M為BC的中點，所以x=.(1) , 又OMBC，所以k=.(2)由方程（1）（2）消去k得（x2）2+ y2 =4,又由方程（*）的0得k2 ,所

10、以x1.所以點M的軌跡方程為（x2）2+ y2 =4 （0x1）所以M的軌跡是以（2，0）為圓心，2為半徑的圓在圓O內(nèi)的部分。四：代入法 例4. 軌跡方程。 分析：題中涉及了三個點A、B、M，其中A為定點，而B、M為動點，且點B的運動是有規(guī)律的，顯然M的運動是由B的運動而引發(fā)的，可見M、B為相關(guān)點，故采用相關(guān)點法求動點M的軌跡方程。 【解析】設(shè)動點M的坐標(biāo)為（x，y），而設(shè)B點坐標(biāo)為（x0，y0） 則由M為線段AB中點，可得 即點B坐標(biāo)可表為（2x2a，2y）【點評】代入法的關(guān)鍵在于找到動點和其相關(guān)點坐標(biāo)間的等量關(guān)系【變式4】P是橢圓=1上的動點，過P作橢圓長軸的垂線，垂足為M，則PM中點的軌

11、跡中點的軌跡方程為： （ ） A、 B、 C、 D、=1【答案】：B【解答】:令中點坐標(biāo)為,則點P 的坐標(biāo)為(代入橢圓方程得,選B五、待定系數(shù)法1. 求圓心在直線上，過點且與直線相切的圓的方程。2. 已知橢圓的中心在原點，焦點在坐標(biāo)軸上，且橢圓經(jīng)過點， ，求橢圓的方程。3. 已知雙曲線與橢圓有共同的焦點，且過點，求雙曲線的方程。二、方程識別 1、當(dāng)m,n滿足什么條件時，方程 分別表示圓、橢圓、雙曲線？2 時，討論方程表示何種曲線。解：（1）當(dāng)時，方程為，表示過原點的兩條相交直線。（2）當(dāng)時，方程為，表示焦點在軸上的雙曲線。（3）當(dāng)時，方程為，表示焦點在軸上的雙曲線。（4）當(dāng)時，方程為，表示兩條

12、平行直線。（5）時，若，方程變?yōu)楸硎緢A，當(dāng)時，方程為表示焦點在軸上的橢圓。（6）時，無軌跡。（7）時，方程為，表示焦點在軸上的雙曲線。三、性質(zhì) 名 稱橢 圓雙 曲 線圖 象定 義 平面內(nèi)到兩定點的距離的和為常數(shù)2（2）的動點的軌跡叫橢圓.即當(dāng)22時，軌跡是橢圓，當(dāng)2=2時，軌跡是一條線段當(dāng)22時，軌跡不存在平面內(nèi)到兩定點的距離的差的絕對值為常數(shù)2（）的動點的軌跡叫雙曲線.即當(dāng)22時，軌跡是雙曲線當(dāng)2=2時，軌跡是兩條射線當(dāng)22時，軌跡不存在標(biāo)準(zhǔn)方 程 焦點在軸上時： 焦點在軸上時： 焦點在軸上時： 焦點在軸上時：注：是根據(jù)分母的大小來判斷焦點在哪一坐標(biāo)軸上注：是根據(jù)項的正負(fù)來判斷焦點所在的位置

13、兩軸長軸長2a，短軸長2b（長半軸a ，短半軸b）實軸長2a，虛軸長2b（實半軸a ，虛半軸b）關(guān) 系 （1）（符合勾股定理的）（2）最大（可以）（1）（符合勾股定理的）（2）最大（可以）范圍焦點在x軸：axa，byb焦點在y軸：bxb，aya焦點在x軸：或焦點在y軸：或?qū)ΨQ關(guān)于x軸、y軸和原點對稱焦點在x軸焦點在y軸雙曲線漸近線即即備注：與共漸近線的雙曲線方程（）;標(biāo)準(zhǔn)方程圖形對稱軸焦點F準(zhǔn)線x軸(,0)x軸(-,0)y軸(0, )y軸(0,-)例題1橢圓的一個焦點是（0，2），那么k= 1 。2與橢圓共焦點，且過點（3，-2）的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是 。3.已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，P是橢圓

14、上的任意一點，則|PF1|×|PF2|的最大值為 25 .4橢圓的焦點F1、F2 ，過左焦點F1的弦AB的長為8，則 |AF2|+|BF2|= 12 。5橢圓與雙曲線的焦點相同，則k= 2 。6雙曲線的漸近線為 ; 兩漸近線夾角為 。7過點（-6，3）且和雙曲線x2-2y2=2有相同的漸近線的雙曲線方程為 8、若雙曲線的一個焦點是（0，3），則k的值是 -1 。9. 雙曲線的實軸長、虛軸長、焦距依次成等差數(shù)列，則這個雙曲線的漸近線方程為 。10.與曲線共焦點，而與曲線共漸近線的雙曲線方程為 11拋物線的焦點為 ，準(zhǔn)線方程為 。12、（2019.奉賢.6.）設(shè)雙曲線的漸近線方程為，則正

15、數(shù)的值為_13、（2019.閔行.文理.15.）拋物線的準(zhǔn)線方程是 （ ）（A） (B) (C) （D）14、（2019.閔行.理.5.）橢圓上一焦點與短軸兩端點形成的三角形的面積為1，則 15、（2019.嘉定.文理.8.）若雙曲線的焦點到漸近線的距離為，則實數(shù)的值為_16、（2019.楊浦.文理.18.）若分別為雙曲線的左、右焦點，點在雙曲線上，點的坐標(biāo)為(2，0)，為的平分線則的值為 ( ) 3 . 6. 9. 27. 四、直線與圓錐曲線位置關(guān)系、交點個數(shù) 方法一 是方程的觀點，即把曲線方程和直線的方程聯(lián)立成方程組，利用判別式來討論位置關(guān)系.方程解的個數(shù)為交點個數(shù)。1、首先注意討論直線方

16、程的斜率是否存在，不存在時驗證一下。2、直線斜率存在時，點斜式方程寫出直線方程，與圓錐曲線聯(lián)立，先討論二次項系數(shù)能不能為0?？梢詾?時，驗證一下是否有解，若有解，這時一個交點，相交（若是雙曲線，這時的直線與一條漸近線平行，若是拋物線，這時的直線與對稱軸平行）。無解的話就是沒有交點。3、二次項系數(shù)不為0時，(1)相交：直線與雙曲線相交，但直線與雙曲線相交不一定有，當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線相交且只有一個交點，故是直線與雙曲線相交的充分條件，但不是必要條件；(2)相切：直線與雙曲線相切；(3)相離：直線與雙曲線相離； 方法二是幾何的觀點（以雙曲線為例）直線與雙曲線的位置關(guān)系：區(qū)域：

17、無切線，2條與漸近線平行的直線，合計2條；區(qū)域：即定點在雙曲線上，1條切線，2條與漸近線平行的直線，合計3條；區(qū)域：2條切線，2條與漸近線平行的直線，合計4條；區(qū)域：即定點在漸近線上且非原點，1條切線，1條與漸近線平行的直線，合計2條；區(qū)域：即過原點，無切線，無與漸近線平行的直線.小結(jié)：過定點作直線與雙曲線有且僅有一個交點，可以作出的直線數(shù)目可能有0、2、3、4條.例題1過原點與雙曲線 交于兩點的直線斜率的取值范圍是 .2. 已知直線y=kx-1與雙曲線,試列出實數(shù)k需滿足的不等式組,使直線與雙曲線交同支于兩點， 。3若對任意kÎR，直線與雙曲線總有公共點，則b范圍 。4若方程x+k

18、-=0只有一個解，則實數(shù)k的取值范圍是_-1，1） _。 5過點P(3,4)與雙曲線只有一個交點的直線的條數(shù)為 （ C ）A4 B. 3 C.2 D. 16. 過點P（0，1）與拋物線只有一個公共點的直線方程為 。7、如果直線與橢圓恒有公共點，求實數(shù)m的取值范圍。 解： 1,5)È (5,+¥ )8. 已知兩點M（5，0）和N（5，0），若直線上存在點P使|PM|PN|=6，則稱該直線為“B型直線”。給出下列直線：；其中為“B型直線”的是 （1），（2） （填上所有正確的序號）。9已知直線與雙曲線交于、點。（1）求的取值范圍；（2）若以為直徑的圓過坐標(biāo)原點，求實數(shù)的值；（3

19、）是否存在這樣的實數(shù)，使、兩點關(guān)于直線對稱？若存在，請求出的值；若不存在，說明理由。解：（1）由消去，得（1）依題意即且（2）（2）設(shè)，則 以AB為直徑的圓過原點 但 由（3）（4）， 解得且滿足（2）（3）假設(shè)存在實數(shù)，使A、B關(guān)于對稱，則直線與垂直 ，即 直線的方程為將代入（3）得 AB中點的橫坐標(biāo)為2 縱坐標(biāo)為 但AB中點不在直線上，即不存在實數(shù)，使A、B關(guān)于直線對稱。10. 已知雙曲線方程為與點P(1,2),（1）求過點P（1，2）的直線的斜率的取值范圍，使直線與雙曲線有一個交點，兩個交點，沒有交點。 (2) 過點P（1，2）的直線交雙曲線于A、B兩點，若P為弦AB的中點，求直線AB的

20、方程；（3）是否存在直線，使Q（1，1）為被雙曲線所截弦的中點？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由。解：(1)當(dāng)直線l的斜率不存在時，l的方程為x=1,與曲線C有一個交點.當(dāng)l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y2=k(x1),代入C的方程，并整理得(2k2)x2+2(k22k)xk2+4k6=0 (*)()當(dāng)2k2=0,即k=±時，方程(*)有一個根，l與C有一個交點()當(dāng)2k20,即k±時=2(k22k)24(2k2)(k2+4k6)=16(32k)當(dāng)=0,即32k=0,k=時，方程(*)有一個實根，l與C有一個交點.當(dāng)0,即k,又k±,故當(dāng)k或k或k時

21、，方程(*)有兩不等實根，l與C有兩個交點.當(dāng)0，即k時，方程(*)無解，l與C無交點.綜上知：當(dāng)k=±,或k=，或k不存在時，l與C只有一個交點；當(dāng)k,或k,或k時，l與C有兩個交點；當(dāng)k時，l與C沒有交點.（2）假設(shè)以P為中點的弦為AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，則2x12y12=2,2x22y22=2兩式相減得：2(x1x2)(x1+x2)=(y1y2)(y1+y2)又x1+x2=2,y1+y2=4 2(x1x2)=y1y1 即kAB=1但漸近線斜率為±,結(jié)合圖形知直線AB與有交點，所以以P為中點的弦為：.(3)假設(shè)以Q為中點的弦存在，設(shè)為AB，且A(x1

22、,y1),B(x2,y2)，則2x12y12=2,2x22y22=2兩式相減得：2(x1x2)(x1+x2)=(y1y2)(y1+y2)又x1+x2=2,y1+y2=2 2(x1x2)=y1y1 即kAB=2但漸近線斜率為±,結(jié)合圖形知直線AB與C無交點，所以假設(shè)不正確，即以Q為中點的弦不存在.五、距離問題 1、點與圓錐曲線的距離：一般通過兩點間距離公式，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題來解決，注意變量范圍。特殊的，當(dāng)該點為焦點時，橢圓這側(cè)的長軸頂點到該點的距離最小，雙曲線這側(cè)的實軸頂點到該點的距離最小。拋物線一般轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離解決。2、到定直線的距離：一般是通過作定直線的平行線與圓錐曲線相切

23、來解決。 另外，通過參數(shù)方程也可以解決。3、到圓上點的距離：一般轉(zhuǎn)化為到圓心的距離加減半徑。例題1已知點P（4，-1），F(xiàn)為拋物線的焦點，在此拋物線上求一點Q，使 |QP|+|QF|的值最小，則點Q的坐標(biāo) （ D ）（A）（0，0）；（B）（4，）；（C）（4，-）；（D）（，-1） 。2給出問題：F1、F2是雙曲線=1的焦點，點P在雙曲線上.若點P到焦點F1的距離等于9，求點P到焦點F2的距離.某學(xué)生的解答如下：雙曲線的實軸長為8，由 |PF1|PF2|=8，即|9|PF2|=8，得|PF2|=1或17. 該學(xué)生的解答是否正確？若正確，請將他的解題依據(jù)填在下面空格內(nèi)，若不正確，將正確的結(jié)果填

24、在下面空格內(nèi).|PF2|=17 。3、（1）橢圓上的點到直線l:的距離的最小值為_【解題思路】把動點到直線的距離表示為某個變量的函數(shù) 解析在橢圓上任取一點P,設(shè)P(). 那么點P到直線l的距離為：4、已知M是橢圓上的動點，N是圓的動點，求|MN|的最小值解：先求M點到圓心的距離Þ利用二次函數(shù)求最值注意x的取值范圍。5、已知為橢圓上的一點，分別為圓和圓上的點，則的最小值為（ ） A 5 B 7 C 13 D 15 解析B. 兩圓心C、D恰為橢圓的焦點，的最小值為10-1-2=76、（2019.楊浦.文.12.）若點是橢圓上的動點，定點的坐標(biāo)為，則的取值范圍是 7、（2019.奉賢.文理

25、.21.）已知直角坐標(biāo)平面內(nèi)點，一曲線經(jīng)過點，且（1）求曲線的方程；（2）設(shè)，若，求點的橫坐標(biāo)的取值范圍六、弦長、面積問題 1、弦長 若直線與二次曲線的交點為A()和B ()方法一：聯(lián)立直線與二次曲線方程求出兩交點兩點間距離 方法二：利用弦長公式：=方法三：（半弦長）2=（半徑）2-（圓心到直線距離）2（只適用于圓）2、面積（1）、普通三角形：（2）、焦點三角形：橢圓： ，雙曲線：例題1點P是雙曲線上一點，F(xiàn)1、F2是雙曲線焦點，若ÐF1PF2=120o，則DF1PF2的面積 。2. 經(jīng)過雙曲線的右焦點作直線交雙曲線與、兩點，若|AB|=4,則這樣的直線存在的條數(shù)為 （B ）（A）；

26、（B）3；（C）2；（D）3如圖，把橢圓的長軸分成等份，過每個分點作軸的垂線交橢圓的上半部分于七個點，是橢圓的一個焦點，則_28_ _,XOYF1F2P4. 已知橢圓在x軸兩焦點為F1、F2，且|F1F2|=14,P為橢圓上一點，F(xiàn)1PF2=,F1PF2的面積為13，求：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。解：由題意 當(dāng)焦點在x軸上時，設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為橢圓則|PF1|PF2|sinF1PF2=13且|PF1|2+|PF2|2-2|PF2|PF1|cosF1PF2=|F1F2|2 |PF1|PF2|=52 且|PF1|2+|PF2|2=144 |PF1|+|PF2|=2 即a= 又c=7 b= 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為5、（

27、2019.虹口.9.）過拋物線的焦點作弦AB，點 ；6、（2019.虹口.10.）已知雙曲線的左、右焦點分別為在雙曲線上，且，則點P到x軸的距離等于 ；七、角的大小、垂直問題 1、角：借助向量，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運算。2、垂直問題：（1）斜率乘積為-1 （2）向量數(shù)量積為0.3、與向量有關(guān)問題：轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運算例題：1. 直線的右支交于不同的兩點A、B.(1)求實數(shù)k的取值范圍；(2)是否存在實數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點F？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由.解：(1)將直線依題意，直線l與雙曲線C的右支交于不同兩點，故(2)設(shè)A、B兩點的坐標(biāo)分別為、，則由式得假設(shè)存在實數(shù)k

28、，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點F（c,0）.則由FAFB得：整理得把式及代入式化簡得解得可知使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點.2 設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點.（）若是該橢圓上的一個動點，求的最大值和最小值;（）設(shè)過定點的直線與橢圓交于不同的兩點、，且為銳角（其中為坐標(biāo)原點），求直線的斜率的取值范圍.解：（）解法一：易知所以，設(shè)，則因為，故當(dāng)，即點為橢圓短軸端點時，有最小值當(dāng)，即點為橢圓長軸端點時，有最大值（）顯然直線不滿足題設(shè)條件，可設(shè)直線，聯(lián)立，消去，整理得：由得：或又又，即 故由、得或八、幾何意義：常涉及距離和斜率，另外方程解的問題也會涉及，但要注意變量的范圍。

29、1. 如果實數(shù)滿足方程，那么的最大值為 （ D ）(A) (B) (C) (D) 2若方程x+k-=0只有一個解，則實數(shù)k的取值范圍是_-1，1） _。 九、存在性問題 1、存在個數(shù)問題注意分類討論，與向量有關(guān)的存在問題常轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運算。2、涉及中點弦問題，用點差法。注意解好后驗證判別式。例題1. 已知雙曲線方程為與點P(1,2),（1）求過點P（1，2）的直線的斜率的取值范圍，使直線與雙曲線有一個交點，兩個交點，沒有交點。 (2) 過點P（1，2）的直線交雙曲線于A、B兩點，若P為弦AB的中點，求直線AB的方程；（3）是否存在直線，使Q（1，1）為被雙曲線所截弦的中點？若存在，求出直線的方程

30、；若不存在，請說明理由。解：(1)當(dāng)直線l的斜率不存在時，l的方程為x=1,與曲線C有一個交點.當(dāng)l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y2=k(x1),代入C的方程，并整理得(2k2)x2+2(k22k)xk2+4k6=0 (*)()當(dāng)2k2=0,即k=±時，方程(*)有一個根，l與C有一個交點()當(dāng)2k20,即k±時=2(k22k)24(2k2)(k2+4k6)=16(32k)當(dāng)=0,即32k=0,k=時，方程(*)有一個實根，l與C有一個交點.當(dāng)0,即k,又k±,故當(dāng)k或k或k時，方程(*)有兩不等實根，l與C有兩個交點.當(dāng)0，即k時，方程(*)無解，l與C無交點

31、.綜上知：當(dāng)k=±,或k=，或k不存在時，l與C只有一個交點；當(dāng)k,或k,或k時，l與C有兩個交點；當(dāng)k時，l與C沒有交點.（2）假設(shè)以P為中點的弦為AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，則2x12y12=2,2x22y22=2兩式相減得：2(x1x2)(x1+x2)=(y1y2)(y1+y2)又x1+x2=2,y1+y2=4 2(x1x2)=y1y1 即kAB=1但漸近線斜率為±,結(jié)合圖形知直線AB與有交點，所以以P為中點的弦為：.(3)假設(shè)以Q為中點的弦存在，設(shè)為AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，則2x12y12=2,2x22y22=2兩式相減得：2(x

32、1x2)(x1+x2)=(y1y2)(y1+y2)又x1+x2=2,y1+y2=2 2(x1x2)=y1y1 即kAB=2但漸近線斜率為±,結(jié)合圖形知直線AB與C無交點，所以假設(shè)不正確，即以Q為中點的弦不存在.2、（2019.奉賢.理.18.）將兩個頂點在拋物線上，另一個頂點，這樣的正三角形有（ ）A0個 B2個 C4個 D1個 （2019.奉賢.文.18.）兩個頂點在拋物線上，另一個頂點是此拋物線焦點，這樣的正三角形有（ ）A4個 B3個 C2個 D1個3、（2019.寶山.22.）已知橢圓的焦點，過作垂直于軸的直線被橢圓所截線段長為，過作直線l與橢圓交于A、B兩點.（1）求橢圓的

33、標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若A是橢圓與y軸負(fù)半軸的交點，求的面積；（3）是否存在實數(shù)使，若存在，求的值和直線的方程；若不存在，說明理由4、（2019.黃浦.文理.21.）已知兩點、，點是直角坐標(biāo)平面上的動點，若將點的橫坐標(biāo)保持不變、縱坐標(biāo)擴大到倍后得到點滿足(1) 求動點所在曲線的軌跡方程；(2)(理科)過點作斜率為的直線交曲線于兩點，且滿足，又點關(guān)于原點O的對稱點為點，試問四點是否共圓，若共圓，求出圓心坐標(biāo)和半徑；若不共圓，請說明理由 (文科)過點作斜率為的直線交曲線于兩點，且滿足(O為坐標(biāo)原點)，試判斷點是否在曲線上，并說明理由5（2019.楊浦.理.23.）已知的三個頂點在拋物線:上運動， 1.

34、求的焦點坐標(biāo)；2. 若點在坐標(biāo)原點， 且 ，點在上，且 ，求點的軌跡方程；3. 試研究: 是否存在一條邊所在直線的斜率為的正三角形，若存在，求出這個正三角形的邊長，若不存在，說明理由.十、對稱問題 對稱問題：垂直、平分。常常用到點差法。例題1、 若拋物線上總存在關(guān)于直線對稱的兩點，求的范圍 對稱問題解法一 判別式法（通法） 設(shè)拋物線上以為端點的弦關(guān)于直線對稱，且中點，設(shè)過的直線方程為y=x+m則：由得：xm1=0 1+4a(m+1) >0 (1)又x0=,y0= x0+m=,代人x+y=0得：m= (2)(2)代人（1）得：1+4a(+1) >0 .解法二 點差法（通法）設(shè)拋物線上以為端點的弦關(guān)于直線對稱，且以為中點是拋物線（即）內(nèi)的點 從而有 由 (1)-(2)得 由 從而有 2、若直線過M(-2,1),交橢圓于A、B兩點，若A、B關(guān)于點M對稱，求直線L的方程解析 M(-2,1)，設(shè)，則又，兩式相減得：，化簡得，把代入得故所求的直線方程為，即所以直線l的方程為 ：