第四章 平面彎曲課件

1、橋式吊車受風(fēng)載荷的塔設(shè)備管道托架以彎曲為主要變形的構(gòu)件在工程上稱為梁。以彎曲為主要變形的構(gòu)件在工程上稱為梁。 工程上常用的梁，其橫截面大多具有一個(gè)豎向的工程上常用的梁，其橫截面大多具有一個(gè)豎向的對(duì)稱軸，如：對(duì)稱軸，如： 所有橫截面的豎向?qū)ΨQ軸形成一個(gè)平面 縱向?qū)ΨQ面梁的彎曲平面與載荷作用平面相重合的彎曲 稱平面彎曲剪力剪力彎矩彎矩按正按正方向方向假設(shè)假設(shè))0(axxRMRQAA)()(lxaxlRMRQBBRB=34 kN，RA=26 kNMC=26 kNmkNQC26kNQC22426QD=2 kN DMDM=28kNm=28-12=16kNmMB=-24 kNmkNQB22kNQB12)5

2、/(nl l中性層的存在性：每一縱向中性層的存在性：每一縱向纖維層由直變彎，靠近上方纖維層由直變彎，靠近上方的纖維層受壓，下方的纖維的纖維層受壓，下方的纖維層受拉，中間某處存在一層層受拉，中間某處存在一層既不受拉也不受壓的纖維層，既不受拉也不受壓的纖維層，這一層叫中性層，中性層與這一層叫中性層，中性層與橫截面的交線叫中性軸。軸橫截面的交線叫中性軸。軸線：中性層與縱向?qū)ΨQ面的線：中性層與縱向?qū)ΨQ面的交線。交線。l平面假設(shè)：橫截面變形后平面假設(shè)：橫截面變形后仍保持平面，但繞自身的仍保持平面，但繞自身的中性軸偏轉(zhuǎn)了一定角度，中性軸偏轉(zhuǎn)了一定角度，保持與中性層垂直。保持與中性層垂直。l不擠壓假設(shè)：每一

3、縱向纖維均不擠壓假設(shè)：每一縱向纖維均為單向拉伸或壓縮，纖維層間為單向拉伸或壓縮，纖維層間不存在相互的擠壓。不存在相互的擠壓。任一纖維層的變形計(jì)算：任一纖維層的變形計(jì)算：ydddy)(絕絕 對(duì)對(duì) 變變 形：形：ydyd相對(duì)變形（應(yīng)變）：相對(duì)變形（應(yīng)變）：do1o2l物理關(guān)系物理關(guān)系應(yīng)力和應(yīng)變間的關(guān)系應(yīng)力和應(yīng)變間的關(guān)系 不擠壓假設(shè)，每一纖維層處于簡(jiǎn)單不擠壓假設(shè)，每一纖維層處于簡(jiǎn)單拉壓變形，滿足虎克定律：拉壓變形，滿足虎克定律：yEEo1o2應(yīng)應(yīng)力和內(nèi)力間的關(guān)系力和內(nèi)力間的關(guān)系 橫截面上的正應(yīng)力分布力系（平行力系）應(yīng)為一力偶系。中性層在哪里？0AdAAAydAdAyE00中性軸通過橫截面的形心中性軸

4、通過橫截面的形心AdAyM橫截面上正應(yīng)力的合力為截面上的彎矩。對(duì)中性軸的慣性矩表示截面繞中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)的難易程度，即表示了變形的剛度。軸線的曲率表示了梁的變形程度。梁彎曲變形的基本公式，表示了引起梁變形的外力及梁自身抵抗彎曲變形的能力（抗彎剛度）對(duì)彎曲變形的影響。AdAyEM2AzdAyI2zEIM1正應(yīng)力計(jì)算公式：正應(yīng)力計(jì)算公式：zIMy工程實(shí)用計(jì)算式：工程實(shí)用計(jì)算式：zIMy應(yīng)力的性質(zhì)可由應(yīng)力的性質(zhì)可由變形直觀判斷變形直觀判斷最大彎曲正應(yīng)力：最大彎曲正應(yīng)力：zIMymaxmax抗彎截面模量：抗彎截面模量：maxyIWzzzWMmax形狀規(guī)則截面的慣性矩和抗彎截面模量由定義可形狀規(guī)則截面的慣性矩

5、和抗彎截面模量由定義可直接計(jì)算出來(lái)，對(duì)于型鋼可查表。直接計(jì)算出來(lái)，對(duì)于型鋼可查表。慣性矩（截面模量）、靜矩（一次矩）、面積等慣性矩（截面模量）、靜矩（一次矩）、面積等是平面圖形的幾何性質(zhì)，只有和具體的變形結(jié)合起是平面圖形的幾何性質(zhì)，只有和具體的變形結(jié)合起來(lái)才有其物理意義。來(lái)才有其物理意義。上述應(yīng)力計(jì)算公式可近似用于平面彎曲的長(zhǎng)梁。上述應(yīng)力計(jì)算公式可近似用于平面彎曲的長(zhǎng)梁。maxmaxzWM強(qiáng)度條件式強(qiáng)度條件式(等截面等截面)：許用彎曲應(yīng)力與簡(jiǎn)單拉許用彎曲應(yīng)力與簡(jiǎn)單拉(壓壓)的許用應(yīng)力意的許用應(yīng)力意義相同；義相同；考慮到彎曲正應(yīng)力的分布規(guī)律，許用彎曲考慮到彎曲正應(yīng)力的分布規(guī)律，許用彎曲應(yīng)力的值可

6、取較大的值，或說(shuō)彎曲安全系數(shù)應(yīng)力的值可取較大的值，或說(shuō)彎曲安全系數(shù)可取較小的值；可取較小的值；強(qiáng)度條件式可解決三方面的問題。強(qiáng)度條件式可解決三方面的問題。例例4-2：圖示簡(jiǎn)支梁：圖示簡(jiǎn)支梁AB，試求：試求： (1)最大彎曲正應(yīng)力及最大彎曲正應(yīng)力及其所在位置；其所在位置； (2)在在D、E兩點(diǎn)的彎兩點(diǎn)的彎曲正應(yīng)力。曲正應(yīng)力。 解：解：（1）作出剪力圖作出剪力圖和彎矩圖，求出最大彎矩和彎矩圖，求出最大彎矩值；計(jì)算抗彎截面模量值；計(jì)算抗彎截面模量（找出中性軸），計(jì)算最（找出中性軸），計(jì)算最大彎曲正應(yīng)力。大彎曲正應(yīng)力。 （2）計(jì)算）計(jì)算D、E兩點(diǎn)兩點(diǎn)所在截面的彎矩值，按照所在截面的彎矩值，按照D、E兩

7、點(diǎn)各自離中性軸的距離，兩點(diǎn)各自離中性軸的距離，計(jì)算出其彎曲正應(yīng)力的值計(jì)算出其彎曲正應(yīng)力的值 ，并判斷出其應(yīng)力的性質(zhì)并判斷出其應(yīng)力的性質(zhì)（拉應(yīng)力或壓應(yīng)力）。（拉應(yīng)力或壓應(yīng)力）。 hAbhWz61621bAhbWz61622材料遠(yuǎn)離中性軸AWZ矩形0.167h；圓形0.125h；環(huán)形 0.205h 工字鋼和槽鋼(0.270.31)h y=f(x) dxdytan， 撓曲線的曲率表示梁軸線上各點(diǎn)的彎曲程度，撓曲線的曲率表示梁軸線上各點(diǎn)的彎曲程度，加上邊界條件就決定了撓曲線，即確定了梁的加上邊界條件就決定了撓曲線，即確定了梁的撓度和轉(zhuǎn)角。因此，梁彎曲變形的基本方程是撓度和轉(zhuǎn)角。因此，梁彎曲變形的基本方

8、程是梁彎曲變形的微分方程。梁彎曲變形的微分方程。4.4.2撓曲線近似微分方程及兩次積分法撓曲線近似微分方程及兩次積分法EIxMx)()(1梁彎曲變形的基本方程：梁彎曲變形的基本方程：注：為書寫簡(jiǎn)單起見，將慣注：為書寫簡(jiǎn)單起見，將慣性矩的下標(biāo)略去。性矩的下標(biāo)略去。曲率可用撓曲線的二階導(dǎo)數(shù)來(lái)表示：曲率可用撓曲線的二階導(dǎo)數(shù)來(lái)表示：232221)(1dxdydxydx22)(1dxydx小變形二階導(dǎo)數(shù)與彎矩的符號(hào)關(guān)系：二階導(dǎo)數(shù)與彎矩的符號(hào)關(guān)系：EIxMdxyd)(22解此撓曲線微分方程，解此撓曲線微分方程，加上邊界條件，即可得加上邊界條件，即可得到梁撓曲線上各點(diǎn)的轉(zhuǎn)到梁撓曲線上各點(diǎn)的轉(zhuǎn)角和撓度，即轉(zhuǎn)角

9、方程角和撓度，即轉(zhuǎn)角方程和撓度（撓曲線）方程。和撓度（撓曲線）方程。撓曲線微分方程：撓曲線微分方程：例例4-3：導(dǎo)出懸臂梁受集：導(dǎo)出懸臂梁受集中力作用的轉(zhuǎn)角方程和中力作用的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程。設(shè)撓度方程。設(shè) EI為常量。為常量。解：建立坐標(biāo)系，寫出解：建立坐標(biāo)系，寫出彎矩方程；彎矩方程；)2(2)(xLEIPxdxdyx)3(6)(2xLEIPxxy 兩次積分得出轉(zhuǎn)角方程和撓度方程的通用兩次積分得出轉(zhuǎn)角方程和撓度方程的通用式；式； 考慮邊界條件得到該梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度考慮邊界條件得到該梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程：方程：EIPL22maxEIPLy33max例4-4 ：例4-5 ：例例4-6 4-6 試求圖示懸臂梁自由端的撓度和轉(zhuǎn)角。設(shè)抗彎剛度EI為常量。 解：P1和P2共同作用下懸臂梁自由端的撓度和轉(zhuǎn)角，可看作P1和P2單獨(dú)作用下產(chǎn)生的變形的代數(shù)和。 EIdxqxd22dxxlxEIqdxlEIdxqxdy)3(6)(3323解：將均布載荷設(shè)想為由無(wú)數(shù)個(gè)微元力qdx組成的，則每一個(gè)微元力qdx在梁自由端產(chǎn)生的微小轉(zhuǎn)角和撓度：， EIqly84maxEIql63max例4-8EIql243maxEIqly38454max例：求圖示超靜定梁的約束反力。 靜定基變形圖 解：法：解除支座B，形成靜定基，