必修2-章末整合提升

1、章末整合提升專題一 ？圓的方程問題1 關(guān)于求圓的方程，可以用直接法，即由條件直接求圓心和半徑，但基本方法是以待定系數(shù)法為主， 在設(shè)方程時應(yīng)根據(jù)條件選擇使用標(biāo)準(zhǔn)方程還是一般方程，如果題目給出圓心坐標(biāo)等關(guān)系，則采用標(biāo)準(zhǔn)方程； 如果已知圓上多個點的坐標(biāo)，則采用一般方程.2 另外注意，用動點軌跡的方法求圓的方程時，除定義外還有其他等量關(guān)系，如動點到兩定點連線互 相垂直、動點到兩定點的距離的比是常數(shù)等.例題1有一圓C與直線1: 4x 3y+ 6 = 0相切于點A(3,6)，且經(jīng)過點B(5,2)，求此圓的方程.解析解法一：設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，尋找三個方程構(gòu)成方程組求解設(shè)圓的方程為(x a)2+ (y b)2=

2、 r2,則圓心為 C(a, b),由 |CA|=|CB|, CA丄 I,ft3 af+(6 bh 得! (5 -叮+ (2 b2 f2 口 x 4 一 i-a 3 3，解得9b= 9r225所以圓的方程為(x 5)2 + (y 乎.x2 + y2 + Dx + Ey+ F = 0,由 CA丄 I, A(3,6)、B(5,2)在圓上,解法二：設(shè)圓的一般方程求解.設(shè)圓的方程為32 + 62 + 3D+ 6E + F = 052 + 22 + 5D+ 2E + F = 0D = 10得-f - 64d 3x 4= 1-2 - 3.解得E = 9所以所求圓的方程為 x2 + y2 10x 9y+ 39

3、= 0.F = 39解法三：由題意可設(shè)所求圓的方程為(x 3)2+ (y 6)2 + ?(4x 3y+ 6) = 0，又因為此圓過點(5,2)，將坐標(biāo)(5,2)代入圓的方程求得1,所以所求圓的方程為x2+ y2 10x 9y+ 39= 0.專題二？直線與圓的位置關(guān)系問題討論直線與圓的位置關(guān)系時，一般可以從代數(shù)特征(方程組解的個數(shù))或幾何特征(直線到圓心的距離與半徑的關(guān)系)去考慮，其中用幾何特征解決與圓有關(guān)的問題比較簡捷實用.如直線與圓相交求弦長時，利用公式(2)2 + d2 =2 (其中，弦長為I，弦心距為d,半徑為r)比利用代數(shù)法求弦長要簡單實用.例題2 (2016南平高一檢測)已知圓C關(guān)于

4、直線x+ y+ 2 = 0對稱，且過點 P( 2,2)和原點0.(1) 求圓C的方程；相互垂直的兩條直線11、12都過點A( 1,0)，若12被圓C所截得弦長相等，求此時直線h的方程.解析由題意知，直線 x+ y+ 2 = 0過圓C的圓心，設(shè)圓心 C(a, a 2).由題意，得(a + 2)2 + ( a 2 2)2= a2+ ( a 2)2，解得 a= 2.圓心 C( 2,0)，半徑 r = 2,圓 C 的方程為(x+ 2)2 + y2= 4.1(2) 由題意知，直線11、S的斜率存在且不為0,設(shè)丨1的斜率為k,則I?的斜率為一,k 11: y= k(x+ 1),即卩 kx y+ k= 0,

5、 I2： y= (x+1)，即 x + ky+1 = 0.由題意，得圓心 C到直線11、12的距離相等,I 2k+ k|_ | 2 + 1|k2+ 1= k2 + 1解得k= ± ,直線11的方程為x y + 1 = 0或x+ y+ 1 = 0.規(guī)律總結(jié)直線和二次曲線相交，所得弦的弦長是1 + k2|x1 X2|或“1+ 12|y1 y2|,這對直線和圓相交也成立，但直線和圓相交所得弦的弦長更常使用垂徑定理和勾股定理求得.專題三？與圓有關(guān)的最值問題與圓有關(guān)的最值問題包括：(1)求圓0上一點到圓外一點P的最大距離、最小距離：dmax=|OP|+ r , dmin= |0P| r;求圓上

6、的點到某條直線的最大距離、最小距離，設(shè)圓心到直線的距離為m,則dmax= m+ r, dmin=m r；已知點的運動軌跡是(x a)2 + (y b)2= r2,求mx + ny,y_n，(x m)2+ (y n)2等式子的最x m值.一般地，形如z= mx+ ny的最值問題，可以轉(zhuǎn)化為動直線的截距的最值問題；形如k=的最值問題，x m可以轉(zhuǎn)化為動直線的斜率的最值問題；形如d = (x m)2+ (y n)2的最值問題，可以轉(zhuǎn)化為兩點間的距離的平方的最值問題.例題3已知實數(shù)x, y滿足方程x2 + y2 4x+ 1 = 0.(1)求丫的最大值和最小值；求y x的最小值； 求x2 + y2的最大

7、值和最小值.x解析(1)原方程可化為(x 2)2 + y2 = 3，表示以點(2,0)為圓心，半徑為.3的圓.設(shè)y= k,即y= kx,當(dāng)直線y= kx與圓(x 2)2+ y2= 3相切時，斜率k取得最大值和最小值，此時有|2k 0|xk +1=，解得k= ±3故丫的最大值為 3，最小值為一3.x設(shè)y x= b，即y= x+ b,當(dāng)y= x+ b與圓相切時，縱截距b取得最大值和最小值，此時|2益b=否, 即 b = 2士.6 故(y x)max = 2+筆6 , (y x)min= 2、J6.(3)x2 + y2表示圓上的點與原點距離的平方，由平面幾何知識知，在原點與圓心的連線與圓的

8、兩個交點處 取得最大值和最小值.又知圓心到原點的距離為2，故(x2+ y2)max= 7 + 4 3, (x2 + y2)min = 7 4 3.專題四？圓系方程問題(1)設(shè)兩圓 C1： x2 + y2+ D1X+ E1y+ F1= 0, C2： x2+ y2+ D?x+ E2y+ F2= 0 相交，則過圓 G、圓 C?兩圓交I I2222點的圓系方程為 x + y + D1X+ E1y+ F1+ "x + y + D2x+ E2y+ F2)= 0.(其中入工一 1,不包括圓C2).(2)當(dāng)X= 1時，便可得兩圓的公共弦所在直線方程，靈活運用圓系方程和兩圓的公共弦所在直線方程,已知兩

9、圓 C1: x2 + y2= 4, C2: x2+ y2 2x 4y+ 4= 0，直線 I: x+ 2y= 0，求經(jīng)過圓 C1 和 C2 的交 l相切的圓的方程.可使很多問題得以簡便解答.例題4點且和直線解析由圓系方程，設(shè)所求圓的方程為x2+y2-4+m(x2+y2-2x4y+4)=0，圓心為(十m熬),4m"'|1 4m+ 4 m? + 4m?2 22解得m = 1 ,.所求圓的方程為 x + y 2x 2y= 0.1 + m 1 + m專題五 ？數(shù)學(xué)思想方法;數(shù)形結(jié)合思想就是函數(shù)與方程的思想就是用函數(shù)和方程的觀點去分析和研究數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系， 在研究解析幾何問題時，時

10、刻牢記通過坐標(biāo)法，可以將數(shù)與形相互轉(zhuǎn)化，借助代數(shù)式的幾何意義，用幾何圖 形的直觀性幫助分析解決問題.例題5求圓心在圓(x |)2+ y2= 2上，且與x軸和直線x= 士都相切的圓的方程.解析設(shè)所求圓的方程為(x a)2 + (y b)2= r2,v圓(x |)2+ y2 = 2在直線x = 1的右側(cè)，且所求的圓1113 22與x軸和直線x= 1都相切， a> r = a + ?, r = |b|.又圓心(a, b)在圓(x刁2+ y2= 2 上,a=1，解得r= 1b= ±17D (24,23匕孑勺卩+4)n .A(-3,O) °(a3)2 + b2 = 2, r =

11、 |b|(a 22+ b2= 21 1所求圓的方程為(x )2+ (y1)2= 1 或(X空)2+ (y+1)2= 1.規(guī)律方法數(shù)學(xué)問題的解答離不開轉(zhuǎn)化與化歸，所謂化歸思想，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時,采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而使問題得以解決的方法一般地，總是將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡 單的問題，將難解的問題轉(zhuǎn)化為容易解決的問題，將未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已解決的問題.例題6方程，9 x2 = k(x 3) + 4有兩個不同的解時，實數(shù)k的取值范圍是(D )7712a (0, 24)b (24，+m ) C (3, 3)解析利用轉(zhuǎn)化與化歸的思想將方程解的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點 個數(shù)問題，作出兩個函數(shù)的圖象，利用圖象形結(jié)合的思想求解.令 y= 9 x2,顯然 y2= 9 x2(y> 0)，表示半圓，