元二次方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及典型習(xí)題

1、一元二次方程一、本章知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖二、具體內(nèi)容(一)、一元二次方程的概念1 .理解并掌握一元二次方程的意義未知數(shù)個(gè)數(shù)為1,未知數(shù)的最高次數(shù)為 2,整式方程，可化為一般形式；2 .正確識(shí)別一元二次方程中的各項(xiàng)及各項(xiàng)的系數(shù)(1)明確只有當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù) a 0時(shí)，整式方程ax2 bx c 0才是一元二次方程(2)各項(xiàng)的確定(包括各項(xiàng)的系數(shù)及各項(xiàng)的未知數(shù)).(3)熟練整理方程的過(guò)程3 . 一元二次方程的解的定義與檢驗(yàn)一元二次方程的解4.列出實(shí)際問(wèn)題的一元二次方程(二)、一元二次方程的解法1 .明確一元二次方程是以降次為目的，以配方法、開(kāi)平方法、公式法、因式分解法等方法為手段，從而把一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一

2、次方程求解；2 .根據(jù)方程系數(shù)的特點(diǎn)，熟練地選用配方法、開(kāi)平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；3 .體會(huì)不同解法的相互的聯(lián)系；4 .值得注意的幾個(gè)問(wèn)題：(1)開(kāi)平方法：對(duì)于形如 x2 n或(ax b)2 n(a 0)的一元二次方程，即一元二次方程的一邊是含有未知數(shù)的一次式的平方，而另一邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)，可用開(kāi)平方法求解.形如x2 n的方程的解法：當(dāng) n 0時(shí)，x <n ;當(dāng) n 0 時(shí)，x1 x20;當(dāng)n 0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根。(2)配方法：通過(guò)配方的方法把一元二次方程轉(zhuǎn)化為(x m)2 n的方程，再運(yùn)用開(kāi)平方法求解。配方法的一般步驟：移項(xiàng)：把一元二次方程中含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程

3、的左邊，常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；“系數(shù)化1”：根據(jù)等式的性質(zhì)把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1;配方：將方程兩邊分別加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，把方程變形為 (x m)2 n的形式；求解：若n 0時(shí)，方程的解為x m 2%,若n 0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)解。(3)公式法：一兀二次方程 ax2 bx c 0(a 0)的根xb b2 4ac2a當(dāng)b2 4ac 0時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根不相等；當(dāng)b2 4ac 0時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根相等，寫(xiě)為 xi X22a當(dāng)b2 4ac 0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根.a,b,c的值；代入公式法的一般步驟：把一元二次方程化為一般式；確定b2 4ac中計(jì)算其值，判斷方程是否有

4、實(shí)數(shù)根；若b2 4ac 0代入求根公式求值,否則，原方程無(wú)實(shí)數(shù)根。(因?yàn)檫@樣可以減少計(jì)算量。另外，求根公式對(duì)于任何一個(gè)一元二次方程都適用，其中也包括不完全的一元二次方程。)(4)因式分解法：因式分解法解一元二次方程的依據(jù)：如果兩個(gè)因式的積等于0,那么這兩個(gè)因式至少有一個(gè)為 0,即：若ab 0,則a 0或b 0;因式分解法的一般步驟: 若方程的右邊不是零，則先移項(xiàng)，使方程的右邊為零；把方程的左邊分解因式；令 每一個(gè)因式都為零，得到兩個(gè)一元一次方程；解出這兩個(gè)一元一次方程的解可得到 原方程的兩個(gè)解。(5)選用適當(dāng)方法解一元二次方程對(duì)于無(wú)理系數(shù)的一元二次方程，可選用因式分解法，較之別的方法可能要簡(jiǎn)便

5、的 多，只不過(guò)應(yīng)注意二次根式的化簡(jiǎn)問(wèn)題。方程若含有未知數(shù)的因式，選用因式分解較簡(jiǎn)便，若整理為一般式再解就較為麻 煩。(6)解含有字母系數(shù)的方程1）含有字母系數(shù)的方程，注意討論含未知數(shù)最高項(xiàng)系數(shù)，以確定方程的類型；（ 2）對(duì)于字母系數(shù)的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可選用別的方法，此時(shí)一定不要忘記對(duì)字母的取值進(jìn)行討論。（三） 、根的判別式1了解一元二次方程根的判別式概念，能用判別式判定根的情況，并會(huì)用判別式求一元二次方程中符合題意的參數(shù)取值范圍。（ 1）=b2 4ac（2）根的判別式定理及其逆定理：對(duì)于一元二次方程ax2 bx c 0 （ a 0）當(dāng) a 0 方程有實(shí)數(shù)根；0時(shí)

6、a0a0（當(dāng) a 0 方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； 當(dāng) a 0 方程有兩個(gè)相等的0時(shí)0時(shí)實(shí)數(shù)根； ）a0當(dāng) 方程無(wú)實(shí)數(shù)根；0時(shí)從左到右為根的判別式定理；從右到左為根的判別式逆定理。2常見(jiàn)的問(wèn)題類型（ 1）利用根的判別式定理，不解方程，判別一元二次方程根的情況（ 2）已知方程中根的情況，如何由根的判別式的逆定理確定參數(shù)的取值范圍（ 3）應(yīng)用判別式，證明一元二次方程根的情況先計(jì)算出判別式（關(guān)鍵步驟）；用配方法將判別式恒等變形；判斷判別式的符號(hào)；總結(jié)出結(jié)論.例：求證：方程（a2 1）x2 2ax （a2 4） 0 無(wú)實(shí)數(shù)根。（ 4）分類討論思想的應(yīng)用：如果方程給出的時(shí)未指明是二次方程，后面也未指明兩個(gè)

7、根，那一定要對(duì)方程進(jìn)行分類討論，如果二次系數(shù)為0 ，方程有可能是一元一次方程；如果二次項(xiàng)系數(shù)不為0 ，一元二次方程可能會(huì)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根或無(wú)實(shí)數(shù)根。（ 5）一元二次方程根的判別式常結(jié)合三角形、四邊形、不等式（組）等知識(shí)綜合命題，解答時(shí)要在全面分析的前提下，注意合理運(yùn)用代數(shù)式的變形技巧（ 6）一元二次方程根的判別式與整數(shù)解的綜合（ 7）判別一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題（四） 、一元二次方程的應(yīng)用1. 數(shù)字問(wèn)題：解答這類問(wèn)題要能正確地用代數(shù)式表示出多位數(shù)，奇偶數(shù)，連續(xù)整數(shù)等形式。2. 幾何問(wèn)題： 這類問(wèn)題要結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)、 特征、 定理或法則來(lái)尋找等量關(guān)系，構(gòu)建方程，對(duì)結(jié)果要結(jié)合幾何知識(shí)檢驗(yàn)

8、。3. 增長(zhǎng)率問(wèn)題（下降率） ：在此類問(wèn)題中，一般有變化前的基數(shù)（ a ） ，增長(zhǎng)率（ x ） ，變化的次數(shù)（n）,變化后的基數(shù)（b）,這四者之間的關(guān)系可以用公式 a（1 x）n b表示。4. 其它實(shí)際問(wèn)題（都要注意檢驗(yàn)解的實(shí)際意義，若不符合實(shí)際意義，則舍去） 。（五）新題型與代幾綜合題（ 1）有100 米長(zhǎng)的籬笆材料，想圍成一矩形倉(cāng)庫(kù)，要求面積不小于 600 平方米，在場(chǎng)地的北面有一堵 50 米的舊墻，有人用這個(gè)籬笆圍成一個(gè)長(zhǎng)40 米、寬 10 米的倉(cāng)庫(kù)，但面積只有400 平方米，不合要求，問(wèn)應(yīng)如何設(shè)計(jì)矩形的長(zhǎng)與寬才能符合要求呢？（ 2）讀詩(shī)詞解題（列出方程，并估算出周瑜去世時(shí)的年齡）：大江

9、東去浪淘盡，千古風(fēng)流數(shù)人物，而立之年督東吳，英年早逝兩位數(shù)，十位恰小個(gè)位三，個(gè)位平方與壽符，哪位學(xué)子算得準(zhǔn)，多少年華屬周瑜？ (36歲) 已知：a,b,c分別是 ABC的三邊長(zhǎng)，當(dāng)m 0時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程 c(x2 m) b(x2 m) 2Vmax 0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求證：ABC是直角三角形。(4)已知：a,b,c分別是ABC的三邊長(zhǎng)，求證：方程b2x2 (b2 c2 a2)x c2 0沒(méi) 有實(shí)數(shù)根。(5)當(dāng)m是什么整數(shù)時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程mx2 4x 4 0與 x2 4mx 4m2 4m 5 0的根都是整數(shù)？ ( m 1)2.(6)已知關(guān)于x的方程x2 2x 三立一1 0,其中

10、m為實(shí)數(shù)，(1)當(dāng)m為何值 x2 2x 2m時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根？ ( 2)當(dāng)m為何值時(shí)，方程恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根？求 出這三個(gè)實(shí)數(shù)根。答案：(1) m 2 (2) x 1, 1 <2.(六)相關(guān)練習(xí)(一)一元二次方程的概念1. 一元二次方程的項(xiàng)與各項(xiàng)系數(shù)把下列方程化為一元二次方程的一般形式，再寫(xiě)出二次項(xiàng)，一次項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)：(1) 5x2 2 3x (5x2, 3x, 2)(2) 2 6x2 15x 0(6x2,15x, 2)(3) 3y(y 1) 7(y 2) 5(3y2, 4y, 9)(4) (m 、.m)(m m) (m 2)2 7 5m (2m2,0, 3)(5) (5a 1)2

11、4(a 3)2 (3a2,2a, 5)2.應(yīng)用一元二次方程的定義求待定系數(shù)或其它字母的值、 2 .，1. 一 、， *2 2 、 ,*1_2 2. .- 、 一、.m為何值時(shí)，關(guān)于x的方程(m V2)x(m 3)x 4m是一兀二次方程。(m72)2 -7xx Q(2)若分式 x 7x 8 0 ,貝U x ( x 8)|x| 13.由方程的根的定義求字母或代數(shù)式值 關(guān)于x的一元二次方程(a 1)x2 x a2 1 0有一個(gè)根為0,則a (a 1)(2)已知關(guān)于x的一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)有一個(gè)根為1, 一個(gè)根為 1,則a b c , a b c (0, 0)(3)已知c為實(shí)數(shù)，

12、并且關(guān)于x的兀二次方程x2 3x c 0的一個(gè)根的相反數(shù)是方程x2 3x c 0的一個(gè)根，求方程x2 3x c 0 的根及 c 的值。(0, -3, c=0)(二)一元二次方程的解法1 .開(kāi)平方法解下列方程:(1) 5x2 125 0 ( x15,x25)(2) 169(x 3)2289 (x1,x213(3) y2 361 0 (原方程無(wú)實(shí)根)(4) (1 V3)m2 0 ( m1 m2 0)(5) 2(3x 1)2 8 (x 1 2、% 532.配方法解方程：(1) x2 2x 5 0 (x 1 <6 ) (2) y2 5y 1 0 ( x 5 % 21 ) 2(3) 2y2 4y

13、3 (y 1 亨)3.公式法解下列方程：(1) 3x26x 2 ( x3)(2)p2 3243P(p1P2內(nèi))3- c11(3)7y2 11y( y10)(4) 9n25n 2 (原萬(wàn)程無(wú)實(shí)數(shù)根)(5)x 2 (x2)(2x1) 3 ( x3 *15 )24.因式分解法解下列方程:(1)(3)1 2 x48x29 0 ( x 6)(2) y2 4y45 0 ( y19, y25)(5)6x2(7)(x2110x 3 0(x1-, x243,3x 2.2x ,6(x13x)2 2(x23) 8 05.解法的靈活運(yùn)用(1).2(2x 7)2(3)6x(x 2) (x(4)y2 3y(332(5)1

14、）.3一,x22(4) "x2 揚(yáng)x 0)(6) (x5)2(x12,x21, X34, X4（用適當(dāng)方法解下列方程）2)(x 3) (x2y) y(3y 1)81(2x 5)2144(x 3)2 ( x1(為0,X22(x 5) 1 (1)x1x26 )J2)(2) 2m2, x2(y1222(m2m) ( m5)27,x2106.解含有字母系數(shù)的方程（解關(guān)于x的方程）：(1)2mx0(x1m n, x2mn)(2)3a24ax 2a1(x1 3a 1, x2 a(3)(mn)x22nx mn ( m n 0)(x11,x2(4)a2(1) a(x21) (a2 1)x (討論a)

15、(三)元二次方程的根的判別式1.不解方程判別方程根的情況:（1） 4x2 x 3 7x （有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根）(2) 3(x2 2) 4x (無(wú)實(shí)數(shù)根)（3） 4x2 5 4V5x （有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根）2. k為何值時(shí)，關(guān)于x的二次方程kx2 6x（1）有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根（k 1且k 0）(2)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根(k 1)(3)無(wú)實(shí)數(shù)根(k 1 )3.已知關(guān)于x的方程4x2 (m 2)x 1 m有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.求m的值和這個(gè)方程的根.1 3 (m 2,x1 x2 一或 m 10,x1 x2 -)2 24 .若方程x2 2(a 1)x a2 4a 5 0有實(shí)數(shù)根，求：正整數(shù) a. (a 1

16、,a 2,a 3)5 .對(duì)任意實(shí)數(shù)m,求證：關(guān)于x的方程(m2 1)x2 2mx m2 4 0無(wú)實(shí)數(shù)根.6 . k為何值時(shí)，方程(k 1)x2 (2k 3)x (k 3) 0有實(shí)數(shù)根.(當(dāng)k 1 0時(shí)，原方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根，x 4；5k 1 0 k1當(dāng)k 1 0時(shí)，解得 21,所以當(dāng)k 空且k 1時(shí)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根。0k 2144綜上所述，當(dāng)k 21時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根.) 47.設(shè)m為整數(shù)，且4 m 40時(shí)，方程x2 2(2m 3)x 4m2 14m 8 0有兩個(gè)相異整數(shù)根，求m的值及方程的根。(當(dāng)m =12時(shí)，方程的根為x1 16, x2 26;當(dāng)m =24時(shí)，方程的根為x1 38,x2 52

17、)(四)一元二次方程的應(yīng)用1 .已知直角三角形三邊長(zhǎng)為三個(gè)連續(xù)整數(shù)，求它的三邊長(zhǎng)和面積.(3, 4, 5,面積為6)2 . 一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字少4,且個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的平方和比這個(gè)兩位數(shù)小4,求這個(gè)兩位數(shù).(84)3 .某印刷廠在四年中共印刷 1997萬(wàn)冊(cè)書(shū)，已知第一年印刷了 342萬(wàn)冊(cè)，第二年印刷了 500萬(wàn)冊(cè)，如果以后兩年的增長(zhǎng)率相同，那么這兩年各印刷了多少萬(wàn)冊(cè)？ (550,605)4 .某人把5000元存入銀行，定期一年到期后取出300元，將剩余部分（包括利息）繼續(xù)存入銀行，定期還是一年，且利率不變，到期如果全部取出，正好是 275元，求存款的年利率？（不計(jì)利息稅）

18、（10%）5 .某商場(chǎng)銷售一批名牌襯衫，平均每天可以售出20件，每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷售增加盈利，盡快減少庫(kù)存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)降價(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價(jià)1元，商場(chǎng)每天可多售 出2件，若商場(chǎng)平均每天要盈利 1200元,每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？ （ 20元）6 .已知甲乙兩人分別從正方形廣場(chǎng) ABCD勺頂點(diǎn)B、C同時(shí)出發(fā)，甲由C向D運(yùn)動(dòng), 乙由B向C運(yùn)動(dòng)，甲的速度為每分鐘 1千米，乙的速度每分鐘 2千米，若正方形廣 場(chǎng)周長(zhǎng)為40千米，問(wèn)幾分鐘后，兩人相距 260千米？ （2分鐘后）7 .某科技公司研制一種新產(chǎn)品，決定向銀行貸款200萬(wàn)元資金，用于生產(chǎn)這種產(chǎn)8%,該產(chǎn)品投放市,還盈余72萬(wàn)品，簽訂的合同上約定兩年到期時(shí)一次性還本付息，利息為本金的 場(chǎng)后由于產(chǎn)銷對(duì)路，使公司在兩年到期時(shí)除還清貸款的本金和利息外元，若該公司在生產(chǎn)期間每年比上一年資金增長(zhǎng)的百分?jǐn)?shù)相同，試求這個(gè)百分 數(shù).（20%）8 .如圖，東西和南北向兩條街道交于。點(diǎn)，甲沿東西道由西向東走,速度是每秒4米，乙沿南北道由南向北