圓周運(yùn)動(dòng)脫軌和臨界問(wèn)題

1、豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)是典型的變速運(yùn)動(dòng)，高中階段只分析通過(guò)最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的情況，經(jīng)?？疾榕R界狀態(tài)，其問(wèn)題可分為以下兩種模型.一、兩種模型模型1：“輕繩類” 圖1 圖2繩對(duì)小球只能產(chǎn)生沿繩收縮方向的拉力(圓圈軌道問(wèn)題可歸結(jié)為輕繩類)，即只能沿某一個(gè)方向給物體力的作用，如圖1、圖2所示，沒(méi)有物體支撐的小球，在豎直平面做圓周運(yùn)動(dòng)過(guò)最高點(diǎn)的情況：(1)臨界條件：在最高點(diǎn)，繩子(或圓圈軌道)對(duì)小球沒(méi)有力的作用，(2)小球能通過(guò)最高點(diǎn)的條件：，當(dāng)時(shí)繩對(duì)球產(chǎn)生拉力，圓圈軌道對(duì)球產(chǎn)生向下的壓力.(3)小球不能過(guò)最高點(diǎn)的條件：，實(shí)際上球還沒(méi)到最高點(diǎn)就脫離了圓圈軌道，而做斜拋運(yùn)動(dòng).模型2：“輕桿

2、類” 圖3 圖4有物體支撐的小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)過(guò)最高點(diǎn)的情況，如圖3所示，(小球在圓環(huán)軌道內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的情況類似“輕桿類”， 如圖4所示，)：(1)臨界條件：由于硬桿和管壁的支撐作用，小球恰能到達(dá)最高點(diǎn)的臨界速度(2)小球過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，輕桿對(duì)小球的彈力情況：當(dāng)時(shí)，輕桿對(duì)小球有豎直向上的支持力，其大小等于小球的重力，即；當(dāng)時(shí)，因,則.輕桿對(duì)小球的支持力豎直向上，其大小隨速度的增大而減小，其取值范圍是當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，則，即，桿對(duì)小球有指向圓心的拉力，其大小隨速度的增大而增大，注意 桿與繩不同，在最高點(diǎn)，桿對(duì)球既能產(chǎn)生拉力，也能對(duì)球產(chǎn)生支持力，還可對(duì)球的作用力為零.小結(jié) 如果小球帶電，且空間存在

3、電磁場(chǎng)時(shí)，臨界條件應(yīng)是小球重力、電場(chǎng)力和洛倫茲力的合力作為向心力，此時(shí)臨界速度(應(yīng)根據(jù)具體情況具體分析)另外，若在月球上做圓周運(yùn)動(dòng)則可將上述的換成，若在其他天體上則把換成.二、兩種模型的應(yīng)用【例1】如圖5所示，質(zhì)量為的小球從光滑的斜面軌道的點(diǎn)由靜止下滑，若小球恰能通過(guò)半徑為的豎直圓形軌道的最高點(diǎn)而做圓周運(yùn)動(dòng)，問(wèn)點(diǎn)的高度至少應(yīng)為多少?圖5【解析】此題屬于“輕繩類”，其中“恰能”是隱含條件，即小球在最高點(diǎn)的臨界速度是，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得把代入上式得：【例2】如圖6所示，在豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，一個(gè)帶負(fù)電、質(zhì)量為且重力大于所受電場(chǎng)力的小球，從光滑的斜面軌道的點(diǎn)由靜止下滑，若小球恰能通過(guò)半徑為的豎直

4、圓形軌道的最高點(diǎn)而做圓周運(yùn)動(dòng)，問(wèn)點(diǎn)的高度至少應(yīng)為多少?【解析】此題屬于“輕桿類”，帶電小球在圓形軌道的最高點(diǎn)受到三個(gè)力作用:電場(chǎng)力，方向豎直向上；重力；彈力，方向豎直向下由向心力公式，有要使小球恰能通過(guò)圓形軌道的最高點(diǎn)而做圓周運(yùn)動(dòng)，說(shuō)明小球此時(shí)處于臨界狀態(tài)，其速率為臨界速度，臨界條件是由此可列出小球的臨界狀態(tài)方程為 根據(jù)動(dòng)能定理，有 解之得： 說(shuō)明 把式中的換成，較容易求出圖6【例3】如圖6所示，在豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，一個(gè)帶正電、質(zhì)量為且重力大于所受電場(chǎng)力的小球，從光滑的斜面軌道的點(diǎn)由靜止下滑，若小球恰能通過(guò)半徑為的豎直圓形軌道的最高點(diǎn)而做圓周運(yùn)動(dòng)，問(wèn)點(diǎn)的高度至少應(yīng)為多少?【解析】此題屬于“

5、輕繩類”，題中“恰能”是隱含條件，要使帶電小球恰能通過(guò)圓形軌道的最高點(diǎn)而做圓周運(yùn)動(dòng)，說(shuō)明小球此時(shí)處于臨界狀態(tài)，其速率為臨界速度，臨界條件是由此可列出小球的臨界狀態(tài)方程為： 根據(jù)動(dòng)能定理，有 由上述二式解得： 小結(jié) 上述兩題條件雖然不同，但結(jié)果相同，為什么?因?yàn)殡妶?chǎng)力與重力做功具有相同的特點(diǎn)，重力做功僅與初、末位置的高度差有關(guān)；在勻強(qiáng)電場(chǎng)中，電場(chǎng)力做功也僅與沿電場(chǎng)力方向的距離差有關(guān)我們不妨可以這樣認(rèn)為，例2中的“等效重力加速度”比例1中的重力加速度減小，例3中的“等效重力加速度”比例1中的重力加速度增大例2中，；例3中，把代入各自對(duì)應(yīng)的式子，結(jié)果、分別都約去了，故【例4】如圖7所示，一個(gè)帶正電、

6、質(zhì)量為的電荷，圖7從光滑的斜面軌道的點(diǎn)由靜止下滑，若小球恰能通過(guò)半徑為的豎直圓形軌道的最高點(diǎn)(圓弧左半部分加上垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng))，問(wèn)點(diǎn)的高度至少應(yīng)為多少?【解析】此題屬于“輕繩類”，題中“恰能”是隱含條件，要使小球恰能通過(guò)圓形軌道的最高點(diǎn)，說(shuō)明小球此時(shí)處于臨界狀態(tài)，其速率為臨界速率，臨界條件是，由此可列出小球的臨界狀態(tài)方程為 ， 由式可得: 因只能取正值，即則【例5】如圖8所示，在豎直向下的均勻電場(chǎng)中，一個(gè)帶正電、質(zhì)量為的電荷，從光滑的斜面軌道的點(diǎn)由靜止下滑，若小球恰能通過(guò)半徑為的豎直圓形軌道的最高點(diǎn)(圓弧左半部分加上垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng))，問(wèn)點(diǎn)的高度至少應(yīng)為多少?圖 8【解析】此題屬

7、于“輕繩類”，題中“恰能”是隱含條件，要使小球恰能通過(guò)圓形軌道的最高點(diǎn)，說(shuō)明小球此時(shí)處于臨界狀態(tài)，其速率為臨界速率，臨界條件是，由此可列出小球的臨界狀態(tài)方程為 由式可得: 因只能取正值，即則小結(jié) 小球受到的洛倫茲力與軌道的彈力有相同的特點(diǎn)，即都與速度的方向垂直，它們對(duì)小球都不做功，而臨界條件是【例6】如圖9所示，為豎直平面內(nèi)的光滑絕緣軌道，其中段是水平的，段為半徑的半圓，兩段軌道相切于點(diǎn)，整個(gè)軌道處在豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，場(chǎng)強(qiáng)大小.一不帶電的絕緣小球甲，以速度沿水平軌道向右運(yùn)動(dòng)，與靜止在點(diǎn)帶正電的小球乙發(fā)生彈性碰撞。已知甲、乙兩球的質(zhì)量均為，乙所帶電荷量，取.(水平軌道足夠長(zhǎng)，甲、乙兩球可視為

8、質(zhì)點(diǎn)，整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程無(wú)電荷轉(zhuǎn)移)（1）甲乙兩球碰撞后，乙恰能通過(guò)軌道的最高點(diǎn)，求乙在軌道上的首次落點(diǎn)到點(diǎn)的距離；（2）在滿足(1)的條件下。求的甲的速度；（3）若甲仍以速度向右運(yùn)動(dòng)，增大甲的質(zhì)量，保持乙的質(zhì)量不變，求乙在軌道上的首次落點(diǎn)到點(diǎn)的距離范圍.圖 9【解析】（1）在乙恰能通過(guò)軌道最高點(diǎn)的情況下，設(shè)乙到達(dá)最高點(diǎn)速度為，乙離開點(diǎn)到達(dá)水平軌道的時(shí)間為，乙的落點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，則 聯(lián)立得 （2）設(shè)碰撞后甲、乙的速度分別為、，根據(jù)動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律有 聯(lián)立得 由動(dòng)能定理，得 聯(lián)立得 （3）設(shè)甲的質(zhì)量為，碰撞后甲、乙的速度分別為，根據(jù)動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律有 聯(lián)立得 由和，可得 設(shè)乙球

9、過(guò)點(diǎn)時(shí)速度為，由動(dòng)能定理得 聯(lián)立得 設(shè)乙在水平軌道上的落點(diǎn)距點(diǎn)的距離，有 聯(lián)立得：【例7】如圖10所示，桿長(zhǎng)為，一端固定一質(zhì)量為的小球，桿的質(zhì)量忽略不計(jì)，整個(gè)系統(tǒng)繞桿的另一端在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)求：(1)小球在最高點(diǎn)的速度為多少時(shí)，才能使桿和小球的作用力為零?(2) 小球在最高點(diǎn)時(shí)，桿對(duì)小球的作用力為拉力和推力時(shí)的臨界速度分別是多少?(3)若，則在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，桿對(duì)小球的作用力多大? 圖11 圖12圖 10 【解析】此題屬于“輕桿類”若桿和小球之間無(wú)相互作用力，那么小球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力僅由重力提供，根據(jù)牛頓第二定律，有：解得(2)若小球在最高點(diǎn)時(shí)，受拉力，受力如圖11所示，由牛頓第二定律

10、，有: 解得 若小球在最高點(diǎn)時(shí)，受推力，受力如圖12所示，由牛頓第二定律，有: 解得：可見是桿對(duì)小球的作用力在推力和拉力之間突變的臨界速度(3)桿長(zhǎng)時(shí)，臨界速度，桿對(duì)小球有推力，有，則由至只有重力做功，機(jī)械能守恒設(shè)點(diǎn)所處水平面為參考平面,則,解得在最低點(diǎn)，小球受拉力，由解得【例8】如圖13所示，光滑的圓管軌道部分平直，部分是處于豎直平面內(nèi)半徑為的半圓，圓管截面半徑，有質(zhì)量為、半徑比略小的光滑小球以水平初速度度射入圓管.(1)若要小球能從端出來(lái)，初速多大?(2)在小球從端出來(lái)瞬間，對(duì)管壁壓力有哪幾種典型情況，初速度各應(yīng)滿足什么條件?圖13【解析】本題綜合考查了豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)臨界問(wèn)題；屬于“輕

11、桿類”(1)小球恰好能到達(dá)最高點(diǎn)的條件是，由機(jī)械能守恒，初速度應(yīng)滿足：，即 要使小球能從端出來(lái)，需，所以入射速度(2)在小球從端出來(lái)瞬間，對(duì)管壁壓力有以三種典型情況： 剛好對(duì)管壁無(wú)壓力，此時(shí)重力恰好充當(dāng)向心力，即 .由機(jī)械能守恒定律，知聯(lián)立解得: 對(duì)下管壁有壓力，應(yīng)有，相應(yīng)的入射速度應(yīng)滿足對(duì)上管壁有壓力，此時(shí)應(yīng)有，相應(yīng)的入射速度應(yīng)滿足小結(jié) 本題中的小球不能做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它的合力除最高點(diǎn)與最低點(diǎn)過(guò)圓心外，其他條件下均不過(guò)圓心，因而在一般位置處，它具有切向加速度.【例9】如圖14所示，一內(nèi)壁光滑的環(huán)形細(xì)圓管位于豎直平面內(nèi)，環(huán)的半徑(比細(xì)管的半徑大得多)，在圓管中有兩個(gè)直徑與細(xì)管內(nèi)徑相同的小球，質(zhì)

12、量分別為，沿環(huán)形管順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，當(dāng)球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，速度為，球恰到最高點(diǎn)，若要此時(shí)圓管的合力為零，的速度為多大？圖 14 圖15 圖16【解析】本題綜合考察了豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)臨界問(wèn)題的分析，屬于“輕桿類”在最低點(diǎn)對(duì)球進(jìn)行受力分析，如圖15所示，應(yīng)用牛頓第二定律有由牛頓第三定律，球?qū)苡邢蛳碌膲毫?，根?jù)題意,即球?qū)?duì)管有向上的壓力，球受力情況，如圖16所示，由牛頓第三定律，管對(duì)球有向下的壓力,，對(duì)球應(yīng)用牛頓第二定律，有：,由于聯(lián)立可得三、小球在凸、凹半球上運(yùn)動(dòng) 如圖17所示，小球在凸半球上最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)：(1)當(dāng)，小球不會(huì)脫離凸半球且能通過(guò)凸半球的最高點(diǎn)(2)當(dāng)，因軌道對(duì)小球不能產(chǎn)生彈力，故此時(shí)小

13、球?qū)偤妹撾x軌道做平拋運(yùn)動(dòng)圖17 圖18(3) 當(dāng)，小球已脫離凸半球最高點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)如圖18所示，小球若通過(guò)凹半球的最低點(diǎn)時(shí)速度只要即可 由以上分析可知，通過(guò)凸(或凹)半球最高點(diǎn)(或最低點(diǎn))的臨界條件是小球速度(或)【例10】如圖19所示，汽車質(zhì)量為，以不變速率通過(guò)凸形路面，路面半徑為，若汽車安全行駛，則汽車不脫離最高點(diǎn)的臨界速度為多少?若汽車達(dá)到臨界速度時(shí)將做何種運(yùn)動(dòng)?水平運(yùn)動(dòng)位移為多少? 圖19【解析】(1)此題屬于“輕繩類”，即軌道只能沿某一方向給物體作用力，臨界條件為汽車對(duì)軌道壓力，則汽車不脫離最高點(diǎn)的臨界速度為，則有：，可得；(2)當(dāng)時(shí)，汽車在軌道最高點(diǎn)僅受重力作用，且有初速度，故做

14、平拋運(yùn)動(dòng)，則 ，,可得:【例11】小明站在水平地面上，手握不可伸長(zhǎng)的輕繩一端，繩的另一端系有質(zhì)量為的小球，甩動(dòng)手腕，使球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)當(dāng)球某次運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，繩突然斷掉，球飛離水平距離后落地，如圖20所示已知握繩的手離地面高度為，手與球之間的繩長(zhǎng)為，重力加速度為忽略手的運(yùn)動(dòng)半徑和空氣阻力（1）求繩斷時(shí)球的速度大小和球落地時(shí)的速度大?。?）問(wèn)繩能承受的最大拉力多大？（3）改變繩長(zhǎng)，使球重復(fù)上述運(yùn)動(dòng)。若繩仍在球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)斷掉，要使球拋出的水平距離最大，繩長(zhǎng)應(yīng)為多少？最大水平距離為多少？圖 20【解析】（1）設(shè)繩斷后球飛行時(shí)間為，由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，有：豎直方向 水平方向 ，得：由機(jī)械能守恒定律，有：，得：（2）設(shè)繩能承受的最大拉力為，這也是球受到繩的最大拉力大小，球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為由向心力公式，有，解得（3）設(shè)繩長(zhǎng)為，繩斷時(shí)球的速度大小為，繩承受的最大拉力不變，有，得繩斷后球做平拋運(yùn)動(dòng)，豎直位移為，水平位移為，時(shí)間為，有：，得：，當(dāng)時(shí)，有極大值