函數(shù)性質(zhì)的綜合運用常見題型與解題方法總結(jié)

1、函數(shù)性質(zhì)的綜合運用1.函數(shù)的圖像與函數(shù)（）的圖像所有交點的橫坐標之和等于( )A2 B4 C6 D82.已知函數(shù)的周期為2，當時函數(shù)，那么函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像的交點共有( ) A10個 B9個 C8個 D1個【答案】A【解析】考查數(shù)形結(jié)合思想，在同一直角坐標系中作出兩個函數(shù)的圖像，故下圖容易判斷出兩函數(shù)圖像的交點個數(shù)為10個，故選擇3.已知函數(shù)若互不相等，且則的取值范圍是(A) (B) (C) (D) 【答案】C20【解析】命題意圖：本題主要考查分段函數(shù)、對數(shù)的運算性質(zhì)以及利用數(shù)形結(jié)合解決問題的能力.作出函數(shù)的圖象如右圖，不妨設(shè)，則則.應(yīng)選C.4. 設(shè)點在曲線上，點在曲線上，則最小值為（ ）

2、5. 設(shè)函數(shù)f(x)=的最大值為M，最小值為m，則M+m=_答案： 2解析： 設(shè)為奇函數(shù)，由奇函數(shù)圖像的對稱性知考點定位：本題考查函數(shù)的性質(zhì),奇函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力.【最新考綱解讀】1函數(shù)與方程結(jié)合二次函數(shù)的圖象，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù)，從而了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系根據(jù)具體函數(shù)的圖象，能夠用二分法求相應(yīng)方程的近似解，了解這種方法是求方程近似解的常用方法2函數(shù)模型及其應(yīng)用比較指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)增長差異；結(jié)合實例體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義收集一些社會生活中普遍使用的函數(shù)模型(指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等)的實例，了解

3、函數(shù)模型的廣泛應(yīng)用3.函數(shù)性質(zhì)主要是單調(diào)性、奇偶性的考查，有時也涉及周期性要求考生會利用單調(diào)性比較大小，求函數(shù)最值與解不等式，并要求會用定義證明函數(shù)的單調(diào)性新課標對函數(shù)的奇偶性要求降低了很多，故應(yīng)重點掌握其基本概念和奇偶函數(shù)的對稱性4.函數(shù)的圖象主要是在選擇與填空題中考查用數(shù)形結(jié)合法解題和識圖能力，大題常在應(yīng)用題中給出圖象據(jù)圖象求解析式5函數(shù)與方程、函數(shù)的應(yīng)用主要考查：(1)零點與方程實數(shù)解的關(guān)系(2)函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖象和方法的綜合問題(3)導(dǎo)數(shù)與零點的結(jié)合；方程、不等式、數(shù)列與函數(shù)的綜合問題(4)函數(shù)與解析幾何知識的綜合問題(5)常見基本數(shù)學(xué)模型，如分段函數(shù)，增長率、冪、指、對等【回歸課

4、本整合】1.函數(shù)的奇偶性.（1）具有奇偶性的函數(shù)的定義域的特征：定義域必須關(guān)于原點對稱！為此確定函數(shù)的奇偶性時，務(wù)必先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點對稱.（2）確定函數(shù)奇偶性的常用方法（若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜，應(yīng)先化簡，再判斷其奇偶性）：定義法；利用函數(shù)奇偶性定義的等價形式：或（）.圖像法：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱；偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱.（3）函數(shù)奇偶性的性質(zhì)：奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同；偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反.如果奇函數(shù)有反函數(shù)，那么其反函數(shù)一定還是奇函數(shù).若為偶函數(shù)，則.若奇函數(shù)定義域中含有0，則必有.2. 函數(shù)的單調(diào)性

5、1.函數(shù)單調(diào)性的定義：（1）如果函數(shù)對區(qū)間內(nèi)的任意，當時都有，則在內(nèi)是增函數(shù)；當時都有，則在內(nèi)是減函數(shù).（2）設(shè)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，若，則在D內(nèi)是增函數(shù)；若，則在D內(nèi)是減函數(shù).單調(diào)性的定義（1）的等價形式：設(shè)，那么在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)；證明或判斷函數(shù)單調(diào)性的方法：(1)定義法：設(shè)元作差變形判斷符號給出結(jié)論.其關(guān)鍵是作差變形，為了便于判斷差的符號，通常將差變成因式連乘積、平方和等形式，再結(jié)合變量的范圍，假設(shè)的兩個變量的大小關(guān)系及不等式的性質(zhì)作出判斷；(2)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法：即“同增異減”法，即內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的單調(diào)性相同，則復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；若相反，則復(fù)合函數(shù)為減函數(shù).解決問題的

6、關(guān)鍵是區(qū)分好內(nèi)外層函數(shù)，掌握常用基本函數(shù)的單調(diào)性；（3）圖象法：利用數(shù)形結(jié)合思想，畫出函數(shù)的草圖，直接得到函數(shù)的單調(diào)性；（4）導(dǎo)數(shù)法：利用導(dǎo)函數(shù)的正負來確定原函數(shù)的單調(diào)性，是最常用的方法.（5）利用常用結(jié)論判斷：奇函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相反的單調(diào)性；互為反函數(shù)的兩個函數(shù)具有相同的單調(diào)性；在公共定義域內(nèi)，增函數(shù)增函數(shù)是增函數(shù)；減函數(shù)減函數(shù)是減函數(shù)；增函數(shù)減函數(shù)是增函數(shù)；減函數(shù)增函數(shù)是減函數(shù);復(fù)合函數(shù)法：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的特點是同增異減，特別提醒：求單調(diào)區(qū)間時，勿忘定義域， 3. 函數(shù)的周期性.（1）類比“三角函數(shù)圖像”得：若圖像有兩條對稱軸，則必是周期函數(shù)

7、，且一周期為；若圖像有兩個對稱中心，則是周期函數(shù)，且一周期為；如果函數(shù)的圖像有一個對稱中心和一條對稱軸，則函數(shù)必是周期函數(shù)，且一周期為；（2）由周期函數(shù)的定義“函數(shù)滿足，則是周期為的周期函數(shù)”得：函數(shù)滿足，則是周期為2的周期函數(shù)。4. 函數(shù)的對稱性.滿足條件f(a+x)=f(b-x) 的函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱. 點關(guān)于軸的對稱點為；函數(shù)關(guān)于軸的對稱曲線方程為；點關(guān)于軸的對稱點為；函數(shù)關(guān)于軸的對稱曲線方程為； 點關(guān)于原點的對稱點為；函數(shù)關(guān)于原點的對稱曲線方程為； 點關(guān)于直線的對稱點為；曲線關(guān)于直線的對稱曲線的方程為；點關(guān)于直線的對稱點為；曲線關(guān)于直線的對稱曲線的方程為；曲線關(guān)于點的對稱曲線的方程

8、為；形如的圖像是雙曲線，其兩漸近線分別直線(由分母為零確定)和直線(由分子、分母中的系數(shù)確定)，對稱中心是點；的圖象先保留原來在軸上方的圖象，作出軸下方的圖象關(guān)于軸的對稱圖形，然后擦去軸下方的圖象得到；的圖象先保留在軸右方的圖象，擦去軸左方的圖象，然后作出軸右方的圖象關(guān)于軸的對稱圖形得到.5. 常見的圖象變換函數(shù)的圖象是把函數(shù)的圖象沿軸向左平移個單位得到的.函數(shù)(的圖象是把函數(shù)的圖象沿軸向右平移個單位得到的.函數(shù)+的圖象是把函數(shù)助圖象沿軸向上平移個單位得到的；函數(shù)+的圖象是把函數(shù)助圖象沿軸向下平移個單位得到的；函數(shù)的圖象是把函數(shù)的圖象沿軸伸縮為原來的得到的.函數(shù)的圖象是把函數(shù)的圖象沿軸伸縮為原

9、來的倍得到的. 的圖象先保留原來在軸上方的圖象，作出軸下方的圖象關(guān)于軸的對稱圖形，然后擦去軸下方的圖象得到；的圖象先保留在軸右方的圖象，擦去軸左方的圖象，然后作出軸右方的圖象關(guān)于軸的對稱圖形得到. 特殊函數(shù)圖象:(1)函數(shù):可由反比例函數(shù)圖象平移、伸縮得到.圖1示例.圖1圖象是雙曲線,兩漸近線分別直線(由分母為零確定)和直線(由分子、分母中的系數(shù)確定)；對稱中心是點.(2)函數(shù)：如圖2.xyo圖2圖象類似“對號”，俗稱對號函數(shù).定義域；函數(shù)的值域為；函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱；增區(qū)間為,減區(qū)間為.6.函數(shù)的零點（1）一般地，如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有

10、f(a)·f(b)<0，那么函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，即存在c(a，b)，使f(c)0，這個c也就是方程f(x)0的根我們稱方程f(x)0的實數(shù)根x叫做函數(shù)yf(x)(xD)的零點（2）函數(shù)yf(x)的零點就是方程f(x)0的實數(shù)根，也就是函數(shù)yf(x)的圖象與x軸交點的橫坐標，即方程f(x)0有實數(shù)根函數(shù)yf(x)有零點函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點（3）函數(shù)F(x)f(x)g(x)的零點就是方程f(x)g(x)的實數(shù)根，也就是函數(shù)yf(x)的圖象與函數(shù)yg(x)的圖象交點的橫坐標一般地，對于不能使用公式求根的方程f(x)0，我們可以將它與函數(shù)yf(x)聯(lián)系起

11、來，利用函數(shù)的圖象、性質(zhì)來求解【方法技巧提煉】1.研究函數(shù)的性質(zhì)要特別注意定義域優(yōu)先原則（1）具有奇偶性的函數(shù)定義域的特征：定義域關(guān)于原點對稱.為此確定函數(shù)的奇偶性時，務(wù)必先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點對稱.（2）討論函數(shù)單調(diào)性必須在其定義域內(nèi)進行，因此要研究函數(shù)單調(diào)性必須先求函數(shù)的定義域，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是定義域的子集.（3）討論函數(shù)的周期性，一般情況下定義域是無限集.所以判斷函數(shù)是否為周期函數(shù)，要在整個定義域上觀察函數(shù)的圖象.如求函數(shù)的周期,如果只觀察y軸一側(cè)的圖象得到周期為那就錯了，因為函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，從整體看它不是周期函數(shù).2. 函數(shù)的單調(diào)性（1）定義法和導(dǎo)數(shù)法的選擇在解答題中，只能

12、應(yīng)用定義法或?qū)?shù)法證明函數(shù)的單調(diào)性.定義法作為基本方法，但是證明過程有時比較繁瑣；而導(dǎo)數(shù)法顯得操作性比較強，對函數(shù)求導(dǎo)后判斷導(dǎo)函數(shù)的正負即可.因此導(dǎo)數(shù)法是我們證明函數(shù)單調(diào)性的首選方法.（2）函數(shù)單調(diào)性總結(jié)：若，單調(diào)區(qū)間：增區(qū)間，減區(qū)間；若，單調(diào)區(qū)間：減區(qū)間，增區(qū)間;若，由于，單調(diào)性：增區(qū)間;若，由于，單調(diào)性：減區(qū)間.3.抽象函數(shù)的對稱性和周期性（1）對于函數(shù)(),若恒成立,則函數(shù)的對稱軸是.（2）若已知定義域在R上的函數(shù)的對稱軸、對稱中心，如何確定函數(shù)的周期？可類比“三角函數(shù)圖象”得：若圖象有兩條對稱軸，則是周期函數(shù)，且周期為；若圖象有兩個對稱中心，則是周期函數(shù)，且周期為；如果函數(shù)的圖象有一個

13、對稱中心和一條對稱軸，則函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為.注意這里面提到的周期不一定是函數(shù)的最小正周期.這個知識點經(jīng)常和函數(shù)的奇偶性聯(lián)系到一起，已知函數(shù)為奇函數(shù)，意味著函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱；已知函數(shù)為偶函數(shù)，意味著函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱.然后再推到函數(shù)的周期.(3)若已知類似函數(shù)周期定義式的恒等式，如何確定函數(shù)的周期？由周期函數(shù)的定義，采用迭代法可得結(jié)論：函數(shù)滿足，則是周期為2的函數(shù)；若恒成立，則；若，則；，則.4.如何利用函數(shù)的解析式判斷函數(shù)的圖象利用函數(shù)的解析式判斷函數(shù)的圖象,可從下面幾個角度去考慮：（1）討論函數(shù)的定義域及函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性；（2）考慮是否可由基本初等函數(shù)的圖象變換作出圖象；

14、（3）準確描出關(guān)鍵的點線(如圖象與x、y軸的交點，極值點(頂點)，對稱軸，漸近線，等等).5. 如何轉(zhuǎn)換含有絕對值的函數(shù) 對含有絕對值的函數(shù)，解題關(guān)鍵是如何處理絕對值，一般有兩個思路：一是轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)：利用分類討論思想，去掉絕對值，得到分段函數(shù).二是利用基礎(chǔ)函數(shù)變換：首先得到基礎(chǔ)函數(shù)，然后利用y=f(x)y=f(|x|)或y=f(x)y=|f(x)|，得到含有絕對值函數(shù)的圖象.6.平移變換中注意的問題函數(shù)圖象的平移變換，里面有很多細節(jié)，稍不注意就會出現(xiàn)差錯.所以要從本質(zhì)深入理解，才不至于模棱兩可.(1)左右平移僅僅是相對而言的，即發(fā)生變化的只是本身，利用“左加右減”進行操作.如果的系數(shù)不是1

15、，需要把系數(shù)提出來，再進行變換;(2)上下平移僅僅是相對而言的，即發(fā)生變化的只是本身，利用“上減下加”進行操作.但平時我們是對中操作，滿足“上加下減”;7.函數(shù)圖象的主要應(yīng)用函數(shù)圖象的主要應(yīng)用非常廣泛，常見的幾個應(yīng)用總結(jié)如下：（1）利用函數(shù)圖象可判斷函數(shù)的奇偶性，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、對稱軸、周期等函數(shù)的性質(zhì)；（2）利用函數(shù)和圖象的交點的個數(shù)，可判斷方程=根的個數(shù)；（3）利用函數(shù)和圖象上下位置關(guān)系，可直觀的得到不等式或的解集：當?shù)膱D象在的圖象的上方時，此時自變量的范圍便是不等式的解集；當?shù)膱D象在的圖象的下方時，此時自變量的范圍便是不等式的解集.8.函數(shù)零點的求解與判斷判斷函數(shù)yf(x)在某個區(qū)間上

16、是否存在零點，常用以下方法：(1)解方程：當對應(yīng)方程易解時,可通過解方程，看方程是否有根落在給定區(qū)間上；(2)利用函數(shù)零點的存在性定理進行判斷；(3)通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷9.函數(shù)零點的綜合應(yīng)用函數(shù)零點的應(yīng)用主要體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想,函數(shù)與方程雖然是兩個不同的概念，但它們之間有著密切的聯(lián)系，方程f(x)0的解就是函數(shù)yf(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標，函數(shù)yf(x)也可以看作二元方程f(x)y0，然后通過方程進行研究許多有關(guān)方程的問題可以用函數(shù)的方法解決，反之，許多函數(shù)問題也可以用方程的方法來解決，函數(shù)與方程的思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本思想【考場經(jīng)驗分享】1判

17、斷函數(shù)的奇偶性，首先應(yīng)該判斷函數(shù)定義域是否關(guān)于原點對稱定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件2判斷函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，必須對定義域內(nèi)的每一個x，均有f(x)f(x)而不能說存在x0使f(x0)f(x0)對于偶函數(shù)的判斷以此類推3.在解決函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的問題中，如果結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)畫出函數(shù)的簡圖，根據(jù)簡圖進一步研究函數(shù)的性質(zhì)，就可以把抽象問題變的直觀形象、復(fù)雜問題變得簡單明了，對問題的解決有很大的幫助.（1）一般的解題步驟：利用函數(shù)的周期性把大數(shù)變小或小數(shù)變大，然后利用函數(shù)的奇偶性調(diào)整正負號，最后利用函數(shù)的單調(diào)性判斷大?。唬?）畫函數(shù)草圖的步驟：由已知條件確定特殊點的位置，然后利用單調(diào)性

18、確定一段區(qū)間的圖象，再利用奇偶性確定對稱區(qū)間的圖象，最后利用周期性確定整個定義域內(nèi)的圖象.4.把握函數(shù)的零點應(yīng)注意的問題(1)函數(shù)的零點是一個實數(shù)，當函數(shù)的自變量取這個實數(shù)時，其函數(shù)值等于零(2)函數(shù)的零點也就是函數(shù)yf(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標(3)一般我們只討論函數(shù)的實數(shù)零點(4)函數(shù)的零點不是點，是方程f(x)0的根5.本熱點常常命制成壓軸的選擇題，故難度較大，需要較強的解題能力和知識綜合應(yīng)用能力.涉及的數(shù)學(xué)思想豐富多樣，故基礎(chǔ)性的學(xué)生不易花費過多的時間，能力不夠可適當放棄.另外，如果以抽象函數(shù)為背景，可采用抽象問題具體化得思路進行求解.如果涉及到范圍問題的確定，可選擇特指進行代入

19、驗證的方法求解.【新題預(yù)測演練】1.函數(shù)的零點的個數(shù)為（ ）A0 B1C2D3【答案】B【解析】方法1：，在內(nèi)必有一個零點又在上為增函數(shù)，有且僅有1個零點方法2：由得作出函數(shù)與的圖象，知兩函數(shù)的圖象有且僅有一個交點，即方程有且僅有一個根，即函數(shù)有且僅有一個零點2.方程有解，則的最小值為 A.2 B.1 C. D.3.設(shè)a是函數(shù)的零點，若，則的值滿足（ ）A B C D的符號不確定【答案】B【解析】畫出與的圖像可知當時，故4.若函數(shù)f(x) （）是奇函數(shù)，函數(shù)g(x) （）是偶函數(shù)，則（ ）A函數(shù)fg(x)是奇函數(shù) B函數(shù)gf(x)是奇函數(shù)C函數(shù)f(x)g(x)是奇函數(shù) D函數(shù)f(x)+g(x)

20、是奇函數(shù)【答案】C【解析】令，則故是偶函數(shù)；令，則，故是偶函數(shù)；令，則，故是奇函數(shù)；令，則，故不一定是奇函數(shù).5.方程有解，則的最小值為 A.2 B.1 C. D.【答案】B【解析】方程等價為，即，當且僅當，即，取等號，所以選B.6. 已知函數(shù)在上是增函數(shù)，若，則的取值范圍是 AB CD 7.已知是定義在R上的奇函數(shù)，且是以2為周期的周期函數(shù)，若當時，則的值為（ ）AB-5CD-6【答案】C【解析】，即是周期為2的奇函數(shù),.8.已知是定義在R上的奇函數(shù)，且是以2為周期的周期函數(shù)，若當時，則的值為（ ）A B C D【答案】C【解析】，即f(x)是周期為2的奇函數(shù)9.若定義在R上的偶函數(shù)滿足，且當時，則方程的解個數(shù)是（ ）A0個B2個C4個D6個10.已知函數(shù)是R上的偶函數(shù)，若對于，都有，則的值為A.B.C.1D.2【答案】C【解析】由函數(shù)是上的偶函數(shù)及時得11.已知函數(shù)是上的奇函數(shù)且滿足，則 的值為A.0 B 1 C. 2 D.4【答案】A【解析】 5為函數(shù)的一個周期，1為函數(shù)的一個周期，12.已知函數(shù)，給出下列結(jié)論：函數(shù)f(x)的值域為；函數(shù)g(x)在0，1上是增函數(shù)；對任意a>0，方程f(x)=